2021年全國高考數(shù)學信心提升試卷（附答案詳解）

2021年全國高考數(shù)學信心提升試卷

一、單選題(本大題共9小題，共36.0分)

1.已知集合4,B相等，A=R,則B=()

A.NB.QC.RD.Z

2.用列表法將函數(shù)y=f(x)表示如下：

X0

y0

則-0)=()

A.0B.1C.2D.3

3.一個幾何體的三視圖均為圓，則該幾何體可以是()

A.正方體B.球體C.三棱柱D.四棱錐

4.設(shè)a€R,則“a>0”是“a<0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知。(0,0),(2(1,-1),則()

A.O,P,。均在拋物線y2=4x±B.O,P,。均在拋物線y2=3x上

C.O,P,。均在拋物線y2=2%上D.O,P,Q均在拋物線y2=x上

6.已知實數(shù)x,y滿足約束條件則x+y的最小值為()

A.-4B.-2C.0D.2

7.已知函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則()

A.〃久)可能是奇函數(shù)，但不可能是偶函數(shù)

B.f(x)可能是偶函數(shù)，但不可能是奇函數(shù)

C.f(x)可能是奇函數(shù)，且可能是偶函數(shù)

D.f(x)不可能是奇函數(shù)，且不可能是偶函數(shù)

已知數(shù)列｛時｝滿足赤黑蒜兩=°。CN*),則(

A.。2021>01B.112021<01

C.數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列D.數(shù)列｛aj是等比數(shù)列

9.已知隨機變量f表示100次出手后籃球的命中次數(shù)，且f的分布列如下:

N/AE(f)

球員“神射手”4024

球員“黃油手”00

則下列有關(guān)說法中正確的是()

A,球員“神射手”的投籃水平較好，因為命中率較高

B.球員“黃油手”的投籃水平較好，因為命中率較低

C.球員“神射手”的投籃十分穩(wěn)定，故心理素質(zhì)較好

D.球員“黃油手”的投籃十分穩(wěn)定，故心理素質(zhì)較好

二、單空題(本大題共7小題，共36.0分)

10.我國古代人民采用“刻痕計數(shù)”，即在木頭獸骨和石塊上留下刻痕來記錄數(shù)字.若

某部落規(guī)定一條刻痕代表數(shù)字1,則兩條刻痕代表數(shù)字,三條刻痕代表數(shù)字

11.若二項式(％+乂/=%+a/+a2%2,貝11ao=>%=,a2=.

12.圓/+y2=i被*軸截得的弦長是.

13.若在7位男生和3位女生中隨機挑選出1人，則所有選法種數(shù)是.(用數(shù)字作

答)

14.已知在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,h,c,」_=_L立匕=立，

sinAsinB2ab2

則b=,C=.

15.已知雙曲線E：l(m,n>0)的焦距為4,則m+n=.

16.已知單位向量4,瓦，…臉，則|可+￡+…+臉|的最大值是,最小

值是.

三、解答題(本大題共5小題，共74.0分)

17.已知函數(shù)/(%)=sinx.

(I)判斷/(%)是否是三角函數(shù)，并求/($的值；

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(口)求/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間.

18.已知正三棱柱4BC-aBiCi的所有邊長均為1.

(I)計算正三棱柱力BC-4名的的表面積和體積;

(n)求直線與平面ABC所成角的大小.

19.已知數(shù)列｛冊｝的前"項和為右，且滿足%=1，?2=2.

(I)若數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，求公差d及sn；

(口)若數(shù)列｛即｝是等比數(shù)列，求公比q及右.

20.已知橢圓「：-+^=1,直線/：=kx+b與橢圓「僅有一個公共點.

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(I)求人，8滿足的關(guān)系式；

(口)若直線/與工，y軸分別交于A,B兩點，。是坐標原點，求aAOB面積的最小

值.

21.已知定義在(0,+8)內(nèi)的函數(shù)/(尤)的導函數(shù)((%)=?.

(I)證明：/'(x)>l+%

(II)當/(I)>e時，證明：函數(shù)。。)=號恰有兩個極值點.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解："A=B,A=R,

B—R.

