2021年天津市南開區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（二）（二模）附答案解析

2021年天津市南開區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（二）（二模）

一、單選題（本大題共9小題，共45.0分）

1.已知集合4={x|0Wx<l},B={x|巖W0},則4nB=()

11

A.{x|0<%<-}B.{x|-<%<1}

C.{x|0<%<-}D.{x|-1<x<1）

2.已知a>0,b>0,貝I」“a+b24”是“ab24”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)丫=等二的圖象大致為（）

2乂一2一%

4.如圖1是遂寧市某校高中學(xué)生身高的條形統(tǒng)計(jì)圖，從左到右的各條形表示的學(xué)生人數(shù)依次記為

A2,必。（如心表示身高（單位：c7n）口5（U55）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)）.圖2是圖l中身高在一定分為內(nèi)

學(xué)生人數(shù)的一個(gè)算法流程圖.現(xiàn)要統(tǒng)計(jì)身高在160?175cm（含160cm,不含175cm）的學(xué)生人數(shù),

那么在流程圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）

-S

400

:50Z=：+1

300

50

300

■、50

200

150

100

50

A.i<6B.i<7C.t<8D,i<9

5.若過點(diǎn)4(4,0)的直線/與圓(x—2/+y2=i有公共點(diǎn)，則直線/的斜率的最大值為()

A.V3B.%C.-V3D.一更

33

6.己知定義域?yàn)镽的函數(shù)g(x)=/(2x)+/為奇函數(shù)，且『(2)=3,則/(-2)=()

A.—2B.—5C.1D.-3

7.己知點(diǎn)P為雙曲線，-二=l（a>0.6>0）右支上一點(diǎn)，

5*

瓦三'分別為雙曲線的左右焦點(diǎn),且）=—，/為三角形

附片的內(nèi)心,若,，%=虱略十強(qiáng)購成立，則|7的值為（）

B."行7

C.172+1

D.172-1

8.下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.命題“Vx>1,x2-x>0M的否定是，xo>1,就一與W0

B.在△ABC中，4<BQsinA<sinB<=>cosA>cosB

C.已知某6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3,方差為2,現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)3,則此時(shí)這7個(gè)數(shù)的平均數(shù)和

方差不變

D.從裝有完全相同的4個(gè)紅球和2個(gè)黃球的盒子中任取2個(gè)小球，則事件“至多一個(gè)紅球”與

“都是紅球”互斥且對立

9.設(shè)單位向量瓦?與瓦的夾角為泉且五=可+3石，3=3瓦（+無，則方—方在石方向上的投影為（）

A.1B.|C.旭D.也

221313

二、單空題（本大題共6小題，共30.0分）

10.己知觥R復(fù)數(shù)萼9的實(shí)部和虛部相等，則匕等于一.

11.已知（2x+/"）8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于1120,則x的值為

12.如圖，在四棱柱43。。-4/16。1中，底面是ABCC正方形，側(cè)棱4411底面

A,

ABCD.已知4B=1,E為4B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)+CE取得最小值歷時(shí)，三

棱錐-ADE的外接球表面積為.

A

13.某人對一目標(biāo)進(jìn)行射擊，每次命中率都是0.25,若使至少命中1次的概率不小于0.5,至少應(yīng)射

擊___次.

,3%—y—6<0

14.設(shè)％,y滿足約束條件卜一y+2NO，若目標(biāo)函數(shù)z=QX+by（Q>0*>0）的值是最大值為12,

%>0,y>0

貝仁+:的最小值為_____.

ab

15.若｛(2,1)｝是關(guān)于x,y的方程組償譽(yù)二；的解集，貝U(a+b)(a-b)=

三、解答題(本大題共5小題，共75.0分)

16.在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足，^_=遜.

(1)求角4；

(2)若a=VH，b=有,求邊c的長.

17.如圖，平面,斑翻隔上平面松：，.&睡獻(xiàn)是等腰直角三角形，壽=盛：=4,四邊形，蹈置是

直角梯形，網(wǎng)IAE,螂,1豳，鮑=匕解！=雪，4、嬤分別為部盟、罐的中點(diǎn).

(1)求異面直線盤i與喀所成角的大小；

(2)求直線磁和平面誦髏所成角的正弦值.

己知｛即｝是公差為的等差數(shù)列，%,。成等比數(shù)列.

18.1a5,25

(1)求數(shù)列｛0｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)垢=2%+an,求數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和虧.

19.如圖，已知直線P4,PB與拋物線/=4y分別相切于點(diǎn)4,B.

