電磁力中的對偶

電、磁、力中的對偶劉紅摘要：本文從對偶的角度解釋了電、磁、力之間的關(guān)系，總結(jié)了高揚提出的用于全局優(yōu)化的典范對偶理論及利用它解決非線性非凸問題的主要思路和優(yōu)點。引言電、磁、力三大物理分支存在對偶關(guān)系。透過它們之間的不同外部現(xiàn)象，抽象出數(shù)學(xué)模型，看到他們的本質(zhì)卻是相同的。三大系統(tǒng)的物理量間又存在著對偶關(guān)系，這就是典范對偶理論。非線性的變量關(guān)系或非凸性的能量函數(shù)是造成系統(tǒng)復(fù)雜性的關(guān)鍵原因。典范對偶理論旨在利用非線性變換，凸化的手段，把原空間中不便于處理的問題轉(zhuǎn)化到對偶空間中來處理。這就是把“不美”的東西轉(zhuǎn)化為“美”的東西，然后處理“美”的東西，最后通過能量守恒的原理把處理的結(jié)果反饋回原空間中。而三個駐點對偶定理提供了能量在原空間和對偶空間中進行的最優(yōu)化的理論基礎(chǔ)。本文先從最簡單的線性電阻電路模型開始，表示出在線性情況下的典范對偶模型。描述這種電路的數(shù)學(xué)模型是線性方程組。解這類線性方程組等價于二次規(guī)劃的最優(yōu)解。線性模型對應(yīng)線性算子，非線性模型對應(yīng)非線性算子。通過非線性變換，以及利用任何函數(shù)都可以分解為凸函數(shù)之差的方法，可將非線性非凸問題轉(zhuǎn)換為線性的凸的問題。這種轉(zhuǎn)換，有別于泰勒展開后取線性部分近似。這里不是近似而是變換，所以能得到更準(zhǔn)確的效果。線性電阻電路的數(shù)學(xué)描述考慮如圖1所示的電路。此電路中，節(jié)點為1,2,3,4。令U=[u,U,U,U]T為各1234節(jié)點的電位，假設(shè)節(jié)點4的電位為零，f=[f,f,f,f]T分別從節(jié)點1,2,3,4流進電路1234的電流，設(shè)網(wǎng)絡(luò)除節(jié)點4外沒有其它的接地點，所以f=0。I=[I,I,I,I,I]t為各支4 1 2 3 4 5路的電流，V=[V,V,V,V,V]t為各支路電阻上的電壓。各支路上電阻的電壓與電流取12345關(guān)聯(lián)參考方向。1圖1一個電路1圖1一個電路J1R3D該電路各變量之間的關(guān)系可由下列三式描述。-1-100-1-10001-10V=AU+b=t001-1010-1-1001由歐姆定律可得：由基爾霍夫電壓定律可得：U1U2U3U4000061)「1/R10001/R20「1/R10001/R20I=DV=001/R3000000由基爾霍夫電流定律可得：0001/R400一-V一10V20V30V41/R-V55(2)「1-1010001f=ATI=t0-11000-1-1-10011234-(3)其中，式（1）稱為代數(shù)變換關(guān)系，將各節(jié)點的電位變換為各支路電阻元件上的電壓降,即仿射變換AU=AU+b。式（2）稱為對偶關(guān)系，所對應(yīng)的矩陣D稱為本構(gòu)矩陣，反映t系統(tǒng)的本質(zhì)。很顯然矩陣D是正定矩陣，這個矩陣確定了電壓和電流的一一對應(yīng)關(guān)系。一對一的關(guān)系就是“美”的關(guān)系，它常常使問題變得簡單。式（3）稱為平衡方程，是能量守恒（功率平衡）的必然結(jié)果。電路變量間的對偶關(guān)系將上述三式合成，可得：f=AtDAU+AtDb。令K=AtDA,f=f-AtDb，則TOC\o"1-5"\h\zt t t t t t可得f=KU。電路各變量間的對偶關(guān)系如圖2所示。AtDAU=ft<U,f> ,ftAU=AtU+btq I<V;I>圖2電路變量的典范對偶圖圖2中，上面一行是在原空間中的兩個向量。原空間中的內(nèi)積定義為：U,f>:=ZUfVU,fG□n。 （4）ii圖2中，下面一行是在對偶空間中的兩個向量。對偶空間中的內(nèi)積定義為：V;I>:=XVI VV,IG□m。 （5）ii由A,D，，AT定義的三個變換代表的三組對偶關(guān)系稱為電路的典范對偶關(guān)系。從下文t可以看出，典范的含義就在于對于非凸的系統(tǒng)或者非線性的系統(tǒng)，通過選取合適的變換算子，總可以化成凸的系統(tǒng)，即典范化理解為標(biāo)準(zhǔn)化、凸化。功率平衡與能量最小化若b=0，將會有<U,f>=<V;I>。從物理的角度，可理解為功率平衡（能量守恒）。不同的空間，只是選擇了不同的坐標(biāo)系，也就是說選擇了不同的度量方式，但無論怎么度量，

