圓形橋墩外域水動水壓力的簡化公式

圓形橋墩外域水動水壓力的簡化公式

0動水壓力計算方法隨著經濟的快速發(fā)展，深水橋梁的建設越來越多。我國是地震多發(fā)國,震災嚴重,地震作用下深水橋梁的墩-水耦合作用不容忽視。國內外抗震設計規(guī)范對動水壓力的計算還不完善,對比發(fā)現(xiàn)各國規(guī)范對于墩-水耦合作用的計算有較大的差異;我國《公路工程抗震設計規(guī)范》(JTJ044—89)和《鐵路工程抗震設計規(guī)范》(GB50111—2006)都給出了當水深超過5m時,動水壓力的近似計算公式,但僅限于圓形、矩形、圓端形實心墩外域水動水壓力的簡化計算?！豆窐蛄嚎拐鹪O計細則》(JTG/TB02-01—2008)1.0.2條指出“本細則主要適用于單跨跨徑不超過150m的混凝土梁橋……”。而目前建設、在建或擬建的深水橋梁,大多是單跨跨徑超過150m的長大橋梁,因此需要對深水橋梁的動水壓力計算方法進行深入研究。動水壓力計算主要有解析法、數(shù)值分析法、半解析半數(shù)值分析法3類。解析法需要對結構和流體進行大量簡化,計算量小,適合理論上的探討;數(shù)值分析法如有限元法,流體單元數(shù)量大且流場計算不易收斂,計算效率較低;半解析半數(shù)值分析法將動水壓力以解析解或半解析解表示,結構大幅簡化后通過傳統(tǒng)有限元軟件或自編程求解。基于輻射波浪理論,賴偉等推導了圓形橋墩外域水的動水壓力半解析半數(shù)值解;劉振宇推導了圓形和矩形空心墩內域水動水壓力的半解析半數(shù)值解;楊萬理、李喬對地震作用下橋墩非豎直棱面動水應力進行了分析。采用基于Morison方程的半解析半數(shù)值解法,李悅、張海龍等對連續(xù)剛構深水橋梁的地震反應進行了分析。研究表明:Morison方程中慣性力系數(shù)和阻尼力系數(shù)的精度依賴于試驗數(shù)據(jù)或經驗值,對較大直徑的墩柱將高估動水壓力的作用。基于輻射波浪理論的半解析半數(shù)值解法,力學概念清晰,推理嚴謹,精度較高,但是動水壓力表達式極為冗長,包含積分、雙重求和以及特殊函數(shù)等,需要采用專門的數(shù)學軟件求解,制約了該方法在工程上的應用。本研究將對圓形橋墩動水壓力表達式進行數(shù)學分析,建立墩-水耦合數(shù)值計算模型,對自由表面波、附加阻尼及彈性振動附加質量進行簡化,對剛體運動附加質量進行擬合,提出滿足常用深水橋梁應用的動水壓力簡化表達式;分別采用簡化前、簡化后的動水壓力表達式對實際深水橋墩在不同地震波下的地震響應進行對比分析,以驗證簡化表達式的精度和計算效率。1第j節(jié)點間的附加質量和附加阻尼設水體初始靜止,圓形橋墩的運動產生一個向四周輻射的波。設輻射波是小波幅的線性波,并且波浪與墩柱的作用也是線性的。設圓形墩柱剛體運動位移和墩身相對于墩底的彈性振動撓度分別為U(1)p(t)=U(1)p0eiωt,U(2)p(Z,t)=U(2)p0(Z)eiωt。設波動場中輻射波速度勢為ΦR(r,θ,Z,t)=?R(r,θ,Z)eiωt,將其代入拉普拉斯方程,可得到速度勢的基本方程。在滿足適當邊界條件情況下,可求出速度勢以及用附加質量和附加阻尼表達的動水壓力表達式:Ρout(1)jj=ω2U(1)p0eiωtQout(1)jj=-¨U(1)pΜout(1)jj-˙U(1)pCout(1)jj?(1)Ρout(2)ij=ω2U(2)p0(Ζi)eiωtQout(2)ij=-¨U(2)pΜout(2)ij-˙U(2)pCout(2)ij?(2)式中,Qout(1)jj=2ρaπ{sinh(k0Η)Η1(k0a)∫Γjcosh(k0Ζ)dΖk20[Η+σ-1sinh2(k0Η)]Η′1(k0a)+∞∑n=1sin(knΗ)Κ1(kna)∫Γjcos(knΖ)dΖk2n[Η-σ-1sin2(knΗ)]Κ′1(kna)}?