2022高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列專題概率與統(tǒng)計(jì)（理科）（教師版）

概率與統(tǒng)計(jì)一、高考預(yù)測(cè)計(jì)數(shù)原理、概率統(tǒng)計(jì)部分是高中數(shù)學(xué)中使用課時(shí)最多的一個(gè)知識(shí)板塊，高考對(duì)該部分的考查分值也較多．從近幾年的情況看，該部分考查的主要問題是排列組合應(yīng)用問題，二項(xiàng)式定理及其簡單應(yīng)用，隨機(jī)抽樣，樣本估計(jì)總體，線性回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)，古典概型，幾何概型，事件的獨(dú)立性，隨機(jī)變量的分布、期望和方差，正態(tài)分布的簡單應(yīng)用，在試卷中一般是2～3個(gè)選擇題、填空題，一個(gè)解答題，試題難度中等或者稍易．預(yù)計(jì)2022年該部分的基本考查方向還是這樣，雖然可能出現(xiàn)一些適度創(chuàng)新，但考查的基本點(diǎn)不會(huì)發(fā)生大的變化．計(jì)數(shù)原理、概率統(tǒng)計(jì)部分的復(fù)習(xí)要從整體上，從知識(shí)的相互關(guān)系上進(jìn)行．概率試題的核心是概率計(jì)算，其中事件之間的互斥、對(duì)立和獨(dú)立性是概率計(jì)算的核心，排列組合是進(jìn)行概率計(jì)算的工具，在復(fù)習(xí)概率時(shí)要抓住概率計(jì)算的核心和這個(gè)工具；統(tǒng)計(jì)問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的分布，反映樣本數(shù)據(jù)的方法：樣本頻數(shù)表、樣本頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，得到樣本數(shù)據(jù)的方法是隨機(jī)抽樣，在復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)部分時(shí)，要緊緊抓住這些圖表和方法，把圖表的含義弄清楚，這樣剩下的問題就是有關(guān)的計(jì)算和對(duì)統(tǒng)計(jì)思想的理解，如樣本均值和方差的計(jì)算，用樣本估計(jì)總體等．二、知識(shí)導(dǎo)學(xué)(4)解決概率問題要注意“四個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運(yùn)算即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件.第三步，運(yùn)用公式求解第四步，答，即給提出的問題有一個(gè)明確的答復(fù).要點(diǎn)要點(diǎn)要點(diǎn)三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】二項(xiàng)式的展開式相同，但通項(xiàng)公式不同，對(duì)應(yīng)項(xiàng)也不相同，在遇到類似問題時(shí)，要注意區(qū)分2、如果的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是（）（A）7（B）（C）21（D）解析：當(dāng)時(shí)即,根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式得時(shí)對(duì)應(yīng),即故項(xiàng)系數(shù)為.【易錯(cuò)點(diǎn)3】二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與展開式系數(shù)最大項(xiàng)是兩個(gè)不同的概念，在求法上也有很大的差別，在此往往因?yàn)楦拍畈磺鍖?dǎo)致出錯(cuò)解析：由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為，第三項(xiàng)的系數(shù)為，則有，設(shè)展開式中的第r項(xiàng)，第r+1項(xiàng)，第r+2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為，若第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則，解得：系數(shù)最大值為由知第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí).【易錯(cuò)點(diǎn)4】對(duì)于排列組合問題，不能分清是否與順序有關(guān)而導(dǎo)致方法出錯(cuò)。1.有六本不同的書按下列方式分配，問共有多少種不同的分配方式？分成1本、2本、3本三組；分給甲、乙、丙三人，其中1人1本，1人兩本，1人3本；平均分成三組，每組2本；分給甲、乙、丙三人，每人2本。在問題（3）的基礎(chǔ)上，再分配即可，共有分配方式種?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】本題是有關(guān)分組與分配的問題，是一類極易出錯(cuò)的題型，對(duì)于此類問題的關(guān)鍵是搞清楚是否與順序有關(guān)，分清先選后排，分類還是分步完成等，對(duì)于平均分組問題更要注意順序，避免計(jì)算重復(fù)或遺漏。2.從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到三個(gè)班擔(dān)任班主任（每班一位班主任），要求這三位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方法共有（）210種B、420種C、630種D、840種解析：首先選擇3位教師的方案有：①一男兩女；計(jì)；②兩男一女：計(jì)=40。其次派出3位教師的方案是=6。故不同的選派方案共有種。解析：（1）3個(gè)女同學(xué)是特殊元素，我們先把她們排列好，共有種排法；由于3個(gè)同學(xué)必須排在一起，我們可視排好的女同學(xué)為一個(gè)整體，在與男同學(xué)排隊(duì)，這時(shí)是五個(gè)元素的全排列，應(yīng)有種排法。