儲(chǔ)油罐變位識別罐容表標(biāo)定08769

出油管1m2出油管1m22m6m/?1m.2018高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目A題儲(chǔ)油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來測量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表＜即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況.許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，因?yàn)榈鼗冃蔚仍颍构摅w的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化＜以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變.按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定.圖1是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體.圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖.請你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定的問題.＜1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲(chǔ)油罐＜兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為0=4.°的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示.請建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值.＜2）對于圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)〈縱向傾斜角度。和橫向偏轉(zhuǎn)角度刃之間的一般關(guān)系.請利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)＜附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值.進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性.附件1：小橢圓儲(chǔ)油罐的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)附件2：實(shí)際儲(chǔ)油罐的檢測數(shù)據(jù)地平線 油位探針油位探測裝置油浮子油位 油高度…圖1儲(chǔ)油罐正面示意圖油位探針<a)無偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖地平線垂直線<b)橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖圖3儲(chǔ)油罐截面示意圖0.4m 2.05m水平線(a>小橢圓油罐示意圖1.2m4.78m圖油位探針<a)無偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖地平線垂直線<b)橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖圖3儲(chǔ)油罐截面示意圖0.4m 2.05m水平線(a>小橢圓油罐示意圖1.2m4.78m圖4/圓型油罐形狀及尺寸示意圖2018年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽(b>小橢圓油罐截面示意圖A題解法評述該問題是來自于加油站設(shè)備研究與生產(chǎn)企業(yè)的一個(gè)實(shí)際課題，問題由兩大部分組成：<1）為了觀察檢驗(yàn)罐體變位對罐容表的影響，在已知變位參數(shù)的情況下，檢測出油位高度和油量的對應(yīng)數(shù)值，建模分析罐容表的變化規(guī)律，并給出修正的罐容表，屬于“正問題”.<2）根據(jù)實(shí)際檢測數(shù)據(jù)，正確識別罐體是如何變位的，具體變了多少？同時(shí)要給出罐容表的修正標(biāo)定方法和結(jié)果，屬于“反問題”.具體解法如下：第一部分：小橢圓型實(shí)驗(yàn)罐的有關(guān)問題按如下方式引入空間直角坐標(biāo)系OXYZ<左手系）：以油位探針?biāo)谥本€與罐體底部的交點(diǎn)為原點(diǎn)O；以罐體經(jīng)過原點(diǎn)O的高為X軸，X軸正向指向罐體右端；以油位探針為Z軸，h增加的方向?yàn)閆軸正方向.符號說明：〃、b分別為罐體截面橢圓的長、短半軸<e0.89m,b=0.6m）；L為罐體長度，L1、L2分別為罐體左、右截面到油位探針的距離<L1=0.4m,L2=2.05m,L=L1+L2=2.45m）；」為罐內(nèi)的油位高度；a為罐體縱向傾斜角度；L為罐體縱向傾斜。角時(shí)、油位高度為h時(shí)的實(shí)際罐容量的理論值；「為對應(yīng)的實(shí)際值；,為罐體縱向傾斜。角、油位高度為h時(shí)，截面X=x處油面到罐底的距離；,簡記為,， ,簡記為?.于是有 -I」 」<1）無變位情況下，廠， ，容易求得：代入?yún)?shù)的具體值，可計(jì)算得到無變位情況下的罐容表〈理論值，見表1）.表1：無變位情況下小橢圓罐的罐容表部分結(jié)果油位高度/cm 油量/L油位高度/cm10 163.59 4020 450.27 5030 803.54 60計(jì)算表1的MATLAB腳本：a=8.9。b=6。L=24.5。V0=@(h>L.*(pi/2*a*b+a/b油量/L 油位高度/cm1199.31 701621.00^^802055.07T^W0油量/L 油位高度/cm 油量/L2489.15 100 3659.882910.84 110 3946.553306.61 120 4110.15*h>+a*b.*asin(h./b-1>>。H=（0.1:.1:12>'。D0=V0（H>。評注1：對附件一在無變位情況下進(jìn)油〈或出油）的油位高度與實(shí)際罐容量數(shù)據(jù)作3次樣條插值，并與理論值比較，可以得到修正公式 ，但是這一步評閱要點(diǎn)沒有要求。和油罐的曲面方程和油罐的曲面方程）：<2）罐體縱向傾斜。角時(shí)，僅考慮a>0.容易看出<）：現(xiàn)在情況一，當(dāng).可以分三種情況討論:現(xiàn)在情況一，當(dāng).可以分三種情況討論:此時(shí)，有此時(shí)，有(1>情況二，當(dāng)時(shí)，即此時(shí)，有(2>情況三，當(dāng)時(shí)，即，有此時(shí)，有記函數(shù)(3>用MATLAB的數(shù)值積分函數(shù)對函數(shù)f（x(1>情況二，當(dāng)時(shí)，即此時(shí)，有(2>情況三，當(dāng)時(shí)，即，有此時(shí)，有記函數(shù)(3>用MATLAB的數(shù)值積分函數(shù)對函數(shù)f（x>計(jì)算數(shù)值積分，計(jì)算出計(jì)算表2的MATLAB腳本：D41=[]。H=（0.1:.1:12>'。forh=0.1:.1:12梟求積分法）

