傳染病傳播的數學模型-上課

#微分方程模型［學習目的］加深對微分方程概念的理解，掌握針對一些問題通過建立微分方程的方法及微分方程的求解過程；了解微分方程模型解決問題思維方法及技巧；領會建立微分方程模型的逐步改進法的核心及優(yōu)點，并掌握該方法;理解微分方程的解的穩(wěn)定性的意義，會用穩(wěn)定性判定模型的解是否有效；體會微分方程建摸的藝術性。在自然學科（如物理、化學、生物、天文）以及在工程、經濟、軍事、社會等學科中大量的問題可以用微分方程來描述。正如列寧所說：“自然界的統(tǒng)一性顯示在關于各種現象領域的微分方程式的‘驚人的類似中’．”（列寧選集第二卷，人民出版社1972年版第295頁）。要建立微分方程模型，讀者必須掌握元素法（有關元素法，在高等數學中已有介紹）。所謂元素法,從某種角度上講，就是分析的方法，它是以自然規(guī)律的普遍性為根據并且以局部規(guī)律的獨立的假定為基礎。在解決各種實際問題時，微分方程用得極其廣泛.讀者通過下面的幾個不同領域中的模型介紹便有所體會，要想掌握好它，在這方面應作大量的練習。、傳染病傳播的數學模型［學習目標］通過學習建立傳染病傳播的數學模型的思維方法，能歸納出該類建模的關鍵性步驟及思維方法；并能指出求解傳染病傳播的數學模型的方法技巧；能用已知的傳染病傳播的數學模型，預報某種傳染病的傳播；學會從簡單到復雜的處理問題的方法。由于人體的疾病難以控制和變化莫測，因此醫(yī)學中的數學模型較為復雜。生物醫(yī)學中的數學模型分為兩大類：傳染病傳播的數學模型和疾病數學模型。以下僅討論傳染病的傳播問題。人們將傳染病的統(tǒng)計數據進行處理和分析,發(fā)現在某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時,每次所涉及的人數大體上是一常數。這一現象如何解釋呢？關于這個問題，醫(yī)學工作者試圖從醫(yī)學的不同角度進行解釋都得不到令人滿意的解釋。最后由于數學工作者的參與，在理論上對上述結論進行了嚴格的證明。同時又由于傳染病數學模型的建立，分析所得結果與實際過程比較吻合，這個現象才得到了比較滿意的解釋。傳染病傳播所涉及的因素很多,如傳染病人的多少，易受傳染者的多少,傳染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等。如果還要考慮人員的遷入與遷出，潛伏期的長短以及預防疾病的傳播等因素的影響，那么傳染病的傳播就變得非常復雜。如果一開始就把所有的因素考慮在內,那么將陷入多如亂麻的頭緒中不能自拔，倒不如舍去眾多的次要因素,抓住主要因素，把問題簡化,建立相應的數學模型。將所得結果與實際比較，找出問題，修改原有假設，再建立一個與實際比較吻合的模型。下面由簡單到復雜將建模的思考過程作一示范,讀者可以從中得到很好的啟發(fā)。模型一、考慮最簡單的情形：假設(1),每個病人在單位時間內傳染的人數是常數K;0假設(2),一人得病后，經久不愈，并在傳染期內不會死亡.記i(t)表示t時刻病人數，K0表示每個病人單位時間內傳染的人數,i(0)=i0，即最初有i0個傳染病人.則在At時間內增加的病人數為 ° °i(t+At)-i(t)=Ki(t)At0于是得微分方程<~~dt~—K0i(t) (1)， 其解為i(t)=iek0ti(0)=i 00結果表明：傳染病的傳播是按指數函數增加的。這個結果與傳染病傳播初期比較吻合，傳染病傳播初期，傳播快，被傳染人數按指數函數增長。但由方程(1)的解可以推出，當tT8時,i(t)T9,這顯然是不符合實際情況的。問題在于兩條假設均不合理。特別是假設(1)，每個病人在單位時間內傳染的人數是常數與實際不符.因為在傳播初期,傳染病人少,未被傳染者多；而在傳染病傳播中期和后期,傳染病人逐漸增多,未被傳染者逐漸減少,因而在不同時期的傳染情況是不同的.為了與實際情況吻合,我們在原有基礎上修改假設建立新的模型。模型二、用i(t),S(t)表示t時刻傳染病人數和未被傳染人數,i(0)=i0。假設(1),每個病人單位時間內傳染的人數與這時未被傳染的人數成正比,即 K=Ks(t)；0假設(2),一人得病后,經久不愈,并在傳染期內不會死亡；

假設(3)，總人數為n,即s(t)+i(t)=n.由以上假設得微分方程di(t)媼二KK(t)i(t)<s(t)+i(t)=n (2)i⑼=i0用分離變量法求得其解為其圖形如圖17。1所示．(3)i(t)=——用分離變量法求得其解為其圖形如圖17。1所示．(3)1+——1e-Knt