故選：C.

根據(jù)集合相等的定義即可得出集合B.

本題考查了集合相等的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，由列表法可得：/(0)=0,

故選：A.

根據(jù)題意，由題目的表格分析可得答案.

本題考查函數(shù)的表示方法，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，一個幾何體的三視圖均為圓，只有球符合，

故選：B.

根據(jù)題意，由球的三視圖的特點，分析可得答案.

本題考查空間幾何體的三視圖，注意三視圖與幾何體的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：“a>0”與“a<0”相互推不出，因此“a>0”是“a<0”的既不充

分也不必要條件，

故選：D.

利用不等式的意義、充要條件的判定方法即可判斷出結(jié)論.

本題考查了不等式的意義、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：對于A,點P(L1),Q(l,-1)不滿足拋物線y2=4x,故A錯誤，

對于B,點Q(L-l)不滿足拋物線y2=3x,故B錯誤，

對于C,點P(l,l),Q(l,-1)不滿足拋物線y2=2%，故C錯誤，

對于D,0(0,0),Q(l,-1)均滿足拋物線y2=x,故。正確.

故選：D.

將O,P,。三點分別代入選項驗證，即可求解.

本題主要考查拋物線的性質(zhì)，以及考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：由得x+y^o，

x+y的最小值為0.

故選：C.

由已知利用不等式的性質(zhì)求得x+y的范圍，則答案可求.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查不等式的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，關(guān)于原點不對稱性，即函數(shù)是偶函數(shù)，不可

能是奇函數(shù)，

故選：B.

根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性進行判斷即可.

本題主要考查函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系，利用對稱性是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

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【解析】解：.%+硝黑分%+響=°，

即+1-即=0,即即+1=即，故。2021=的，選項A、8錯誤；

由斯+1-廝=0,得數(shù)列｛冊｝是等差數(shù)列，且公差為0,故選項C正確；

易知｛&J是常數(shù)列，若冊=。，則｛。工不是等比數(shù)列，故選項Q錯誤.

故選：C.

由廣°，可得冊+1-冊=0,即即+1=冊，從而即可對選項進行逐一

判斷.

本題考查常數(shù)列，需注意常數(shù)列一定是等差數(shù)列，不一定是等比數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】A

【解析】解：由題意可知，球員的“神射手”的期望大于球員“黃油手”的期望，且二

者出手均為100次，

故球員的“神射手”的命中率較高，投籃水平較好，故A正確，8錯誤，

球員“黃油手”的方差低于球員“射射手”的方差，但球員“黃油手”的期望低于球員

“神射手”的期望，故無法判斷二者的心理素質(zhì)，故C,。錯誤.

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合期望和方差的實際含義，即可求解.

本題主要考查了期望和方差的實際含義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】23

【解析】解：由題意可知，某部落規(guī)定一條刻痕代表數(shù)字1,則兩條刻痕代表數(shù)字2,

三條刻痕代表數(shù)字.

故答案為：2,3.

根據(jù)已知條件，結(jié)合記錄數(shù)字的規(guī)律，即可求解.

本題考查了計數(shù)原理的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】004

222

【解析】解:二項式(％+x)=(2x)2-4%=劭+atx+a2x,則a。=0,ax=0,a2=4,

故答案為：0；0；4.

把所給的二項式變形，從而得出結(jié)論.

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】2

【解析】解：如圖所示,

圓/+y2=i的半徑為1,且圓刀2+丫2=1被x軸截得的弦長即為直徑的長度，所以圓

x2+y2=1被x軸截得的弦長是2.

故答案是：2.

根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)圖形可以直接得到答案.

本題主要考查了直線與圓相交的性質(zhì)，此題采用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想解題，比較形象

直觀，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】10

【解析】解：在7位男生和3位女生中隨機挑選出1人，從7位男生中年隨機挑選1人,

有7種不同的方法，

從3為女生中隨機抽取1人，有3種不同的方法，

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，則所有選法種數(shù)是7+3=10種.

故答案為：10.

根據(jù)已知條件，結(jié)合加法計數(shù)原理，即可求解.

