高職應(yīng)用數(shù)學(xué) 2

應(yīng)第2章極限與連續(xù)用數(shù)學(xué)高職本章內(nèi)容01極限的概念04函數(shù)的連續(xù)性03兩個重要極限及無窮小的比較02極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則01數(shù)列的極限函數(shù)的極限02無窮小量與無窮大量032.1極限的概念2.1.1數(shù)列的極限1．整數(shù)指數(shù)冪定義1在某一法則下，當(dāng)依次取時，對應(yīng)的實(shí)數(shù)排成一列數(shù)，這列數(shù)就稱為數(shù)列，記作。數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)xn稱為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)。定義2對于數(shù)列，如果當(dāng)n無限增大時，數(shù)列的一般項(xiàng)xn無限地接近于某一確定的數(shù)值a，則稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于a，記作；如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。其中，“l(fā)im”代表極限，極限符號下面的“”表示項(xiàng)數(shù)無限增大。解

例1討論下列數(shù)列的變化趨勢，說明極限是否存在，若存在，請寫出它們的極限。（1）；（2）；（3）； （4）。（1）的項(xiàng)依次為，當(dāng)n無限增大時，xn無限接近于1，所以。（2）的項(xiàng)依次為，當(dāng)n無限增大時，xn總是在0和1兩數(shù)中跳動，不趨近于某一個常數(shù)，所以，該數(shù)列的極限不存在。（3）的項(xiàng)依次為，當(dāng)n無限增大時，xn無限接近于0，所以，。（4）為常數(shù)數(shù)列，無論n取怎樣的正整數(shù)，xn始終為8，所以，。常數(shù)列的極限就是這個常數(shù)本身，即（C為常熟）。解

例2討論某單位購置一批價格100萬元的設(shè)備，該設(shè)備每年的折舊費(fèi)是當(dāng)年價格的，那么隨著時間的推移，該批設(shè)備的價格如何變化？當(dāng)n無限增大（即）時，由數(shù)列極限的定義可知這批設(shè)備的價格（單位：萬元）第一年為100，第二年為，第三年為

，第四年為，……，第n年為。所以，隨著時間的推移，這批設(shè)備的價格無限接近于0。2.1.2函數(shù)的極限規(guī)定：（1）x的絕對值無限增大用記號表示；

x小于0且絕對值無限增大用記號表示；

x大于0且絕對值無限增大用記號表示。（2）x無限接近x0用記號表示；

x從x0的左側(cè)（即）無限接近x0用記號

表示；

x從x0的右側(cè)（即）無限接近x0用記號

表示。例3作出函數(shù)的圖形，在的前提下，討論當(dāng)時，該函數(shù)的變化趨勢，并說出它的極限。1．當(dāng)時，函數(shù)

的極限解

所作圖形如圖2-1所示。從圖中可以看出，當(dāng)x沿x軸的正方向無限增大時，曲線

無限接近于x軸，但始終不與x軸相交，故當(dāng)時，函數(shù)以0為極限。圖2-1類似地可定義：或定義3如果當(dāng)x的絕對值無限增大，即時，函數(shù)值無限趨近于某一個確定的常數(shù)A，那么A就稱為函數(shù)當(dāng)時的極限，記作或解

例4如圖2-2所示，有及。由于當(dāng)和

時，函數(shù)不是無限接近于同一個確定的常數(shù)，所以不存在。圖2-2由上面的例子可以看出，如果和都存在并且相等，那么

也存在并且與它們相等。如果和都存在，但不相等，那么不存在。定理1的充分必要條件是。解

例5討論函數(shù)及當(dāng)時的極限。因?yàn)椋圆淮嬖?。如圖2-3所示為這兩個函數(shù)的圖形。

圖2-3又因?yàn)?，所以不存在?．當(dāng)時，函數(shù)的極限對于函數(shù)和，當(dāng)時，和的變化趨勢如圖2-4所示。從圖像容易看出，當(dāng)時，和都無限接近于2。（a）

（b）

圖2-4定義4設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的附近有定義（在x0處可以無定義），如果存在一個常數(shù)A，當(dāng)x無限趨于

時，函數(shù)的值無限趨近于A，那么A就稱為函數(shù)當(dāng)時的極限，記作或。

如果當(dāng)x從x0的左邊趨于x0（通常記作）時，無限接近某常數(shù)A，則常數(shù)A稱為函數(shù)當(dāng)時的左極限，記作或。如果當(dāng)x從x0的右邊趨于x0（通常記作）時，無限接近某常數(shù)A，則常數(shù)A稱為函數(shù)當(dāng)時的右極限，記作或。左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。例6設(shè)，試判斷是否存在。解