\iJ模型二可以用來預報傳染較快的疾病前期傳染病高峰到來的時間。0模型二可以用來預報傳染較快的疾病前期傳染病高峰到來的時間。圖17。2圖17。1醫(yī)學上稱di/(dt-t)圖17。217。2所示。由(3)式可得didtKn2zy--1e-KntdidtKn2zy--1e-Knty1e-Knt

J(4)d2i(t)

dt2得極大點為ln(―-1)

i 0 Kn(5)由此可見，當傳染病強度K或總人數n增加時，［都將變小，即傳染病高峰來得快，這與實際情況吻合。同時，如果知道了傳染強度K(K由統(tǒng)計數據得出)，即可預報傳染病高峰t1到來的時間，這對于防治傳染病是有益處的.模型二的缺點是：當tts時，由(3)式可知，i(t)一n，即最后人人都要生病，這顯然是不符合實際情況的.造成該問題的原因是假設(2)中假設了人得病后經久不愈。為了與實際問題更加吻合，對上面的數學模型再進一步修改，這就要考慮人得了病后有的會死亡；另外不是每個人被傳染后都會傳染別人,因為其中一部分會被隔離。還要考慮人得了傳染病由于醫(yī)治和人的自身抵抗力會痊愈，并非象前面假設的那樣，人得病后經久不愈。為此作出新的假設，建立新的模型。模型三在此模型中，雖然要考慮比前面兩個模型復雜得多的因素,但仍要把問題簡單化.設患過傳染病而完全痊愈的任何人具有長期免疫力，不考慮反復受傳染的情形，并設傳染病的潛伏期很短，可以忽略不計,即一個人患了病之后立即成為傳染者。在這種情況下，把居民分成三類：第一類是由能夠把疾病傳染給別人的那些傳染者組成的用I(t)表示t時刻第一類人數；第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那些人組成的用s⑴表示t時刻第二類人數；第三類包括患病死去的人，病愈后具有長期免疫力的人，以及在病愈并出現長期免疫力以前被隔離起來的人，用R(t)表示t時刻第三類人數.假設疾病傳染服從下列法則：(1)在所考慮的時期內人口總數保持在固定水平N，即不考慮出生及其它原因引起的死亡，以及遷入遷出等情況；(2)易受傳染者人數s(t)的變化率正比于第一類的人數I⑴與第二類人數s(t)的乘積；(3)由第一類向第三類轉變的速率與第一類的人數成正比。由(1)、(2)、(3)條得微分方程組'ds.——=-rsIdtdI\d-=rsI-yI (6)dt其中r、y為兩個比例常數,r為傳染率，y為排除率。由(6)式的三個方程相加得d[s(t)+I(t)+R(t)]=0dt則 s(t)+1(t)+R(t)=N(人口總數)故 R(t)=N-s(t)-1(t) (7)由此可知,只要知道了s(t)和I(t)，即可求出R(t)。而(6)式的第一和第二個方程與R⑴無關。因此，由dsdti也、dsdti也、dt=-rsIrsI-YI(8)TOC\o"1-5"\h\zdI rsI-YI Y Y= =—1+—, I(s)=—s+—Ins+c。ds-rsI rs r當t=t時，I(t)=I,s(t)=s，記p=—,有0 0 00 0 rsI(s)=I+s-s+pIn— (9)00 s0下面討論積分曲線(9)的性質。由(8)式知'<0,s>p一P八I1(s)=-1+—\=0,s=ps>0,s<p所以當s<p時，I(s)是s的增函數，s>p時，I(s)是s的減函數。I(0)=-8,I(s)=I>000由連續(xù)函數中間值定理及單調性知，存在唯一點s，0<s<s使得8 8 0I(s)=0.而當s<s<s時，I(s)〉0。8 80由(7)知I=0時，ds/dt=0,dI/dt=0。所以(s,0)為方程組⑺的平衡點.8當t>10時，方程(9)的圖形如圖17.3當t由t0變化到8時，點(s(t),I(t))沿曲線(9)移動，并沿s減少方向移動，因為s(t)隨時間的增加而單調減少。因此，如果s0小于p，則I(t)單調減小到零，s(t)單調減小到s8。所以，如果為數不多的一群傳染者10分散在居民s0中，且s0<p，則這種疾病會很快被消滅。由上分析可以得出如下結論：圖17。3如果s>p，則隨著s(t)減小到p時，I(t)增加，且當s=p時，I(t)達到0最大值。當s(t)<p時,I(t)才開始減小。由以上分析可以得出如下結論：只是