(1)若點(diǎn)P在直線y=-1上，求證：直線4B過定點(diǎn)

(2)若點(diǎn)P是半橢圓?+?=l(y<0)上的動(dòng)點(diǎn)，求APAB面積的取值范圍

20.已知函數(shù)fQ)=x—%?+31nx

(I)求在P(l,0)處的切線方程：

⑺證明/⑺<2x-2.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：解：集合A={x|0<%<1}.B={x|<0}={x|-1<x<|},

則4nB={x|0<%<^].

故選:A.

求出集合4,B,由此能求出4nB.

本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.答案：B

解析：?-a+b>2Vab，

:.若ab>4,可得a+b>4.

反之不成立，例如：a=1,b=3,滿足a+b>4,但是ab=3<4.

因此“a+b24”是“ab>4”的必要不充分條件.

故選：B.

根據(jù)a+b>2病，及其己知條件即可判斷出關(guān)系.

本題考查了簡易邏輯的判定方法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.答案：。

解析：

本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，屬于中檔題.

利用函數(shù)的奇偶性，定義域，函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.

解：???/■(—X)==—/■(%),

???函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B；

2

)2#-2r22X-1

?,.無。0,排除選項(xiàng)C

???函數(shù)為減函數(shù)，排除選項(xiàng)A,

故。正確.

故選：D.

4.答案：B

解析：分析：該流程圖的目的是算出身高在[160,175)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，可得循環(huán)體需計(jì)算i=4、5、6

時(shí)四個(gè)4的和，由此可得判斷框內(nèi)應(yīng)填寫的條件是："i<7”.本題以統(tǒng)計(jì)條形圖為載體，計(jì)算身高

在[160,175)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，考查了頻率直方分布圖的理解和循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖等知識，屬于基礎(chǔ)

題.

解答：為了統(tǒng)計(jì)身高在[160,175)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，先算出從160到175的小組分別有

[160,165),[165,170),[170,175)共有三組，分別為第4組、第5組、第6組.

因此，當(dāng)i=4時(shí)開始，直到i=6時(shí)算出這四組的頻數(shù)之和，

可得判斷框內(nèi)應(yīng)填寫的條件是：ui<7M.

故選：B.

5.答案：B

解析：

本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

由已知畫出圖形，求出直線與圓相切的切線的斜率即可，

解：如圖，

設(shè)過點(diǎn)4(4,0)的直線，與圓Q-2產(chǎn)+y2=1在第四象限切于B,

則BC=1,AC=2,AB=V3V3.

:.tanz.BAC=5=冬

.??若過點(diǎn)4(4,0)的直線，與圓(久-2>+y2=1有公共點(diǎn)，則直線，的斜率的最大值為苧.

故選：B.

6.答案：B

解析：

本題考查奇函數(shù)的定義，函數(shù)求值的方法，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù)即可得出g(—1)=—g(l)，從而得出/(—2)+1=-[/(2)+1],然后

帶入/(2)=3即可求出/(一2).

解：；g(x)是R上的奇函數(shù)；

???g(-x)=_g0)；

?1?g(T)=-g⑴；

.-./(-2)+l=-[/(2)+l],且八2)=3；

/(-2)=-5.

故選民

7.答案：D

解析：試題分析：設(shè)APF再的內(nèi)切圓的半徑為r,因?yàn)辄c(diǎn)P為雙曲線=11>@方>0）右支

上一點(diǎn)，片分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，所以|叫|一叫|=2a，照|=2c,所以Sy

2

$一=；|叫|『，曬|r=b，因?yàn)镾5=SM-+ZSf，所以

工㈣r=3叫卜+3,解得2=畫上?=g，因?yàn)閨理訃匕所以2c=￡=±W,

即(q)+--1=0,解得：巴=應(yīng)一1或巴=一0—1(舍去)，所以;l=J5-l，故選D

IcJccC

考點(diǎn)：1、雙曲線的定義；2、三角形的面積公式；3、雙曲線的簡單幾何性質(zhì).

8.答案：C

解析：解：命題“Vx>l,x2-x>0"的否定是“北。>1,詔一qSO”滿足命題的否定形式，

所以4確；

4>B,則a>b,利用正弦定理可得Q=2rsi?M,b=2rsinB,故sinA>由同角三角函數(shù)的基

本關(guān)系可得cos/<cos所以8正確；

這6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為3,方差為2

現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)3,此時(shí)這7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為3,方差為2x7x)=9,所以C不正確；

o3

從裝有完全相同的4個(gè)紅球和2個(gè)黃球的盒子中任取2個(gè)小球，則事件“至多一個(gè)紅球”包含：事件:

沒有紅球和事件，只有一個(gè)紅球；與“都是紅球”互斥且對立，所以。正確；

故選：C.