由乘法原理，有種不同排法。（2）先將男生排好，共有種排法；再在這4個(gè)男生的中間及兩頭的5個(gè)空中插入3個(gè)女生，有種方案。故符合條件的排法共有種。（3）甲、乙2人先排好，共有種排法；再從余下的5人中選三人排在甲、乙2人中間，有種排法，這時(shí)把已排好的5人看作一個(gè)整體，與剩下的2人再排，又有種排法；這樣，總共有種不同的排法。（4）先排甲、乙、丙3人以外的其他四人，有種排法，由于甲、乙要相鄰，故把甲、乙排好，有種排法；最后把甲、乙排好的這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人的空當(dāng)中，有種排法；這樣，總共有種不同的排法。（5）從七個(gè)位置中選出4個(gè)位置把男生排好，有種排法；然后再在余下得個(gè)空位置中排女生，由于女生要按高矮排列。故僅有一種排法。這樣總共有種不同的排法。2.有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就坐，規(guī)定前排中間三個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)（）A、234B、346C、350D、363解析：把前后兩排連在一起，去掉前排中間3個(gè)座位，共有種，再加上4種不能算相鄰的，共有種。所以的概率分布為—300—100100300P根據(jù)的概率分布，可得的期望（2）這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】二項(xiàng)分布是一種常見的重要的離散型隨機(jī)變量分布列，其概率就是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)n次其中發(fā)生k次的概率。但在解決實(shí)際問題時(shí)一定看清是否滿足二項(xiàng)分布。解析：（1）的所有可能值為0，1，2，3，4。用表示“汽車通過第k個(gè)路口時(shí)不?！薄畡t獨(dú)立。故從而的分布列為01234P（2）?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】在正態(tài)分布中，為總體的平均數(shù)，為總體的標(biāo)準(zhǔn)差，另外，正態(tài)分布在的概率為，在內(nèi)取值的概率為。解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意正態(tài)分布在各個(gè)區(qū)間的取值概率，不可混淆，否則，將出現(xiàn)計(jì)算失誤。四、典型習(xí)題導(dǎo)練1、一籠子中裝有2只白貓，3只黑貓，籠門打開每次出來一只貓，每次每只貓都有可能出來。（Ⅰ）第三次出來的是只白貓的概率；（Ⅱ）記白貓出來完時(shí)籠中所剩黑貓數(shù)為，試求的概率分布列及期望?！窘馕觥浚á瘢á颍┰O(shè)籠中所剩黑貓數(shù)為，則：=0,1,2,3，其概率分布列如下：0123P2、深圳市某校中學(xué)生籃球隊(duì)假期集訓(xùn)，集訓(xùn)前共有6個(gè)籃球，其中3個(gè)是新球（即沒有用過的球），3個(gè)是舊球（即至少用過一次的球）．每次訓(xùn)練，都從中任意取出2個(gè)球，用完后放回．（Ⅰ）設(shè)第一次訓(xùn)練時(shí)取到的新球個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）求第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球的概率．（Ⅱ）設(shè)“從6個(gè)球中任意取出2個(gè)球，恰好取到一個(gè)新球”為事件．則“第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球”就是事件．而事件、、互斥，所以，．由條件概率公式，得，…9分，……10分．………11分所以，第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球的概率為．…12分3、黃山風(fēng)景區(qū)某旅游超市銷售不同價(jià)格的兩種紀(jì)念品,一種單價(jià)10元,另一種單價(jià)15元,超市計(jì)劃將這兩種紀(jì)念品共4件（兩件10元，兩件15元）在超市入口和出口處展出銷售,假設(shè)光顧該超市的一位游客隨機(jī)的從這兩處選購紀(jì)念品,且選購單價(jià)10元和15元的紀(jì)念品是等可能的.（Ⅰ）若每處各展出一件10元的紀(jì)念品和一件15元的紀(jì)念品,則該游客只選購了一件紀(jì)念品且單價(jià)為15元的概率是多少?（Ⅱ）若每處至少展出一件紀(jì)念品,記該游客只選購了一件紀(jì)念品且單價(jià)為15元的概率為,怎樣分配展出能使的值最大?并求出的最大值；（Ⅲ）若每處隨機(jī)的各展出兩件紀(jì)念品,該游客從這兩處各選購了一件紀(jì)念品,記該游客選購紀(jì)念品的消費(fèi)總金額為元,求隨機(jī)變量的分布列,并求出的數(shù)學(xué)期望.4、盒中有大小相同的編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六只小球，規(guī)定：摸一次需1元，從盒中摸出2只球，如果這2只球的編號(hào)均能被3整除，則獲一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金10元，如果這2只球的編號(hào)均為偶數(shù)，則獲二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金2元，其他情況均不獲獎(jiǎng)(Ⅰ)若某人摸一次且獲獎(jiǎng)，求他獲得一等獎(jiǎng)的概率；（Ⅱ）若有2人參加摸球游戲，按規(guī)定每人摸一次，摸后放回，2人共獲獎(jiǎng)金X元，求X的分布列及期望【解析】(Ⅰ)設(shè)摸一次得一等獎(jiǎng)為事件A，摸一次得二等獎(jiǎng)為事件B，則，某人摸一次且獲獎(jiǎng)為事件，顯然A、B互斥所以故某人摸一次且獲獎(jiǎng)，他獲得一等獎(jiǎng)的概率為：【解析】(Ⅰ)設(shè)學(xué)生“跳高得，跳遠(yuǎn)得”記為事件，“跳高得，跳遠(yuǎn)得”記為事件，則（2分）所以該學(xué)生恰好得到一個(gè)和一個(gè)的概率為。