定值<理論值根據(jù)公式（1>?（3>，見表2）D41=[D41。v41(h>]。end函數(shù)M文件v41.mfunctionV=v41(h>alpha=4.1。a=8.9。b=6。L1=4。L2=20.5。c=tand(alpha>。f=@(x>(h-b-c*x>/2.*sqrt(b*b-(h-b-c*x>.A2>+b*b/2*asin((h-b-c*x>/b>+pi/4*b*b。iflength(h>>1IIh<0IIh>2*breturnelseifh<=L2*cV=2*a/b*quad(f,-L1,h/c>。elseifh<=2*b-L1*cV=2*a/b*quad(f,-L1,L2>。elseV=2*a/b*quad(f,(h-2*b>/c,L2>+pi*a*b*((h-2*b>/c+L1>。end表2：小橢圓罐的修正罐容表的部分結(jié)果 ＜~）油位高度/cm油量/L油位高度/cm油量/L油位高度/cmX油量L油位高度/cm油量/L1070.1340965.66702232.501003450.7220281.86501371.88802661.421103776.6430595.25601798.52903072.431204012.74將修正后的罐容表與無變位情況下的罐容表進(jìn)行比較，可以看出罐體縱向傾斜變位的影響十分明顯考慮油位高度h從1cm到120cm每隔1cm的變化過程，相同油位高度對應(yīng)的實(shí)際罐容量都因罐體縱向傾斜變位而減少，最大誤差為257.5L，平均誤差為199.54L，最大相對誤差為184.88%，平均相對誤差為32.8%＜相對誤差以修正后的罐容表為分母）.評注2：對附件一在縱向傾斜變位情況下進(jìn)油＜或出油）的油位高度與實(shí)際罐容量數(shù)據(jù)作3次樣條插值，并與修正后的罐容表＜理論值）比較，誤差較小，理論值比實(shí)際值略大，但是誤差沒有明顯的數(shù)量規(guī)律，與無變位情況恰好相反，可見題目對這方面的誤差分析并不關(guān)注，題目關(guān)注的是根據(jù)數(shù)學(xué)模型＜積分）比較變位對罐容表的影響。第二部分：實(shí)際大儲(chǔ)油罐的有關(guān)問題＜1）根據(jù)儲(chǔ)油罐縱向的變位方向，對于不同的油位高度，分別考慮油罐的兩端有油和一端有油的情況建模分析，可以得到罐內(nèi)實(shí)際儲(chǔ)油量」與縱向傾斜變位參數(shù)」、橫向偏轉(zhuǎn)變位參數(shù)」和油位高度」的關(guān)系模型，即 .詳細(xì)的解讀模型表述第一步，第二步

第三步

第四步形式比較復(fù)雜，重在分析過程，注意油罐兩端含油的不同情況.類似小橢圓罐的討論，建立坐標(biāo)系；定義清楚縱向傾斜變位參數(shù)」、橫向偏轉(zhuǎn)變位參數(shù)」；第一步，第二步

第三步

第四步可先假設(shè)?，類似小橢圓罐的討論，建立 的表達(dá)式；將此表達(dá)式代入第五步采用數(shù)值積分方法計(jì)算.的表達(dá)式；將此表達(dá)式代入第五步采用數(shù)值積分方法計(jì)算.的表達(dá)式；何方法等近似方法實(shí)當(dāng)然，也可能通過實(shí)際數(shù)據(jù)采用數(shù)值方法、項(xiàng)目方法或幾現(xiàn)，但應(yīng)關(guān)注引入變位參數(shù)的方法和表示形式的合理性蒙特卡洛方法長度單位為dm，體積單位為L）：第一步，類似小橢圓罐的討論，建立坐標(biāo)系，并將縱向傾斜變位參數(shù)」、橫向偏轉(zhuǎn)變位參數(shù)」定義成地垂線向上方向」的方向角：第二步，寫出顯示高度為h的油面的平面方程|

