高中數(shù)學第1章空間向量與立體幾何1.4.2用空間向量研究距離夾角問題第1課時用空間向量研究距離問題課件新人教版選修1

1.4.2

用空間向量研究距離、夾角問題第1課時

用空間向量研究距離問題課前·基礎認知課堂·重難突破素養(yǎng)·目標定位隨堂訓練素養(yǎng)?目標定位目標素養(yǎng)1.掌握點到直線的距離公式與點到平面的距離公式.2.能用向量方法解決點到直線的距離、點到平面的距離等距離問題,體會向量方法在研究距離問題中的作用.3.通過本節(jié)課學習,提升學生的直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).知識概覽課前·基礎認知1.空間中點到直線的距離如圖,已知直線l的單位方向向量為u,A是直線l上的定點,P是直線l外一點.微訓練1已知點A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),則點A到直線BC的距離為(

)答案:A2.空間中點到平面的距離

答案:A解析:如圖,以P為原點,PA,PB,PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,課堂·重難突破一

求點到直線的距離典例剖析1.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為C1C,D1A1的中點,求點A到直線EF的距離.解:如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),所以直線EF的一個單位方向向量為互動探究1.(變問法)本例其他條件不變,若G為A1D的中點,求直線CG到直線EF的距離.又EF與CG不重合,所以EF∥CG.所以直線CG到直線EF的距離即為點C到直線EF的距離.2.(變問法)本例條件不變,若P點在直線EF上,求P點到直線AB的距離的最小值.規(guī)律總結1.向量法求點N到直線l的距離的步驟

(1)建系,依據(jù)圖形先求出直線l的單位方向向量u.2.兩平行直線間的距離可轉(zhuǎn)化為點到直線間的距離進行求解.學以致用

答案:A二

求點到平面的距離典例剖析2.已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形,E,F分別是AB,AD的中點,CG垂直于正方形ABCD所在的平面,且CG=2,求點B到平面EFG的距離.解:如圖,以C為坐標原點,CD,CB,CG所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系.由題意可知,G(0,0,2),E(2,4,0),F(4,2,0),B(0,4,0),規(guī)律總結求點到平面的距離的四步驟

學以致用2.如圖,該多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.求:(1)BF的長;(2)點C到平面AEC1F的距離.解:如圖,以D為原點,DA,DC,DF所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,則B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).(1)設F(0,0,z).∵四邊形AEC1F為平行四邊形,三

求直線到平面的距離或兩平行平面之間的距離典例剖析3.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,且∠ADC=90°,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中點,求直線A1B1到平面ABE的距離.解:如圖,過點C作CF⊥AB于點F,由題意可知,四邊形ADCF為矩形,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,因為A1B1∥AB,A1B1?平面ABE,AB?平面ABE,所以A1B1∥平面ABE,所以直線A1B1到平面ABE的距離即為點A1到平面ABE的距離.設平面ABE的法向量為n=(x,y,z),互動探究(變問法)本例其他條件不變,若M是BB1的中點,求平面D1MC1到平面ABE的距離.解:如圖,建立空間直角坐標系,因為AB與C1D1不重合,BE與C1M不重合,所以C1D1∥AB,C1M∥BE.因為C1D1?平面ABE,AB?平面ABE,所以C1D1∥平面ABE,同理C1M∥平面ABE.又C1D1∩C1M=C1,所以平面D1MC1∥平面ABE.所以平面D1MC1到平面ABE的距離即為點C1到平面ABE的距離.由例題解析知,平面ABE的一個法向量n=(1,0,1),規(guī)律總結求直線到平面的距離或兩平行平面之間的距離,都可以轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離.為計算方便,往往選取直線上或平面內(nèi)比較特殊的點.學以致用3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,求平面AB1D1與平面BDC1的距離.解:由正方體的性質(zhì)易得平面AB1D1∥平面BDC1,則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點B到平面AB1D1的距離.顯然A1C⊥平面AB1D1,以D為坐標原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略),則平面AB1D1的一個法向量為n=(1,-1,1),又A(a,0,0),B(a,a,0),隨堂訓練1.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則A1A到平面B1D1DB的距離為(

)答案:A2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點E為A1B1的中點,則點A到直線BE的距離為(

)答案:B解析:如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),B(2,2,0),E(2,1,2),3.已知A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),則點D到平面ABC的距離為

.

4.底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,則AD到平面PBC的距離為

.

解析:由題意可知,AD到平面PBC的距離等于點A到平面PBC的距離,且AB,AD,AP兩兩垂直.5.如圖,P為