利用命題的否定判斷4正弦定理判斷B；方差與均值判斷C；互斥事件與獨(dú)立事件判斷D.

本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及命題的否定，正弦定理期望與方差，互斥事件與對立事件，

是基本知識的考查.

9.答案:C

解析：解：?；|瓦*|=|名|=1,瓦?瓦=點(diǎn)石一蒼=2瓦一2瓦，石=3瓦（+夙，

.?.片=9+1+3=13，|石|=VH，（9-砌7=6可之―4而隹-2可2=6-4x?2=2,

...b-&在方方向上的投影為寫亞=言=警?

故選：C.

根據(jù)條件知|瓦＞1=1可1=1,可然后即可求出|3|=代，@-初7=2,然后根據(jù)投影的

計(jì)算公式即可求出投影的值.

本題考查了單位向量的定義，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量的數(shù)乘運(yùn)算，投影的計(jì)算公式，

考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.答案：

解析：試題分析：二4_q覆"出/"敢pa_履》工號1口邈/=小出三系所以有

1k'翳裹S醬3%方

題普噫］-題..a

0W整

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)及其運(yùn)算

點(diǎn)評：復(fù)數(shù)運(yùn)算中分子分母同乘以分母的共規(guī)復(fù)數(shù)化簡，復(fù)數(shù)涵+融.中實(shí)部為輜，虛部為蜀

11.答案：x=1或x=*

解析：解：（2x+fgx）8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)，

所以圓（2x）4.（/gx）4=1120.

即X（4+43）=1,

所以4+4lgx=0,或冗=1

所以％=w,或％=L

故答案為：X=1或X==

直接利用二項(xiàng)展開式二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于1120,列出方程求出x的值.

本題考查二項(xiàng)式定理形式的性質(zhì)，考查指數(shù)對數(shù)方程的解法，考查計(jì)算能力.

12.答案:等

解析：解：畫出幾何體的圖形，連接5力延長至G使得4G=AD,

連接CiB延長至尸使得=BC,連接EF,則4BFG為正方形，

連接必產(chǎn),則。/為。隹+CE的最小值:=

卜+(J1+4唐+1)2=710-

AA1-V3，AE=|.

三棱錐5-ACE補(bǔ)成長方體，長寬高分別為1,|,V3.其對角線長

為1+<+3=亞,

793

???三棱錐劣-ADE的外接球的半徑為四,

13

三棱錐劣-4DE的外接球表面積為為47r?3=學(xué).

故答案為：爭.

畫出幾何體的圖形，連接延長至G使得力G=AD,連接GB延長至F使得8F=BC,連接EF,D#,

則DiF為。送4-CE的最小值，求出=俗4E=泉三棱錐為一ZDE補(bǔ)成長方體，長寬高分別為1,

gV3,其對角線長為卜+t+3=紀(jì)電，可得三棱錐5-ADE的外接球的半徑，即可求出三棱錐Di-

3Y93

4DE的外接球表面積.

本題是中檔題，考查正四棱柱表面距離的最小值問題，考查折疊與展開的關(guān)系，能夠轉(zhuǎn)化為平面上

兩點(diǎn)的距離是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計(jì)算能力.

13.答案：3

設(shè)應(yīng)該射擊詼，則在這2欠射擊中,命中的次數(shù)用X表示，則

解析：X服從B(n,0.25)的二項(xiàng)分布，則至少一次命中的概率

P=1都不中的概率=1-0.75"n

1-0.75">0,5>至少應(yīng)該射擊3次.

14.答案：O

解析:解:不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，

當(dāng)直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x-y+2=

0與直線3%-y-6=0的交點(diǎn)(4,6)時(shí)，

目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,

即4Q+6b=12,即2a+3b=6,

工2,3,2,3、2a+3b13,*,a、、13,。25

而一+工=(-+-)----=—+(-+-)>—+2=—.

abkad766匕/66

故答案為：官

先根據(jù)條件畫出可行域，設(shè)2=。％+6丫，再利用幾何

意義求最值，將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，只需求

出直線z=ax+by,過可行域內(nèi)的點(diǎn)(4,6)時(shí)取得最大值，從而得到一個(gè)關(guān)于a,b的等式，最后利用

基本不等式求最小值即可.

