2022-2023學(xué)年江西省樂安縣高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省樂安縣高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡集合，再結(jié)合集合的交集運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意得，，，所以故選：B2．下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】對于A，，A對；對于B，，B錯(cuò)；對于C，，C錯(cuò)；對于D，，D錯(cuò).故選：A3．若a，，i是虛數(shù)單位，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件列出方程，求解即可得出答案.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得，解得，所以，.故選：D.4．已知的斜二測畫法的直觀圖為，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直觀圖和原圖的面積關(guān)系，即可求解.【詳解】由條件可知，，由,解得.故選:C.5．已知點(diǎn)在的內(nèi)部，分別為邊的中點(diǎn)，且，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】利用向量的加減法的幾何表示運(yùn)算即可.【詳解】由題意得，所以．故選：B.6．如圖，四面體中，，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，若，則與所成的角的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用中位線，把異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為三角形的夾角，根據(jù)等角定理以及三角形的性質(zhì)求解.【詳解】

如圖，取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，因?yàn)?，所以，所以在中，，所以，因?yàn)?，根?jù)等角定理可知，與所成的角的大小是，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.7．在三棱錐中，△ABD和△CBD均為邊長為2的等邊三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A．π B．π C．π D．π【答案】D【分析】由幾何法可得二面角平面角為，根據(jù)外接球的幾何特征可知過，分別作兩個(gè)半平面的垂線，交于，可得為三棱錐的外接球的球心，且可得，由等邊三角形的邊長為2，可得，及的值，進(jìn)而求出外接球的半徑的值，再求出外接球的表面積．【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椤鰽BD和△CBD均為邊長為2的等邊三角形，所以，，則為二面角的平面角，即，設(shè)△ABD和△CBD外接圓圓心分別為，，則由，可得，，分別過作平面，平面的垂線，則三棱錐的外接球球心一定是兩條垂線的交點(diǎn)，記為，連接，，則由可得，所以，則，則三棱錐外接球的表面積，故選：D

8．趙爽是我國古代著名的數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”．亦稱“趙爽弦圖”．如圖1，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．我們通過類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，若圖2中，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】在中利用兩角差的正弦公式求出，由正弦定理求出，再由余弦定理求出，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】在中，，而，所以，，由正弦定理得，，即，解得，所以，在中由余弦定理，即，所以，，所以.故選：C二、多選題9．設(shè)為直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】ACD【分析】由空間線面關(guān)系，面面關(guān)系相關(guān)知識判斷各選項(xiàng)正誤即可.【詳解】設(shè)為直線，，是兩個(gè)不同的平面.對于，若，，則與相交或平行，故錯(cuò)誤；對于，若，，則，故正確；對于，若，，則與相交，故錯(cuò)誤；對于，若，，則與相交?平行或，故錯(cuò)誤.故選：.10．已知向量，則（

）A．若，則 B．的最小值為C．可能成立 D．的最大值為3【答案】BC【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可判斷選項(xiàng)A、B；當(dāng)時(shí)，則有判斷選項(xiàng)C；將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題即可求解，判斷選項(xiàng)D.【詳解】對于A，若，則．又，故A錯(cuò)誤；．對于B，，又，當(dāng)時(shí)，，，故B正確；對于C，由選項(xiàng)B可知，當(dāng)時(shí)，，則，故C正確；對于D，，當(dāng)時(shí)，，，故D錯(cuò)誤.故選：BC．11．如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，平面，，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．直線CB與直線PD所成角為C．直線平面D．直線PD與平面所成的角為【答案】BCD【分析】根據(jù)線面垂直的判定可判斷A；根據(jù)平移法可求得直線CB與直線PD所成角判斷B；根據(jù)線面平行的判定可判定C；根據(jù)線面角的定義求得直線PD與平面所成的角判斷D.【詳解】對于A，假設(shè)，因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，故，而平面，故平面，平面，故，這與正六邊形中，不垂直相矛盾，故A錯(cuò)誤；對于B，正六邊形中，,故直線AD與直線PD所成角即為直線CB與直線PD所成角或其補(bǔ)角，在中，，則,即直線CB與直線PD所成角為，B正確；對于C，因?yàn)?，平?平面，故直線平面，C正確；對于D，因?yàn)槠矫?，故即為直線PD與平面所成的角，由C可知，故D正確，故選：BCD12．景德鎮(zhèn)號稱“千年瓷都”，因陶瓷而享譽(yù)全世界.景德鎮(zhèn)陶瓷以白瓷著稱，而白瓷素有“白如玉，明如鏡，薄如紙，聲如磐”的美譽(yù)，如圖，某陶瓷展覽會舉辦方計(jì)劃在長方形空地上舉辦陶瓷展覽會，已知，，E為邊的中點(diǎn).G，F(xiàn)分別為邊，上的動點(diǎn)，，舉辦方計(jì)劃將區(qū)域作為白瓷展覽區(qū)，則白瓷展覽區(qū)的面積可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】設(shè)，則，由，，得到，再得到，，由求解.【詳解】解：設(shè)，則，由，，得，易得，，則，，由，得，得，則.因?yàn)?，，所以白瓷展覽區(qū)的面積可能是，.故選：BC三、填空題13．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足則ab的最大值為.【答案】5【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可直接求解．【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，解得，則的最大值5．故答案為：5．14．拋擲一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，得點(diǎn)數(shù)的概率是.【答案】【分析】根據(jù)古典概型的公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，丟一次質(zhì)地均勻的正方體骰子，有種實(shí)驗(yàn)結(jié)果，即點(diǎn)數(shù)為，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，投到點(diǎn)數(shù)的概率為.故答案為：15．在中，，且，則．【答案】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】，，即，，．故答案為：.16．如圖，已知直線，為、之間的定點(diǎn)，并且到、的距離分別為和，點(diǎn)、分別是直線、上的動點(diǎn)，使得.過點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，則的面積最小值為.