能量是不變的。從數(shù)學(xué)的角度，根據(jù)兩個向量內(nèi)積的定義及矩陣乘法的結(jié)合律，易知：<U,ATDAu>=UTATDAu=<AU;DAU>=<V;I>。tttttt系統(tǒng)的內(nèi)能定義為W=丄<V;I>，對應(yīng)于動力系統(tǒng)的動能；系統(tǒng)的外能定義為2F=<U,f>，對應(yīng)于外力對動力系統(tǒng)所作的功。系統(tǒng)在運動中，具有動能，外力要使系統(tǒng)

穩(wěn)定，就要對系統(tǒng)作功，外力所做的反功就是在消耗系統(tǒng)的動能。為此，定義系統(tǒng)的總能1—1量（自由能）為：P=W-F= <U,KU>-<f,U>+ <b,Db>。系統(tǒng)總能量為U的22dP —二次型。令絲=KU-f=0，即得到了平衡方程。這就說明了解電路的平衡方程可等價為dU求解一個二次規(guī)劃。4.二次規(guī)劃二次規(guī)劃可描述為：minP(u)minP(u)=1uTAu2fTu(6)其中A為對稱陣。如果有約束，則可以通過lagrangian乘子法松弛為無約束規(guī)劃。這里總假A斗AT A斗AT設(shè)A為對稱陣，否則用 代替它，因為uTAu=utAtu=ut u。22下面先討論A是正定矩陣的情況。若A是正定矩陣，P（u）是A的凸函數(shù)，令偏導(dǎo)數(shù)為零可解出P（u）唯一的最小值點u=A-1f。事實上，正定矩陣A可分解為A二ATDA,其中D為對角陣，對角線元素都是正數(shù)。令v二Au（代數(shù)變換方程），v*=Dv（對偶方程），f=Atv*（平衡方程）。這三個方程合在一起，就是所謂的三典范對偶。通過典范對偶的轉(zhuǎn)化，原二次規(guī)劃問題可轉(zhuǎn)為問題：minmax<L(u,v*)=Dminmax<L(u,v*)=D-1v**