當居民中的易受傳染者的人數超過閾值p=L時傳染病才會蔓延.用一般的常r識來檢驗上面的結論也是符合的。當人口擁擠、密度高，缺乏應有的科學文化知識，缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排除率低時，傳染病會很快蔓延;反之，人口密度低，社會條件好，有良好的公共衛(wèi)生設施和較好的管理而排除率高時，則疾病在有限范圍內出現卻很快被消滅。如果起初易受傳染者的人數5。大于但接近于閾值P，即如果（s°-P）與P相比是小量，則最終患病的人數近似于2（50-P）.這就是著名的傳染病學中的閾值定理。生物數學家Kermack和Mekendrick在1927年首先證明了這個定理。定理（傳染病學中的閾值定理）：設5=p+r,且假設r/p同1相比是小量。0并設最初傳染者人數10很小,則最終患病的人數為2丫.即易受傳染者的人數最初比閾值高多少，那最終就會比閾值低多少。證明略。根據閾值定理就可以由起初易受傳染者的人數來估計最終患病的人數。這個定理解釋了研究人員長期以來難以解釋的為什么對于某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時，每次所波及的人數大體上是一常數的現象。在傳染病發(fā)生過程中，不可能準確的調查每一天或每一星期得病的人數.因為只有那些來醫(yī)院就醫(yī)者才能被人知道他們得了病，并把他們隔離起來防止傳染.因此，統(tǒng)計的記錄是每一天或每一星期新排除者的人數,而不是新得病的人數。所以，為了把數學模型所預示的結果同疾病的實際情況進行比較,必須解出（6）式中的第三個方程：因為dR

dt二"=y(N-R-5因為dR

dt二"=y(N-R-5)ds ds ddR -rsI r 5 二—— = =——5———dR dt dtyI y pd5dR所以 5(R)—5e-R/p0dR(10)有——y(N—R—5e-R/p(10)dt 0方程（10）雖是可分離變量的，但是不能用顯式求解。如果傳染病不嚴重，則RP是小量，取泰勒級數R1(P22e-r/p—1—R+1R+…的前三項，取近似值得P2IpJ空—y]N-R-dt1R1(R丫1—+p2(pJ-o(R)22IpJ其解為其中 a=P2R(t)=—S0S—0-其解為其中 a=P2R(t)=—S0S—0--1+atgP(1 )]"yt-①IV2 力SVP、2-1J2s\N-s)2+—o 0P13二arctg一aVPJ因此方程dR

dtya2p22-0(1 )sec2—ayt-3V2 J(11)(11)在t-dR4平面上定義了一條對稱鐘形曲線，稱為疾病傳染曲線.疾病傳染曲線很好的說明了實際發(fā)生的傳染病。每天報告的新病案的數目逐漸上升到峰值，然后又800600400800600400200)00死亡人數ar510152030星期數圖17.5圖圖17.5Kermack和Mekendrick把(11)得到的dR；dt的值，同取自1905年下半年至1906年上半年在孟買發(fā)生的瘟疫資料進行比較，他們設dR=890sech2(0.21-3.4)dt其中t按星期計，在圖17。5中，dR/dt的實際數字(圖上用”.”表示)同理論曲線非常一致。這就表明了模型三是在固定的居民中傳染病傳播的準確而可靠的數學模型。對于同一事物，可用不同的數學工具來描述它。下面介紹一般隨機傳染病模型。模型四、一般隨機傳染病的數學模型：以上建立的常微分方程描述的傳染病的傳播是確定性的模型.但人生病是隨機的，因而建立隨機的傳染病的數學模型才能更實際的反映傳染病的傳播.設X(t)表示t時刻易受傳染者人數，Y(t)表示t時刻已受傳染者人數,n表示易受傳染者總數，又設t時刻有》6>0)個易受傳染者移入已受傳染者中來.這種傳染病傳播的機制如下:(1)在群體中個體均勻的混和；(2)在區(qū)間(t,t+At)內，一個新傳染病例出現的概率為九盯At+o(At)，其中九(九>0)是傳染率；(3)在區(qū)間(t,t+At)內，排除一個個體的概率為^yAt+o(At)，其中WR>0)是排除率；(4)在區(qū)間(t,t+At)內，有多次轉移(即多個傳染或排除)發(fā)生的概率為o(At);(5)在區(qū)間(t,t+At)內，無變化的概率為1-(九x+QyAt+o(At)，令P(t)=^{X(t)=x,Y(t)=y}，x>0,y>0，t>0。xy從(2)和(3)知有兩種可能的轉移(xfx-1,y-y+1)及(y-y-1)。因此，表征隨機傳染病流行過程的差分方程為：fdP(t)=(x+1)(y-1)P (t)-y(x+p)P(t)+p(y+1)P (t)(12)dt x+1,y-1 xy x,y+(12)dP(t)-2=-i(n+p)P(t)、 dt ni其中0<x