(3)Qout(2)ij=2ρaπ{Η1(k0r)cosh(k0Ζi)∫Γjcosh(k0Ζ)dΖΗ′1(k0a)k0[Η+σ-1sinh2(k0Η)]+∞∑n=1Κ1(kna)cos(knΖi)∫Γjcos(knΖ)dΖΚ′1(kna)kn[Η-σ-1sin2(knΗ)]}?(4)并且Mout(1)jj=Re[Qout(1)jj],Cout(1)jj=-ωIm[Qout(1)jj],Mout(2)ij=Re[Qout(2)ij],Cout(2)ij=-ωIm[Qout(2)ij]。變量XΙndex3Ιndex1Ιndex2中:下標Index1取(1)或(2),分別表示剛體運動、彈性振動;下標Index2取jj或ji表示第j節(jié)點的運動產生的對j節(jié)點的影響,或第i節(jié)點的運動產生的對j節(jié)點的影響;上標Index3取out或者in,分別表示外域水或內域水的影響;X取P、M、C分別表示動水壓力、附加質量和附加阻尼,取Q是包含附加質量和附加阻尼的過渡表達。如Mout(1)jj表示外域水作用下,橋墩第j節(jié)點的剛體運動引起的j節(jié)點的附加質量。a是橋墩半徑,H為橋墩入水深度,ρ是水體密度,H1(·)是第2類第1階Hankel函數(shù),K1(·)為第2類第1階修正Bessel函數(shù),k0、kn通過色散方程確定。圓形橋墩動水壓力的詳細推導過程請見文獻。2橋墩離散模型將式(1)、式(2)所求解的剛體運動、彈性振動所致動水壓力施加在橋墩運動微分方程式(5)左側,并考慮到U(1)p=Ug,U(2)p=Us,整理后可得考慮動水壓力的橋墩運動微分方程,如式(6)所示。Μ¨Us+C˙Us+ΚUs=-Μ¨Ug(t)?(5)[Μ+Μout(2)]¨Us+[C+Cout(2)]˙Us+ΚUs=-[Μ+Μout(2)]¨Ug+F(t)?(6)式(6)中,F(t)=-[Μout(1)-Μout(2)]¨Ug-Cout(1)˙Ug作為外力施加在墩柱上。根據(jù)式(6)建立橋墩離散后的數(shù)值計算模型如圖1所示,其中Mout(2)-i、C(2)-iout分別為彈性振動引起的第i節(jié)點的附加質量和附加阻尼,相應的,M(1)-iout、C(1)-iout為剛體運動引起的第i節(jié)點附加質量和附加阻尼。上部結構對墩頂?shù)淖饔煤喕癁榧匈|量mu、阻尼系數(shù)cu和彈簧常數(shù)ku。墩-水耦合數(shù)值計算模型簡單明確,但附加質量、附加阻尼表達式冗長,難于計算。因此,需要對附加質量和附加阻尼進行簡化,以利于這種半解析半數(shù)值解法的推廣應用。3動水壓力橋墩的運動微分方程式C(1)out、C(2)out分別為考慮自由表面波時,橋墩剛體運動、彈性振動引起的阻尼項。若自由表面波的影響很小,可不考慮,即gω2=σ=0,那么式(3)、式(4)將分別變?yōu)?Q(1)jjout=2ρaπ∑n=1∞sin(knΗ)Κ1(kna)∫Γjcos(knΖ)dΖkn2ΗΚ′1(kna)?(7)Q(2)ijout=2ρaπ∑n=1∞Κ1(kna)cos(knΖi)∫Γjcos(knΖ)dΖknΗΚ′1(kna)?(8)并且kn=(2n-1)π2Η,n=1,2,?。式(7)、式(8)計算的結果為實數(shù),有:M(1)jjout=Q(1)jjout,M(2)jjout=Q(2)jjout,C(1)out=C(2)out=0。因此考慮動水壓力橋墩的運動微分方程式(6)變?yōu)?自由表面波將對附加阻尼、附加質量產生影響,最終會對結構的動力特性和動力響應產生影響。設墩高60m,底部固結,入水深度等于墩高,直徑從1m變化到20m的一組橋墩為橋墩組1。