本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬

于基礎(chǔ)題.

15.答案：-15

解析：

本題考查方程組的求解.

將方程組的解代入方程組可得關(guān)于a,b的方程組，求解即可.

解：???｛(2,1)｝是關(guān)于x,y的方程組以:二；的解集，

???｛非甘=；解得｛廣廣，

12b+Q=73=4

A(a+b)(a-b)=(-14-4)x(-1-4)=-15.

故答案為：—15.

16.答案：解：(1)2tanB=

tanA+tanBc

2sEB2sin8..

cos8___________cosB________ZsinBcos/l——3si九8

sin/l?-sfnAcos8+sbt8cJ7^~—stnC-slnC

cosAcosBcosAcosB

??可?得cos4=?，由A6(0,71),可得4=

(2)va=V21?b=A/3，%=也

???由余弦定理Q2=62+c2-2bccosA,可得：21=3+c:2—2xbxcxf,即c?—3c—18=0,

???解得c=6,或一3（舍去）.

解析：（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理化簡已知等式可得C0S4=號,結(jié)合范圍Ae（0,兀）,

可得4的值.

（2）由余弦定理可得c2-3c-18=0,解方程即可得解c的值.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了

計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

17.答案：（1）暨,（2）返

怪睡；

解析：試題分析：（1）求空間角，一般利用空間向量解決.首先要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，由平面

,就顫S.J■平面窗窗及辱,1.癡，運(yùn)用面面垂直性質(zhì)定理，可得幽J.面胸窗，這樣確定豎坐標(biāo).橫

坐標(biāo)與縱坐標(biāo)可根據(jù)右手系建立.因?yàn)楫惷嬷本€會與理所成角管等于向量藐'與磁夾角或其補(bǔ)

角，而異面直線蠲與聲所成角范圍為斛g]|,所以.窗=|年好*藕"藻詞，（2）直線磁和平

面誦髏所成角解與向量遢與平面加雕法向量記夾角互余或相差的r，而直線懶;和平面

隰嬲所成角何范圍為纏所以贏篇彳■磐，「礴謁詞.

試題解析：

T凝,1.蹣，又：面,豳豳.1面/質(zhì)，面,面讖:?=延，

題痛立面（?球，，?堰雷,1面蒯窗，："?！?1E,???癡,1面級。2分

如圖所示，以C為原點(diǎn)，分別以CB為x,y軸，以過點(diǎn)C且與平面4BC垂直的直線為z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，???府斛=潮=邢，.?.設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)為e■總《虱頓，詢孔見螂:，邈￡我瞬，整久集蜀，

第通鞭，

則沖鼻蜀，盛鮮,笠瞬，蒸=W-q.q堿理'=都瞰/，

礴,=混￡集蜀，藏匚&aQ期，藕?=%豈箋緲.

則蠲與理所成角為去5分

，衛(wèi)

(2)設(shè)平面ODM的法向量枷用黑域，則由濡工福，且魏,施可得拿:黑2=蟹

令蝠=3,則朋=憶印=H,.?.硒=修*。，轆，設(shè)直線CD和平面ODM所成角為修，則

.??直線C。和平面0?！彼山堑恼抑禐檎?10分

哪

考點(diǎn)：利用空間向量求異面直線所成角及直線與平面所成角.

18.答案：解：⑴??9,。5,。25成等比數(shù)列，

?*,a5=ala25,

則(％+4d)2=%(由4-24d),d=1

???Qi=1

，an=n；

n

(2)bn=2+n,

〃=(21+2?+???+2n)+(1+2+3+…+n),

_2(l-2n)n(n+l)

，

=---1----2---H-------2----

=2(2n-1)+^^^.

解析：(1)由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)求出公差，由此能求出an=心

n

(2)由匕=2〃+an,bn=2+n,則可求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性

質(zhì)的靈活運(yùn)用.

2Y

19.答案：解：(1)證明：設(shè)4(X141),B(X2，、2)，PQo.y。)，X2=4yEPy=可得y'=5,

直線4B的斜率為上皂=盧件=?，

Xl-X24(%!-%2)4

可得直線4B的方程為y-弓=包詈。-%),

即好空一竿，

切線P4的方程為y=-苧，切線PB的方程為y=￡%一?，

%1+%2

“°一711，由題意可得尢=一1,

yo=—

則直線AB的方程為y=詈X+1,

可得直線4B過定點(diǎn)(