本題主要考查加法計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.

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14.【答案】嗯

O

【解析】解：因為一、=一三，

sinAsinB

所以由正弦定理-三=-4，可得b=l,

sinAsinB

因為當I=c0sc=更，

2ab2

又C€(0,7T),

所以c=?.

故答案為：1，J.

由已知利用正弦定理可得b的值，利用余弦定理可求cosC的值，結(jié)合范圍CW(0,7r),

可求C的值.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,

屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】4

【解析】解：雙曲線氏?一?=l(m,n>0)的焦距為4,

可得+n=4,解得m+n=4.

故答案為：4.

直接利用雙曲線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】20210

【解析】解：由已知當這2021個單位向量組成一個封閉的多邊形時，|瓦(+￡+???+

茄￡|有最小值，為0；

又根據(jù)|弓+可|<|a|+|b|可知當這2021個單位向量的方向相同時，|%+孩+…+

臉|有最大值，為2021；

故答案為：2021；0

根據(jù)向量模的三角不等式，可知當全部向量方向相同時，它們的和的模有最大值.

本題主要考查向量的模的最值問題，掌握向量的模表示的幾何意義是解題的關(guān)鍵.是中

檔題.

17.【答案】解：(I)函數(shù)fQ)=s譏久是三角函數(shù)，/6)=1；

(n)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：［―5+2/OT,2/OT+§(/C6Z).

【解析】(I)直接利用三角函數(shù)的定義和函數(shù)的關(guān)系式求出結(jié)果；

(II)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)的定義，正弦函數(shù)的單調(diào)性，主要考查學生的運算能力

和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解:(I)如圖所示,

正三棱柱ABC-Z/iCi的所有邊長均為1.

所以該三棱柱的表面積為S=S儂+S施=3xlxl+2x|xlxlx^=3+^；

體積為V=ShABC-h=|xlXlXyXl=y；

(口)三棱柱48。一&8傳1，1底面ABC,

所以NBiZB是直線a4與平面ABC所成的角，

又AB=BBi=1,所以4B1AB=45°,

即AB】與平面ABC所成的角為45。.

【解析】(I)根據(jù)題意計算三棱柱的表面積和體積即可；

(n)由題意知NB1AB是直線與平面ABC所成的角，根據(jù)AB=BB1=1求出4當48的

大小.

本題考查了三棱柱的表面積與體積計算問題，也考查了直線與平面所成的角計算問題,

是基礎(chǔ)題.

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19.【答案】解：(I)若數(shù)列｛廝｝是等差數(shù)列,

由的=1,a2=2,可得d=&一=1，

e.n(n-l)dn(n-l)_n(n+l)

+—2—=H+2-2

(口)若數(shù)列｛冊｝是等比數(shù)列,

由臼=1,a2=2,可得q=，=2,

所以Sn==衛(wèi)=2"-1

1-q1-2

【解析】(I)由等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差乩由等差數(shù)列的前〃項和即可求解又；

(II)由等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比q,由等比數(shù)列的前〃項和即可求解S..

本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)及前“項和公式，考查運算求解能力，屬于基

礎(chǔ)題.

X2y2

T+T=1,

(y=kx+b

可得(3+4k2)x2+Bkbx+4b2-12=0,

因為直線與橢圓只有一個公共點，

所以△=(8kb)2-4(3+4k2)(482-12)=0,

化簡得4k2-8+3=0.

(n)根據(jù)題意，《存在且所以A(-&0),8(0”)，

所以A40B面積sExl-glx網(wǎng)14用弓I專引=：1妹|+展|,

s=I(I4fc|+申)*X2小的.中=2e，

當且僅當14kl=尼|時，即4=土立時等號成立，即面積最小值為2次,

綜上所述，△4。8的面積的最小值為2遮.

【解析】(I)將橢圓與直線聯(lián)立，可得關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)只有一個公共點,

可得判別式△=()，代入數(shù)據(jù)，即可得出答案.

(11)先求得4,8坐標，進而可得AAOB面積S的表達式，結(jié)合(I)及基本不等式，即

可求得答案.

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

21.【答案】解：(I