（4分）（Ⅱ）由題意，的所有可能取值是10，15，20，20，25，30。而（8分）則的分布列為1015202530的數(shù)學(xué)期望為。（12分）6、某電視臺(tái)有A、B兩種智力闖關(guān)游戲，甲、乙、丙、丁四人參加，其中甲乙兩人各自獨(dú)立進(jìn)行游戲A，丙丁兩人各自獨(dú)立進(jìn)行游戲B.已知甲、乙兩人各自闖關(guān)成功的概率均為，丙、丁兩人各自闖關(guān)成功的概率均為.(Ⅰ)求游戲A被闖關(guān)成功的人數(shù)多于游戲B被闖關(guān)成功的人數(shù)的概率；（Ⅱ）記游戲A、B被闖關(guān)成功的總?cè)藬?shù)為，求的分布列和期望.7、（Ⅰ）求取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率；（Ⅱ）求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率；（Ⅲ）設(shè)為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.8、如圖3，兩點(diǎn)之間有條網(wǎng)線連接，它們能通過的最大信息量分別為.從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大信息量,設(shè)這三條網(wǎng)線通過的最大信息量之和為（Ⅰ）當(dāng)時(shí),則保證線路信息暢通,求線路信息暢通的概率;（Ⅱ）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(本小題主要考查古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等知識(shí),考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí))【解析】（Ⅰ）從6條網(wǎng)線中隨機(jī)任取三條網(wǎng)線共有種情況…1分∵,∴…2分∵,∴…3分∵,∴.…4分∵,∴.………5分∴.9、乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員間進(jìn)行，比賽采用局勝制（即先勝局者獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同.（Ⅰ）求甲以比獲勝的概率；（Ⅱ）求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于局的概率；（Ⅲ）求比賽局?jǐn)?shù)的分布列.【解析】（Ⅰ）：由已知，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局比賽中獲勝的概率都是…1分記“甲以比獲勝”為事件，則．……4分（Ⅱ）：記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于局”為事件.因?yàn)橐乙员全@勝的概率為，6分乙以比獲勝的概率為，…7分所以…8分（Ⅲ）解：設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為，則的可能取值為．，…9分，……10分，…11分．…12分比賽局?jǐn)?shù)的分布列為：……13分;;;;.……11分隨機(jī)變量的分布列為：01234………12分所以……13分11、2022年2月份，從銀行房貸部門得到好消息，首套住房貸款利率將回歸基準(zhǔn)利率.某大型銀行在一個(gè)星期內(nèi)發(fā)放貸款的情況統(tǒng)計(jì)如圖所示：⑴求在本周內(nèi)該銀行所借貸客戶的平均貸款年限（取過剩近似整數(shù)值）；⑵⑶假設(shè)該銀行此星期的貸款業(yè)績一共持續(xù)10個(gè)星期不變，在這段時(shí)間里，每星期都從借貸客戶中選出一人，記表示其中貸款年限不超過20年得人數(shù)，求.【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用、二項(xiàng)分布以及數(shù)學(xué)期望的求法.【解析】⑴平均年限.(4分)⑵所求概率.(8分)⑶由條件知，所以.(12分)12、為增強(qiáng)市民節(jié)能環(huán)保意識(shí)，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名志愿者，他們的年齡情況如下表所示．（Ⅰ）頻率分布表中的①、②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補(bǔ)全頻率分布直方圖（如圖），再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在[30，35)歲的人數(shù)；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加中心廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人，記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．分組（單位：歲）頻數(shù)頻率【解析】（Ⅰ）①處填20，②處填；補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在[30，35)的人數(shù)為500×＝175．……（4分）13、某高校在2022年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績共分五組，得到頻率分布表如下表所示。（1）請(qǐng)求出①②位置相應(yīng)的數(shù)字，填在答題卡相應(yīng)位置上，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）為了能選出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取12人進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組中每組各抽取多少人進(jìn)入第二輪的面試；假定考生“XXX”筆試成績?yōu)?78分，但不幸沒入選這100人中，那這樣的篩選方法對(duì)該生而言公平嗎？