計算發(fā)現(xiàn),自由表面波對附加阻尼和附加質量影響不大。以直徑為10m的橋墩為例,從圖2(a)可見考慮自由表面波時剛體運動和彈性振動引起的阻尼基本一致,除了墩頂少數(shù)節(jié)點,其余節(jié)點的附加阻尼為0。從圖2(b)、(c)可知,自由表面波僅對橋墩頂部少數(shù)節(jié)點彈性振動附加質量和剛體運動附加質量有所影響,但是影響十分有限,并且這些位置的節(jié)點附加質量本身也不大。因此自由表面波對該橋墩附加質量的影響很小。橋墩組1中其他橋墩附加阻尼、附加質量受到自由表面波的影響與圖2相似,此處略。設考慮和不考慮自由表面波時附加質量分別為Mfout、Muout,定義Mincreout=100%×(Mfout-Muout)/Muout為自由表面波引起的附加質量增量。從圖3(a)可見附加質量增量曲線隨著橋墩直徑增大出現(xiàn)波動,但波動幅度逐漸收斂于小值,增量絕對值小于6%。設橋墩在水中和空氣中的1階自振頻率分別為ωw、ωa,定義decω=100%×(ωa-ωw)/ωa為1階頻率降低率。從圖3(b)可見:自由表面波將引起1階頻率降低率曲線波動,但影響不大;在橋墩直徑增大時,2條曲線趨于一致。設動力荷載作用下,橋墩在水中和空氣中,墩頂位移在X方向分量的峰值分別為UXwmax、UXamax,定義UXincremax=100%×(UXwmax-UXamax)/UXamax,為墩頂峰值位移增量。按照相似的規(guī)則,可定義墩底反力X方向分量(FX)、墩底繞Y軸彎矩(MY)的峰值增量分別為FXincremax、MYincremax。圖3(c)表示在簡諧荷載u¨g=5sin(2πft)(f=3Hz,時間步長0.01s,持時2s,施加在X方向)作用下,考慮自由表面波和不考慮自由表面波時,墩頂位移、墩底反力、墩底彎矩峰值增量的差值。從圖3可見,自由表面波對橋墩動力響應的影響很小,各量值峰值增量的差值在(±1)%之內。因此在式(3)、式(4)中可不考慮自由表面波的影響。4額外質量簡化4.1彈-剛附加質量增量從式(7)、式(8)可知,不考慮表面自由波時,附加質量僅與橋墩直徑與入水深度相關。比較發(fā)現(xiàn)在橋墩組1中,同一橋墩彈性振動附加質量與剛體運動附加質量基本相同。圖4表示直徑為10m的橋墩,剛體運動附加質量和彈性振動附加質量的對比,可見兩條曲線基本一致。設剛體運動、彈性振動引起某座橋墩的附加質量分別為M(1)out、M(2)out,定義Mincout=100%×[M(2)out-M(1)out]/M(1)out為彈-剛附加質量增量。圖5(a)表示橋墩組1中彈-剛附加質量增量隨直徑的變化規(guī)律,可見增量絕對值的最大值小于1%。設直徑為4m,墩高從20m變化到140m的一組橋墩為橋墩組2,該組橋墩底部固結,并且入水深度等于墩高。該組橋墩的彈-剛附加質量增量隨墩高的變化規(guī)律如圖5(b)所示,增量絕對值的最大值小于2.5%。從圖5可見:橋墩剛度越大,彈性振動與剛體運動引起的附加質量差異越明顯,彈-剛附加質量增量絕對值越大。但總體上看這種增量值仍很小,可認為剛體運動引起的附加質量約等于彈性振動引起的附加質量。在式(9)中:Μ(2)-jout=∑i=1k+1Μ(2)ijout?Μ(1)-jout=Μ(1)jjout,可見前者的計算遠比后者復雜,因此可用剛體運動附加質量M(1)out替換掉式(9)彈性振動附加質量M(2)out,得:4.2附加質量系數(shù)設在橋墩高度Zi處,與單位高度橋墩(Zi-0.5,Zi+0.5)相同體積的水體的質量為Miwat,如果圓柱橋墩直徑沿高度無變化,那么:Miwat=ρπa2。