v*v*-1(v*)tD-iv*-fTu27)其中*

v*(Au)tv*—丄(v2在v*=Dv=DAu處取到。函數(shù)L（u,v*）關(guān)于v*是凹函數(shù)，關(guān)于u是線性函數(shù)。上述問題的最優(yōu)解在L（u,v*）鞍點處取到。ATDAu=f<u,f>ATD<v;v*>圖3二次規(guī)劃的典范對偶圖若A不是正定矩陣，原二次規(guī)劃不是凸規(guī)劃，如果直接在原空間中求解，問題會變得麻煩。為此，可將A分解為兩個正定矩陣之差A(yù)=B-C（任何實數(shù)可以分解為兩個正數(shù)之差，任何對稱矩陣都可以分解為兩個正定矩陣之差，任何函數(shù)都可以分解為兩個凸函數(shù)之差）。這樣，原問題變成為：minP(差）。這樣，原問題變成為：minP(u)=—uTBuri )—uTCu+fTu。12 丿對B進行分解，B=ATda。原二次規(guī)劃問題可轉(zhuǎn)化為：mmmax<*ummmax<*u vL(u,v*)=(Au)Tv*一一(v* D-lv*-2:1UTCU+fTU卜8)函數(shù)L(u,v*)關(guān)于v*是凹函數(shù)，關(guān)于u也是凹函數(shù)，但關(guān)于(u,v*)不一定是凹函數(shù)。5.非線性系統(tǒng)的典范對偶實際上，圖3中的算子A可以矩陣，可以是微分，積分，還可以是非線性算子等等。算子D實際上，圖3中的算子A可以矩陣，可以是微分，積分，還可以是非線性算子等等。算子D也可能是非線性的。由算子A引起的非線性稱為代數(shù)非線性，由算子D引起的非線性稱為物理非線性。非線性系統(tǒng)的典范對偶圖如圖4所示。圖4中的算子A分解為切向算子A和余算子A。A*是A的逆算子。v*是v的共軛對偶變量。tctt如果系統(tǒng)的變量間是非線性的關(guān)系，那么能量函數(shù)不再是二次的，更難以保證是凸函數(shù)。非線性非凸最優(yōu)化問題一般可表示為：minP(u)=W(u)-U(u)。 (9)其中，W(u)為非凸函數(shù)。uA=A+At cv圖4<u,f>v*<v;v*>非線性系統(tǒng)的典范對偶圖A*t典范對偶理論的關(guān)鍵思想就是選擇一個代數(shù)變換v二A(u)，使得(1 A 、—uTu-1關(guān)于u不一定12 丿V(v)=(1 A 、—uTu-1關(guān)于u不一定12 丿2凸，但如果選擇v=A(u)=uTu，貝(v)=(v-1)2是凸函數(shù)。如果u是n維向量，22它的對偶變量v是個一維的變量。函數(shù)V(v)共軛變換定義為：V*(v*)=max{v“*-V(v)}。顯然，當(dāng)滿足v*=VV(v)vv時，上式的最大值取到。由v*=VV(v)確定的算子，即是對偶圖中的D。共軛變換的幾v何含義：對于一個函數(shù)，常規(guī)的看法就是給定每個自變量和對應(yīng)函數(shù)值可以確定這個函數(shù)而共軛變換函數(shù)的自變量是原函數(shù)的切線的斜率(導(dǎo)數(shù))，函數(shù)值就是切線的截距。任何函數(shù)通過共軛變換得到的函數(shù)V*(v*)總是凸函數(shù)。如果原函數(shù)V(v)本身是凸函數(shù)，那么共軛變換的共軛變換就是原函數(shù)，即V(v)=max{v*Av-V*(v*)}。因此，經(jīng)*

過共軛變換，優(yōu)化問題(9)轉(zhuǎn)換為：minP(u)=minmaxtv*AA(u)-V*(v*)-U(u)}=minmax{l(u,v*)}。 (10)u v* u v*所以，求解問題(10)成為解決非線性非凸問題的關(guān)鍵。函數(shù)L(u,v*)關(guān)于v*總是凸函數(shù)，但關(guān)于u的凸凹性隨著A(u)及U(u)的不同而不同。要使問題(10)簡單易解，技巧就在于選擇合適的算子A，這需要具體問題具體分析，此處不作詳細討論。下一節(jié)討論在知道L(u,v*)的關(guān)于u凸凹性的情況下，如何得到問題的解。6.駐點對偶定理定義1：若點(x,y)滿足：L(x,y)<L(x,y)<L(x,y)Vx,y (11)則稱(x,y)是L(x,y)的鞍點。若使得定義中的兩個不等式均反過來也是鞍點。若L(x,y)關(guān)于其中一個是凹函數(shù)，關(guān)于另一個是凸函數(shù)，它就是個鞍形函數(shù)，必然存在鞍點。定理1(鞍點對偶定理)：若點(x,y)是L(x,y)的鞍點，貝I」：minmaxL(minmaxL(x,y)=L(x,y)=maxminL(x,y)。12)TOC\o"1-5"\h\zyx xy證明：由于(x,y)是L(x,y)的鞍點，由不等式(11)可知:maxL(x,y)=L(x,y)=minL(x,y)(*)。由于minL(x,y)<L(x,y)，由(*)式左x y y邊可知maxminL(x,y)<L(x,y)。由于minL(x,y)<maxminL(x,y)，由(*)式右xy y xy邊可知l(x,y)<maxminL(x,y)。所以maxminL(x,y)=L(x,y)，即(12)的右邊成xy x y立。同理可證(12)的左邊成立。鞍點對偶定理說明在對于鞍函數(shù)求鞍點的時候，可以交換變量的最優(yōu)化順序。定義2：若點(x,y)滿足：L(x,y)<L(x,y)>L(x,y) Vx,y (13)則稱(x,y)是L(x,y)的上駐點。若點(x,y)滿足：L(x,y)>L(x,y)<L(x,y) Vx,y (14)則稱(x,y)是L(x,y)的下駐點。定理2(上駐點對偶定理)：點(x,7)是L(x,y)的上駐點，則下列兩式必有一個成立:maxmaxL(x,y)=L(x,y)=maxmaxL(x,y);x y y xminmaxL(x,y)=L(x,y)=minmaxL(x,y)。x y y x證明：點(x,y)是L(x,y)的上駐點，Vx,y，L(x,y)<L(x,y)>L(x,y)，所以maxL(x,y)=L(x,y)=maxL(x,y)(*)。(*)說明x是L(x,y)的駐點，y是L(x,y)xy的駐點，所以(x,y)是L(x,y)的駐點。因此，x必是maxL(x,y)的駐點。若x是