先分別求當(dāng)時的左、右極限：因?yàn)?，所以存在，且。?設(shè)討論極限是否存在？如圖2-5所示解

因?yàn)?，所以不存在。定?當(dāng)時，以A為極限的充分必要條件是在點(diǎn)處的左、右極限存在且都等于A，即圖2-52.1.3無窮小量與無窮大量1．無窮小量引例單擺離開鉛直位置的偏度用角來度量，如圖2-6所示。如果讓單擺自己擺動，由于機(jī)械摩擦力和空氣阻力，擺動幅度就會不斷地減小，角逐漸趨向于零。對于這種變量變化趨于零的情形，我們給出如下定義。圖2-6定義5在自變量x的某一變化過程中，若函數(shù)的極限為0，即，則稱為在該變化過程中的無窮小量，簡稱無窮小。還可以由定義得到無窮小的如下性質(zhì)：性質(zhì)1有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小。性質(zhì)2有限個無窮小的乘積仍是無窮小。性質(zhì)3有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。例8求

。解

又因，所以是有界函數(shù)，再由性質(zhì)3知，。因，所以是時的無窮小。2．無窮大量定義6在自變量x

的某一變化過程中，若函數(shù)值的絕對值無限增大，則稱為在該變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大。記。定理3在自變量的同一變化過程中，無窮大、無窮小互為倒數(shù)關(guān)系，即如果（或），則有（或0）。3．無窮大與無窮小的關(guān)系01極限的性質(zhì)極限的運(yùn)算法則02極限的求法032.2極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則1.1.4不等式定理1（唯一性）如果函數(shù)在某一變化過程中有極限，則其極限唯一。定理2（有界性）如果函數(shù)在時存在極限，則必存在x0的某一鄰域，使得在該鄰域內(nèi)有界。定理3（保號性）若在x0的左右近旁，恒有（或）且

，則（或）。2.2.2極限的運(yùn)算法則定理4設(shè)，則（1）；（2）；（3）。推論1設(shè)，則。推論2設(shè)，則

。由極限的定義，顯然有以下結(jié)論：（1）；（2）。2.2.3極限的求法1．直接代入法它適用于，其中函數(shù)和在x0點(diǎn)有定義，且，有例1求。解

由于將代入分母得，于是，由直接代入法得原式例2求。解

原式由于此時的分母恒為，于是，由直接代入法得所以，由無窮大與無窮小的關(guān)系知，原式。2．倒數(shù)法（型）它適用于，其中，但，記為“”型。方法：由直接代入法，先求其倒數(shù)的極限，再由無窮大與無窮小的關(guān)系得。例3求。解

將代入分母得，但代入分子得。于是，其倒數(shù)的極限為例4求。解

將代入分子、分母都是0，于是，將分子、分母先分解因式，得3．分解因式，約去零因子法（型）它適用于，其中且，記為“”型。方法：將分子或分母分解因式，約去共同的零因子，再用直接代入法。原式例5求。解

將代入分子、分母都是0，且分母中含有根號，因此先將分母有理化，再用直接代入法，即4．分子或分母有理化，約去零因子法（型）它適用于，其中且，且分子或分母中含有根號，記為“”型。方法：將分子或分母有根號的先有理化，約去共同的零因子，再用直接代入法。原式5．公式法（無窮小分出法）（型）它適用于，此時分子、分母都趨于，記為“”型。方法：先將分子、分母同除

x

的最高次方，將分子、分母都轉(zhuǎn)化成無窮小，于是有下面結(jié)論此結(jié)論只與分子、分母的最高方次n，m有關(guān)。例7求。解

此題為“”型，又因分子最高次方為2，分母的最高次方為3，于是，由上面的結(jié)論知：原式。例8求。解

由于是，且為型，又因分子最高次方為3，分母的最高次方為2，于是，由上面的結(jié)論知：原式。例9一個貯水池中有5000L的純水，現(xiàn)用含鹽30g/L的鹽水以25L/min的速度注入水池中，求：（1）經(jīng)過后水池中鹽的濃度；（2）隨著時間的推移，池中鹽的濃度將如何變化？解

（1）由題意知，經(jīng)過后池中鹽水共有（L），含鹽（g）于是，池中鹽的濃度為（2）隨著時間的推移，即，池中鹽的濃度為即水池中鹽的濃度最終將接近30g/L。例10求。解