為什么？ （3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在12人中隨機(jī)抽取3人接受“王教授”的面試，設(shè)第4組中被抽取參加“王教授”面試的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由題意知，組頻率總和為，故第組頻率為，即①處的數(shù)字為；……1分總的頻數(shù)為，因此第組的頻數(shù)為，即②處數(shù)字為……2分頻率分布直方圖如下：（2）第組共名學(xué)生，現(xiàn)抽取人，因此第組抽取的人數(shù)為：人，第組抽取的人數(shù)為：人，第組抽取的人數(shù)為：人.……7分公平：因?yàn)閺乃械膮⒓幼灾骺荚嚨目忌须S機(jī)抽取人，每個(gè)人被抽到的概率是相同的.…8分（只寫“公平”二字，不寫理由，不給分）（3）的可能取值為的分布列為：……11分……12分【解析】（Ⅰ）由條形統(tǒng)計(jì)圖可知,空氣質(zhì)量類別為良的天數(shù)為天,所以此次監(jiān)測(cè)結(jié)果中空氣質(zhì)量類別為良的概率為.…4分（Ⅱ）隨機(jī)變量的可能取值為,則,,所以的分布列為:……12分……12分15、戶外運(yùn)動(dòng)已經(jīng)成為一種時(shí)尚運(yùn)動(dòng)，某單位為了了解員工喜歡戶外運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對(duì)本單位的50名員工進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：喜歡戶外運(yùn)動(dòng)不喜歡戶外運(yùn)動(dòng)合計(jì)男性5女性10合計(jì)50已知在這50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的員工的概率是.（Ⅰ）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（Ⅱ）是否有﹪的把握認(rèn)為喜歡戶外運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？并說明你的理由；（Ⅲ）經(jīng)進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的10名女性員工中，有4人還喜歡瑜伽.若從喜歡戶外運(yùn)動(dòng)的10位女性員工中任選3人，記表示抽到喜歡瑜伽的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.下面的臨界值表僅供參考：（）喜歡戶外運(yùn)動(dòng)不喜歡戶外運(yùn)動(dòng)合計(jì)男性20525女性101525合計(jì)302050【解析】(Ⅰ)在全部50人中隨機(jī)抽取1人的概率是，喜歡戶外活動(dòng)的男女員工共30，其中，男員工20人，列聯(lián)表補(bǔ)充如下16、在某醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，某實(shí)驗(yàn)小組為了分析某種藥物用藥量與血液中某種抗體水平的關(guān)系，選取六只實(shí)驗(yàn)動(dòng)物進(jìn)行血檢，得到如下資料：動(dòng)物編號(hào)123456用藥量x（單位）134568抗體指標(biāo)y(單位）記為抗體指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差，若抗體指標(biāo)落在內(nèi)則稱該動(dòng)物為有效動(dòng)物，否則稱為無效動(dòng)物.研究方案規(guī)定先從六只動(dòng)物中選取兩只，用剩下的四只動(dòng)物的數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的兩只動(dòng)物數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).【解析】(Ⅰ).故1、6號(hào)為無效動(dòng)物，2、3、4、5號(hào)為有效動(dòng)物----2分所以隨機(jī)變量的取值為0，1，2記從六只動(dòng)物中選取兩只所有可能結(jié)果共有15種.----5分012P分別列為期望---6分17、一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)：，，，，，．（１）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；（２）現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．18、“肇實(shí)，正名芡實(shí)，因肇慶所產(chǎn)之芡實(shí)顆粒大、藥力強(qiáng)，故名?！蹦晨蒲兴鶠檫M(jìn)一步改良肇實(shí)，為此對(duì)肇實(shí)的兩個(gè)品種（分別稱為品種A和品種B）進(jìn)行試驗(yàn)．選取兩大片水塘，每大片水塘分成n小片水塘，在總共2n小片水塘中，隨機(jī)選n小片水塘種植品種A，另外n小片水塘種植品種B．（1）假設(shè)n=4，在第一大片水塘中，種植品種A的小片水塘的數(shù)目記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）試驗(yàn)時(shí)每大片水塘分成8小片，即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種A和品種B在每個(gè)小片水塘上的每畝產(chǎn)量（單位：kg/畝）如下表：號(hào)碼12345678品種A101979210391100110106品種B115107112108111120110113分別求品種A和品種B的每畝產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？【解析】（1）可能的取值為0，1，2，3，4.（1分），，，，即的分布列為01234P