maxL(x,y)的最大值點，即maxL(x,y)=maxmaxL(x,y)(**)。由(*)和(**)知,y y xyxmaximxayX，即L(x,y)=maxLx,》>maxmax(Lx),y，這說明yx x yxmaxmaLxmaximxayX，即L(x,y)=maxLx,》>maxmax(Lx),y，這說明yx x yxmaxmaL(xy,)。即證maxmaxL(x,y)=L(x,y)=maxmaxL(x,y)成立；yx xy yxxyl(x,y)>若x是maxL(x,y)的最小值點，即L(x,y)=maxL(x,y)=minmaxL(x,y)(***)。y y xy另一方面，y必是maxL(x,y)的駐點。若y為maxL(x,y)的最大值點，或者拐點，則可xx推出與(***)式矛盾。所以y必是maL(x)的最小值點。即證得xminmaxL(x,y)=L(x,y)=minmaxL(x,y)成立。xy yx同理可知對應(yīng)的下駐點對偶定理。鞍點定理，上駐點定理，下駐點定理，三個對偶定理合稱駐點對偶定理(這三個定理的逆定理也成立，此處不證)。駐點對偶定理在典范對偶理論中起著至關(guān)重要的作用。有了駐點對偶定理，式(7)或(8)所示二次規(guī)劃問題可以通過交換變量的順序來求解。一個例子：考查二元函數(shù)L(x,y)=xy-y2一kx2+fx，xe考查二元函數(shù)L(x,y)=xy-m>0,k>m>0,k>0。對任意固定的y=y，L(x,y0

也就是說，)是關(guān)于x的凹函數(shù)。對任意固定的x=x，L(x,y)是000關(guān)于y的凹函數(shù)。矩陣V2l(x,y)=L關(guān)于y的凹函數(shù)。矩陣V2l(x,y)=函數(shù)L(x,y)關(guān)于y的極大值是0(x)□函數(shù)L(x,y)關(guān)于y的極大值是0(x)□maxL(x,y)=—mx2一―kx2+fx；關(guān)于x22y的極大值是nd(y)□maxL(x,y)=~^-(y+f)2-丄y2。令L(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)為2k 2m零，可解得其駐點為(x,y)=| ，上匚、這里假設(shè)m豐k，否則原問題沒有極值點。(k-mk-m丿易知x是n(x)的駐點，y是nd(y)的駐點。由于L(x,y)分別關(guān)于x或關(guān)于y是凹函數(shù)，所以下式成立：L(x,y)<L(x,y)>L(x,y)。這就說明(x,y)是L(x,y)的上駐點。容易驗證：若m>k>0，Hessian矩陣不是負定的，所以L(x,y)關(guān)于(x,y)不是凹函數(shù)，并且minn(x)=minmaxL(x,y)=L(x,y)=minmaxL(x,y)=minHd(y)。x x y y x y

-200500-150510-50z-1000-5x0y-10-20150x的圖像圖-200500-150510-50z-1000-5x0y-10-20150x的圖像圖5m=10,k=1Hessian矩陣是負定的，所以L(x,y)關(guān)于(x,y)是凹函數(shù)，即l(x,y)=maxL(x,y),并且x,y必是全局最大值點，唯一的駐點maxn(x)=maxmaxL(x,y)=L(x,y)=maxmaxL(x,y)=maxHd(y)。x xy yx y7.結(jié)論本文總結(jié)了電、磁、力三個系統(tǒng)的對偶，每個系統(tǒng)中的物理量的三個典范對偶，每個系統(tǒng)平衡時的三個駐點對偶。由于對偶關(guān)系間的傳遞性，可以產(chǎn)生更多的對偶關(guān)系。電、磁、力之間的相生相克與相互對偶，使得它們相互轉(zhuǎn)化、相互控制。參考文獻:Gao,D.Y.(2000).DualityPrinciplesinNonconvexSystems:Theory,MethodsandApplications,KluwerAcademicPubl