第三步，在長方體內(nèi)產(chǎn)生第三步，在長方體內(nèi)產(chǎn)生n=100,000,000個(gè)均勻分布隨機(jī)點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)落在油罐內(nèi)并且在油面下方的點(diǎn)巍,則體積V=V(h>的近似值為第四步，蒙特卡洛方法的相對精確度為I0示油位高度h越大，相對精確度越高.endc1=sind(a>。c2=sind(b>。c3=sqrt(1-c1*c1-c2*c2>oc4=16.25A2。n=100000000。k=0。fori=1:nx=rand*100-30。y=rand*30-15。z=rand*30。ifyA2+(z-15>A2>225||c1*x+c2*y+c3*z>c3*hcontinueelseifx>=-20&&x<=60k=k+1。elseifx<-20&&(x+13.75>A2+yA2+(z-15>A2<=c4k=k+1。elseifx>60&&(x-53.75>A2+yA2+(z-15>A2<=c4k=k+1。endendV=k/n*90000。命題人給出實(shí)際儲(chǔ)油罐無變位情況的罐容表部分標(biāo)定值<見表3).蒙特卡洛方法能獲得十分接近的近似結(jié)果，所需要的計(jì)算時(shí)間視硬件條件與編程技巧而不同，最快要十分鐘左右.表3：無變位情況下油罐的罐容表部分結(jié)果油位高度/cm102030405060708090100油量/L590.711682.063101.874783.006682.458767.9111012.9313394.6515892.5718487.88油位高度/cm110120130140150160170180190200油量/L21162.9223900.8826685.5729501.1832332.2235163.1537978.7640763.4543501.4146176.46油位高度/cm210220230240250260270280290300油量/L48771.7851269.7153651.4355896.4557981.9359881.3961562.5362982.3664073.7264664.45<2)必須明確給出變位參數(shù)的辨識準(zhǔn)則.因?yàn)閷?shí)際罐內(nèi)油量初值未知，所以罐內(nèi)儲(chǔ)油量的準(zhǔn)確值是未知的.由附件2的檢測數(shù)據(jù)可以知道不同時(shí)刻的出油量「〈準(zhǔn)確值）同時(shí)可以計(jì)算出相應(yīng)油位高度的改變量〈準(zhǔn)確值）并由模型表達(dá)式計(jì)算得到實(shí)際儲(chǔ)油量的改變量并由模型表達(dá)式計(jì)算得到實(shí)際儲(chǔ)油量的改變量問題可歸結(jié)為求解非線性最小二乘問題:利用附件2中的部分?jǐn)?shù)據(jù)＜如前數(shù)估計(jì)值四.其具體用如果直接使用B半部分），利用附件2中的部分?jǐn)?shù)據(jù)＜如前數(shù)估計(jì)值四.其具體用如果直接使用B半部分），助于工軟件或各不同的方法會(huì)有差別于2附件2中的顯示儲(chǔ)油量可和對應(yīng)的三做參數(shù)估等.數(shù)值方法求解得到參縱向傾斜變位角」略芝位角」影響不敏感.，即求問題的解，這是不對的，因?yàn)椤故菬o變位時(shí)含有較大的誤差.若儲(chǔ)油量的體積公式」值會(huì)很小.的解，這是不對的，因?yàn)椤故菬o變位時(shí)含有較大的誤差.若儲(chǔ)油量的體積公式」值會(huì)很小.的顯示儲(chǔ)油量，而實(shí)際上油罐已經(jīng)變位，故」如果經(jīng)分析說明橫向偏轉(zhuǎn)變位的影響不是正確的，則用該方法得到的參數(shù)大，則可以直接考慮縱向變位的單參數(shù)辨 1 識.評注3：體積計(jì)算的解讀表達(dá)式和數(shù)值積分方法是本題的難點(diǎn)之一.在數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)課程一般不討論本題這種較復(fù)雜的3維積分問題，數(shù)值計(jì)算方法課程也不介紹3重積分的計(jì)算方法，所以挑戰(zhàn)較大.評注4：參數(shù)辨識是本題的難點(diǎn)之二，較體積計(jì)算更難.因?yàn)轶w積計(jì)算耗時(shí)＜尤其是蒙特卡洛方法），所以采用MATLAB的非線性最小二乘函數(shù)不可行，用簡單的搜索法可能在三天內(nèi)算不完，精確度也不夠高.希望同學(xué)們對3重積分?jǐn)?shù)值計(jì)算方法、非線性最小二乘算法繼續(xù)深入研究.＜3）根據(jù)修正模型題人提供的結(jié)果見表4）及參數(shù)估計(jì)值廠，可以得到變位后的罐容表〈命利用附件2＜3）根據(jù)修正模型題人提供的結(jié)果見表4）油位高度/cm102030405060708090100油量/L354.761065.802223.043702.655432.637371.389487.87?K566114155.5116664.62油位高度/cm110120130140150160170180190200油量/L19265.6021941.1824674.8827450.7730253.2533066.9935876.7638667.2741423.1144128.48油位高度/cm210220230240250260270280290300油量/L46767.2149322.4451776.4054109.9356302.1258329.2760163.3961768.9063093.6364026.17