【答案】【分析】計(jì)算得出，，利用二倍角的正弦公式以及正弦函數(shù)的有界性可求得的最小值.【詳解】因?yàn)橹本€，為、之間的定點(diǎn)，并且到、的距離分別為和，過點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，，且，又因?yàn)?，則，故，且，在中，，則，在中，，則，所以，，因?yàn)?，則，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最小值，且最小值為.故答案為：.四、解答題17．已知向量，滿足，，且.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)求與的夾角的余弦值.【答案】(1)(2)0【分析】（1）利用數(shù)量積的運(yùn)算律及向量垂直的充要條件即可求解；（2）利用數(shù)量積的夾角公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，解得，若，則，即，即，解得.（2）因?yàn)椋?，即與的夾角的余弦值為0.18．已知復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)．(1)求；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡，利用是純虛數(shù)求出的值，得出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，即可求出的值；（2）化簡復(fù)數(shù)，利用點(diǎn)在第三象限，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）由題意，在復(fù)數(shù)中，，∵為純虛數(shù)，∴，解得．∴，（2）由題意及（1）得，，在中，，∵復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，∴，解得，∴的取值范圍是．19．近年來，我國科技成果斐然，北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)已開通多年，北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由24顆中圓地球軌道衛(wèi)星、3顆地球靜止軌道衛(wèi)星和3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，共30顆衛(wèi)星組成．北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)全球范圍定位優(yōu)于，實(shí)測的導(dǎo)航定位精度都是2~3m，全球服務(wù)可用性，亞太地區(qū)性能更優(yōu)．現(xiàn)從地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星中任選兩顆進(jìn)行信號分析．(1)求恰好選擇了地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星各一顆的概率；(2)求至少選擇了一顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先分別給地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星編號，列舉所有可能的情況，以及滿足條件的方法種數(shù)，利用古典概型，即可求解；（2）根據(jù)（1）列舉的結(jié)果，利用古典概型，即可求解.【詳解】（1）記地球靜止軌道衛(wèi)星為：，記傾斜地球同步軌道衛(wèi)星為，則所有的選擇為：記恰好選擇了地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星各一顆為事件，則包含，所以；（2）記至少選擇一顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星為事件，則包含．所以．20．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得答案；（2）根據(jù)求得，結(jié)合，求得，再利用誘導(dǎo)公式求得答案.【詳解】（1）∵，∴，所以的遞增區(qū)間為.（2）由，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，于是.21．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，已知.(1)求A；(2)設(shè)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求△ABC的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算；（2）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換化簡得，進(jìn)而分析最值，運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，可得，整理得，且，則，可得，且，則，所以，解得.（2）由正弦定理可知:，則，可得，其中，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，則，，所以.22．如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)Q在AB上，且滿足.

(1)過Q作AB的垂面，分別交BC于E，交BD于F，過B作交CD于點(diǎn)M，證明：；(2)當(dāng)PQ與平面所成最大角的正切值是時(shí)，求此時(shí)PQ與平面所成角的余弦值.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明平面后即可得證線線垂直；（2）先由線面垂直確定，再利用線面角確定PQ與平面BCD所成最大時(shí)，是與的交點(diǎn)，再由線面垂直得出直線在平面內(nèi)的射影是直線，即是直線與平面所成的角，然后設(shè)，求出后可得結(jié)論．【詳解】