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第四節(jié)重積分的幾何應(yīng)用1.平面圖形的面積2.空間立體的體積3.曲面的面積4.習(xí)題解析若要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域時(shí)，相應(yīng)地部分量可近似地表示為的形式，其中在內(nèi)．這個(gè)稱為所求量U的元素，記為，所求量的積分表達(dá)式為把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中.對(duì)三重積分而言1.平面圖形的面積由二重積分的性質(zhì)，當(dāng)f(x,y)=1時(shí)區(qū)域D的面積2.空間立體的體積設(shè)曲面的方程為則曲頂柱體的體積為由三重積分的物理意義知空間閉區(qū)域的體積為計(jì)算由曲面解一用二重積分與xoy面所圍成的立體的體積由對(duì)稱性得例1解二用三重積分所圍成的立體的體積解一（用極坐標(biāo)）解二是柱形區(qū)域，用柱坐標(biāo)例2例3求球體被圓柱面所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。解顯然，所求立體應(yīng)在第一、第四、第五、第八卦限。而且，四個(gè)卦限部分的體積是對(duì)稱相等的。因此，若設(shè)第一卦限部分的體積為V1，則所求立體的體積為V1可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為它的底D由半圓周及x軸圍成。用極坐標(biāo)系表示于是，所求立體體積任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:曲面的切平面方程為它與曲面的交線在xoy面上的投影為(記所圍域?yàn)镈)在點(diǎn)例4.求曲面例5.求半徑為a的球面與半頂角為

的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在

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