第6講-高斯光束的傳輸變換

5.1均勻介質(zhì)中的高斯光束高斯光束在軸線附近可以看成一種非均勻高斯球面波，在傳播過程中曲率中心不斷改變，其振幅在橫截面內(nèi)為一高斯分布，強(qiáng)度集中在軸線及其附近，且等相位面保持球面。前面推導(dǎo)均勻介質(zhì)中的基模高斯光束解時(shí)曾假設(shè)振幅橫向分布與方位角無關(guān)，如果考慮方位角的變化，則算符可以表示為：此時(shí)波動方程的特解為：代入波動方程，分離變量后解得：5.2均勻介質(zhì)中的高階高斯光束其解為厄米多項(xiàng)式

仍為基本高斯光束解，所以總的解為其中的m、n為x、y方向上的零點(diǎn)數(shù)，此時(shí)高階高斯光束分布為厄米-高斯光束，表示為TEMmn模式。5.2均勻介質(zhì)中的高階高斯光束5.2均勻介質(zhì)中的高階高斯光束幾種高階高斯光束的光強(qiáng)分布圖TEM0TEM1TEM2厄米Hm(x)Hm(x)FI∝H2m(x)F25.2均勻介質(zhì)中的高階高斯光束5.3類透鏡介質(zhì)中的高斯光束類透鏡介質(zhì)中k2≠0，此時(shí)的簡化波動方程為：

其解仍可以采用與均勻介質(zhì)中相類似的處理方式得到，最終可以求出：5.3類透鏡介質(zhì)中的高斯光束前面得到了類透鏡介質(zhì)中高斯光束參數(shù)q(z)的復(fù)數(shù)表達(dá)形式：q0是由邊界條件求出的光束初始條件，將上式同前面得到的光線矩陣比較：主題高斯光束的傳輸與變換（q參數(shù)變換規(guī)律）高斯光束的特征參數(shù)1、由(1)、(2)式可知，只要確定了束腰的位置和半徑ω0，就可以確定任何位置的光束半徑和等相位面半徑等參數(shù)；6.1高斯光束的表述:束腰的位置和半徑ω0高斯光束的特征參數(shù)2、當(dāng)確定了某一確定位置z處的ω(z)和R(z)后，也可以通過(1)、(2)式求出束腰位置及大?。?.1高斯光束的表述:

ω(z)和R(z)3、用q參數(shù)表示由q參數(shù)的定義：可知q參數(shù)將R(z)和ω(z)聯(lián)系在一起了，可以求得：令q0=q(0)，則：通過這些公式，我們可以用高斯光束的q參數(shù)來描述高斯光束。以上三組參數(shù)都可以用來確定高斯光束的具體結(jié)構(gòu)，需要根據(jù)實(shí)際問題來靈活選擇使用哪種參數(shù)。6.1高斯光束的表述:

q(z)q參數(shù)的單位？核心6.2高斯光束的傳輸與q參數(shù)

普通球面波波前曲率半徑的傳播規(guī)律

普通球面波在自由空間的傳播6.2高斯光束的傳輸與q參數(shù)

普通球面波波前曲率半徑的傳播規(guī)律

當(dāng)球面波通過焦距為F的薄透鏡時(shí)，其波前曲率半徑滿足：該式描述球面波曲率半徑R在通過光學(xué)系統(tǒng)時(shí)的變換規(guī)律，稱為ABCD定律。高斯光束在近軸部分可以看作一系列非均勻、曲率中心不斷改變的球面波，也具有類似于普通球面波的曲率半徑R的參數(shù)，即q參數(shù)：整理可得：其中6.2高斯光束的傳輸與q參數(shù)

高斯光束在自由空間的傳輸

通過整理q的表達(dá)式可以得到：可以得到通過長度為L的均勻介質(zhì)后的q參數(shù)如下，其中q2=q(z2)，q1=q1(z1)分別為z1和z2面處的q參數(shù)6.2高斯光束的傳輸與q參數(shù)