將剛體運動引起的第i節(jié)點附加質量M(1)-iout與Miwat的比值,即MiR=M(1)-iout/Miwat,稱為附加質量系數(shù),該系數(shù)與Morison方程中動水附加慣性力系數(shù)Cm相似。在Morison方程中,Cm=CM-1,CM稱為慣性力系數(shù),對于小直徑圓形墩柱CM取2.0,即Cm=1。圖6表示橋墩組1中直徑D為1、5、10、20m橋墩的附加質量系數(shù)與Cm=1的對比?？梢?當橋墩直徑較小時,附加質量系數(shù)接近Morison方程動水附加慣性力系數(shù);當橋墩直徑增大時,附加質量系數(shù)小于動水附加慣性力系數(shù),此時Morison方程將高估附加質量。這就是Morison方程高估較大直徑墩柱動水壓力的原因。在式(10)中,只有剛體運動引起的附加質量需要預先計算。Bessel函數(shù)漸進表達式為:并且已知K′n(X)=-Kn-1(X)-Kn(X)/X。對于Kn(X),在式(11)中取等式右側第一項,則可設式(7)式中,式中C1為常系數(shù)。將式(12)代入式(7),整理后可得:又因為:sin(2n-12π)=(-1)(n-1)?Μiwat=ρπa2,對式(13)整理后可得:其中,MiSRΟ(H,a,Zi)=C2(a,H)ef(H,a,Zi)稱為簡化附加質量系數(shù),C2(a,H)、f(H,a,Zi)為待求函數(shù)。設墩高為20～140m,橋墩直徑從1m變化到20m的橋墩為橋墩組3,計算出該組中每一座橋墩的附加質量系數(shù)MRi,并編程進行擬合,得到簡化附加質量系數(shù)表達式:ΜiSRΟ(Η,a,Ζi)=(1-10aΗ2){1-exp[5(Ζi-Η)aΗ1/3]}。(15)圖7表示橋墩組1中,墩徑為1、10m和20m時,墩身各節(jié)點簡化附加質量系數(shù)與附加質量系數(shù)的對比,從中可見擬合情況較好。圖8表示對于橋墩組3的每座橋墩,簡化附加質量系數(shù)相對于附加質量系數(shù)的增量百分比。從圖8可見墩高相同時,直徑越大,簡化誤差越大;橋墩直徑相同時,墩高越大,簡化誤差越小。說明簡化附加質量系數(shù)對細長墩柱擬合的精度比矮粗墩柱高。圖8中墩高40m,直徑20m的橋墩,在實際工程中基本不存在,為了研究簡化附加質量系數(shù)增量的變化趨勢,本文包含了較寬的范圍。相對而言,深水橋墩剛度較小,柔性較好,因此簡化附加質量系數(shù)的精度能較好地滿足工程應用需求。經過對自由表面波、附加阻尼、彈性附加質量的簡化,以及對剛體運動附加質量的擬合,得到考慮墩-水耦合作用的圓形深水橋墩運動微分方程為:式中,Μiout=ΜiwatΜiSRΟ(Η,a,Ζi)?ΜiSRΟ(Η,a,Ζi)=(1-10aΗ2)[1-exp(5(Ζi-Η)aΗ1/3)]。這里將式(16)稱為基于輻射波浪法的圓形橋墩動水壓力簡化表達式。5地震波作用下的動水壓力明確值如圖9所示,某剛構橋采用單柱式圓形實心橋墩,橋墩直徑4m,墩高40m,水深35m。橋面為雙向4車道,寬24m。mu為一跨橋面系質量取8.5×105kg,ku取1.36×104kN/m,cu取1.0×105N·m/s。橋墩采用C50混凝土,混凝土密度為2500kg/m3,彈性模量為33560MPa,泊松比為0.2。圖10表示3種地震波的加速度時程以及傅氏譜,這3條地震波的加速度峰值、持續(xù)時間、主頻等都不相同。采用圓形橋墩簡化前、簡化后的動水壓力表達式,計算橋墩在不同地震波作用下的地震反應,以檢驗動水壓力簡化表達式的計算效率和精度。對比圖1和圖9可見,墩-水耦合計算模型中橋墩結構模型不變;對比式(6)和式(16),動水壓力簡化后,不需計算附加阻尼及彈性振動附加質量,剛體運動附加質量采用擬合表達式完成,整個計算難度降低,計算效率得以大幅提高。圖11表示在3條地震波作用下,動水壓力表達式簡化前、簡化后墩頂UX