此題屬于型，因此，先通分再整理化簡，有6．型它適用于，其中且，記為“”型．方法：先通分或先將分子有理化，就可以化成前面幾種形式。原式01兩個重要極限無窮小的比較022.3兩個重要極限及無窮小的比較2.3.1兩個重要極限函數(shù)的圖像如圖2-7所示，從圖像可以觀察出，當(dāng)時，函數(shù)

的值無限趨近于1。1．圖2-7此重要極限屬于“”型，常形象地表示為（□代表同一變量）。例1求。解

令，則。當(dāng)時，。于是有注意：函數(shù)通過變量替換成為時，極限中的同時要變?yōu)椤Ｒ部梢灾苯佑嬎?，即?/p>

例2求下列極限：（1）；（2）；（3）。（1）（3）（2）列表考察當(dāng)時函數(shù)的變化趨勢，如表2-1所示。2．表2-1從表2-1中可以看出，當(dāng)及時，的值無限趨近于

，即。如果令，當(dāng)時，，公式還可以寫成。此重要極限屬于“”型，常形象地表示為或（□代表同一變量）解

例3求下列函數(shù)的極限：（1）；（2）。（2）（1）令，則。于是例4設(shè)有本金10000元，年利率為6%，計息期五年，分別計算下列情況的本利和：（1）單利計息（五年結(jié)算一次）；（2）復(fù)利計息（3個月結(jié)算一次）；（3）連續(xù)復(fù)利計息。解

（1）單利計息（五年結(jié)算一次）時本利和為（2）復(fù)利計息（3個月結(jié)算一次）時本利和為（3）連續(xù)復(fù)利計息時本利和為（元）（元）（元）2.3.2無窮小的比較定理4

設(shè)α，

β是自變量的同一變化過程中（或）的無窮小量，且。（1）若，則稱β是比α高階的無窮小，記作；（2）若，則稱β是比α低階的無窮?。唬?）若，則稱β與α是同階的無窮??；（4）若，即，則稱β與α是等價的無窮小，記作。定理設(shè)，且存在，則有。當(dāng)時，證明

例5求。解

當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以例6求。解

01連續(xù)函數(shù)的概念函數(shù)的間斷點(diǎn)022.4函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性03閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)042.4.1連續(xù)函數(shù)的概念1．函數(shù)的增量自變量從初值x0

變?yōu)榻K值x時，終值與初值的差稱為自變量x的增量（通常也稱為改變量），記作。增量可正可負(fù)。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在該領(lǐng)域內(nèi)由x0變到時，函數(shù)y相應(yīng)地由變到，稱為函數(shù)的增量（或改變量），記作或，則有圖2-8函數(shù)增量的幾何意義如圖2-8所示。2．函數(shù)連續(xù)的定義定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0處及其鄰域內(nèi)有意義，當(dāng)自變量x在x0處的改變量

趨于零時，相應(yīng)地函數(shù)的改變量也趨于零，即則稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)。定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0處及其鄰域內(nèi)有意義，如果當(dāng)時，函數(shù)的極限存在且等于函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，即

則稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)。定義3若，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0處是左連續(xù)。若

，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0處是右連續(xù)。定義4若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)處均連續(xù)，則稱在開區(qū)間

內(nèi)連續(xù)。若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在處右連續(xù)，在

處左連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù)。例1討論函數(shù)在處的連續(xù)性。討論由定義可知，函數(shù)在處連續(xù)。因?yàn)椋?，所以存在，且?.4.2函數(shù)的間斷點(diǎn)定理5

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)有下列三種情形之一：（1）在處沒定義；（2）在處有定義，但不存在；（3）在處有定義，且存在，但，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0處不連續(xù)或間斷，點(diǎn)x0稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)。例2討論函數(shù)在處的連續(xù)性。解因?yàn)榈亩x域?yàn)?，故在處間斷。但因，故如果補(bǔ)充定義，則得到函數(shù)該函數(shù)在處是連續(xù)的。2.4.3初等函數(shù)的連續(xù)性定理1如果函數(shù)和都在點(diǎn)處連續(xù)，那么它們的和、差、積、商（分母不等于0）也都在點(diǎn)x0處連續(xù)。定理2若函數(shù)在u0處連續(xù)，函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且，則復(fù)合函數(shù)在x0處連續(xù)。例3計算。解因?yàn)槭怯?/p>