九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《直角三角形》同步練習(xí)1北師大版

九年級(jí)上第一章第二節(jié)直角三角形試題資料庫(kù)：例1.（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，求c。 （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝40，c＝41，求b。 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°， 又∵c＞0， （2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°， 又∵b＞0，

例2.已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊的長(zhǎng)。 解：（1）若AB、BC均為直角邊 （2）若BC為斜邊

例3.（1）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC：AB＝___________； （2）如圖所示，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則BC：AC：AB＝___________；若AB＝8，則AC＝___________；又若CD⊥AB，則CD＝___________。 （3）等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，則高AD＝___________，___________。 解：（1） （2） （3） 通過此題總結(jié)幾個(gè)基本圖形中的常用結(jié)論： ①等腰直角三角形三邊比為 ②含30°角的直角三角形三邊之比為 ③邊長(zhǎng)為a的等邊三角形的高為，面積為

例4.如圖所示，，∠DAC＝90°，求BD的長(zhǎng)。 解：作AE⊥BC于E 設(shè)BD為x，則 又 將上式代入，得： 即 解得：

例5.如圖所示，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＞BC。 求證： 分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理。 Rt△ACD中， Rt△BCD中， （2）利用代數(shù)中的恒等變形技巧進(jìn)行整理： 例6.設(shè)CD是△ABC的邊AB上的高，且CD2＝AD·DB，求證：∠ACB＝90°。思維入門指導(dǎo)：要得到∠ACB＝90°，除了知道∠ADC＝∠BDC＝90°之外沒有別的角的條件，但題中告訴了CD2＝AD·BD，提醒我們是否由AC2＋BC2＝AB2得到△ACB是直角三角形，從而得到∠ACB＝90°。解法一：∵CD⊥AB于D∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°解法二：∵CD⊥AB于D∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°點(diǎn)撥：這兩種解法的總體思路是一致的，只是在變形中采取了不同的方法。例7.如圖所示，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求四邊形ABCD的面積。思維入門指導(dǎo)：要求四邊形ABCD的面積，得把四邊形ABCD分割成三角形，連結(jié)AC，△ABC是Rt△，若△ACD也是Rt△，問題就解決了。解：連結(jié)AC∵∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形依據(jù)勾股定理得：∴AC＝5∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°∴四邊形ABCD的面積＝△ABC的面積＋△ACD的面積一變：把∠B＝90°變成∠ACD＝90°，其它不變。二變：把∠B＝90°變成AC＝5，其它不變。點(diǎn)撥：經(jīng)過變化，整體思路沒變，均利用直角三角形的判定條件。例8.已知：如圖，ΔABC中，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，AD⊥BC交BE于F。求證：AE＝AF證明：∵AD⊥BC ∴∠1＋∠5＝90°（直角三角形兩銳角互余）又∵∠3＝∠5（對(duì)頂角相等） ∴∠1＋∠3＝90°又∵∠BAC＝90° ∴∠2＋∠4＝90°（直角三角形兩銳角互余）又∵∠1＝∠2 ∴∠3＝∠4∴AE＝AF（等角對(duì)等邊）例9.已知：如圖，ΔABC中，AB＝AC，BD⊥AC。求證：分析：只需作出∠A的角平分線，轉(zhuǎn)化為證角相等，注意到等腰三角形底邊上的中線、高線、頂角的平分線“三線合一”，所以輔助線有多種添法。證明：作AH⊥BC于H∵AB＝AC ∴∠BAH＝∠CAH（等腰三角形三線合一）在RtΔAHC和RtΔBDC中，分別有∠CAH＋∠C＝90°∠DBC＋∠C＝90°∴∠CAH＝∠DBC（同角的余角相等）例10..已知：如圖，ΔABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BD＝DC，DE⊥AB于E。求證：分析：在等腰三角形中可通過添加底邊上的高線，產(chǎn)生直角三角形，利用“三線合一”得到直角三角形的30°，再利用直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可以證明。證明：連結(jié)AD在RtΔABD中∵∠B＝30°（直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）同理可證例11.如圖所示，一棵36米高的樹被風(fēng)刮斷了，樹頂落在離樹根24米處，求折斷處的高度分析：已知的36米是AC與AB的和，若設(shè)AB為x米，則AC為（36－x解：設(shè)AB＝x米，則AC＝（36－x）米∵AB⊥BC，∴∴∴x＝10，∴折斷處的高度AB是10米例12.飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到小明頭頂正上方4000米處，過了20秒，飛機(jī)距離小明頭頂5000分析：根據(jù)題意，可以先畫出符合題意的圖形，如圖，圖中△ABC中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，要求出飛機(jī)這時(shí)飛行多少千米，就要知道飛機(jī)在20秒時(shí)間里飛行的路程，也就是圖中的BC長(zhǎng)，在這個(gè)問題中，斜邊和一直角邊是已知的，這樣，我們可以根據(jù)勾股定理來計(jì)算出解：根據(jù)題意可得示意圖：(如圖)在△ABC中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000根據(jù)勾股定理可得：BC＝AB+AC＝5000+4000＝3000(千米）所以：飛機(jī)飛行了3000千米【點(diǎn)撥】注意勾股定理的應(yīng)用條件是必須在直角三角形中，另外還要辨別要求的邊是斜邊，還是直邊，進(jìn)而選擇利用勾股定理公式還是變形公式。例13在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個(gè)問題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面.請(qǐng)問這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各為多少？我們可以將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型.解：如圖，設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為（x+1）尺，由勾股定理可求得（x+1）2＝x2+52，x2+2x+1＝x2+25解得x＝12則水池的深度為12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺.例14如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，DC＝5cm，在DC上存在一點(diǎn)E，沿直線AE把ΔAED折疊，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上，設(shè)此點(diǎn)為F，若ΔABF的面積為30cm2，那么折疊的ΔAED的面積為______.分析：注意折疊后相等的角與相等的線段的轉(zhuǎn)化，通過設(shè)未知數(shù)列方程求解.解：由已知條件可得BF＝12，則在RtΔABF中，AB＝5，BF＝12根據(jù)勾股定理可知AF＝13，再由折疊的性質(zhì)可知AD＝AF＝13，所以FC＝1，可設(shè)DE＝EF＝x，則EC＝5－x，則在RtΔEFC中，可得方程：12＋(5－x)2＝x2.解這個(gè)方程，得x＝.所以SΔAED＝××13＝(cm2).例15在一棵樹的10m高的B處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹走到離樹20m處的池塘A處，另一只爬到樹頂后直接躍向池塘的A處，如果兩只猴子所