高斯光束在自由空間的傳輸

由薄透鏡性質(zhì)可知，在緊靠薄透鏡的M1和M2兩個(gè)面上的光斑大小和強(qiáng)度分布是一樣的，即：經(jīng)過薄透鏡變換后在像方繼續(xù)傳輸?shù)墓馐詾楦咚构馐?/p>

薄透鏡：強(qiáng)度分布不變

球面波前曲率半徑的變換：R2為等相位面曲率半徑，由球面波球率半徑的變換公式可得：6.2高斯光束的傳輸與q參數(shù)

高斯光束透過薄透鏡

6.2高斯光束的傳輸與q參數(shù)

高斯光束透過薄透鏡

前面得到了類透鏡介質(zhì)中高斯光束參數(shù)q(z)的復(fù)數(shù)表達(dá)形式：q0是由邊界條件求出的光束初始條件，將上式同前面得到的光線矩陣比較：6.2高斯光束的傳輸與q參數(shù)

高斯光束透過類透鏡介質(zhì)

問題：q到底是什么？？q----表示高斯光束的復(fù)數(shù)曲率半徑。q=實(shí)數(shù)（幅值）+虛數(shù)（相位）。q----非均勻波。因?yàn)槭歉咚狗植?。R---均勻球面波。曲率半徑。實(shí)數(shù)。q----表達(dá)式---將等相位面曲率R和束腰w聯(lián)系。特點(diǎn)。q主要用于表達(dá)。R、z、w主要用于計(jì)算。球面波和高斯光束的比較（1）--直線傳播球面波和高斯比較（2）--透鏡--ABCD通過將上面推出的公式同球面波的傳播特性公式相比較，可以看到無論是在對自由空間的傳播或?qū)νㄟ^光學(xué)系統(tǒng)的變換，高斯光束的q參數(shù)都起著和普通球面波的曲率半徑R相同的作用，因此有時(shí)將q參數(shù)稱作高斯光束的復(fù)曲率半徑；高斯光束通過光學(xué)元件時(shí)q參數(shù)的變換規(guī)律可以類似的用光線矩陣表示出來：由前面的討論我們知道可以用q參數(shù)描述一個(gè)高斯光束的具體特征，而且可以通過q參數(shù)和ABCD法則很方便的描述一個(gè)高斯光束在通過光學(xué)元件時(shí)的傳輸規(guī)律，因此我們將主要采用q參數(shù)來分析薄透鏡高斯光束傳輸問題。經(jīng)過兩個(gè)光學(xué)元件的高斯光束設(shè)兩個(gè)光學(xué)元件的光線矩陣為入射高斯光束參數(shù)為q1，經(jīng)過第一個(gè)光學(xué)元件后有：經(jīng)過第二個(gè)光學(xué)元件后：其中：其規(guī)律同光線傳輸規(guī)律相同，可以推廣到任意個(gè)光學(xué)元件的傳輸情況。6.2高斯光束的傳輸與q參數(shù)

高斯光束透過兩個(gè)光學(xué)元件6.3高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳播光線通過雙周期透鏡波導(dǎo)單元的光線矩陣為（ABCD），那么經(jīng)過S個(gè)周期后，聯(lián)系S＋1面和第1面的光線矩陣是：其中：用數(shù)學(xué)歸納法可以證明6.3高斯光束在透鏡波導(dǎo)中的傳播高斯光束通過透鏡波導(dǎo)的穩(wěn)定性條件由光束參數(shù)變換法則：要使得上式中qs+1為有限值，即光束約束在透鏡波導(dǎo)內(nèi)傳播，就要求

θ為實(shí)數(shù)，即

，由此可得到光束穩(wěn)定性條件：如果θ為虛數(shù)，不妨設(shè)θ=ia，則會隨著S的增加而增加，qs+1沒有確定值，不穩(wěn)定。高斯光束的傳播