用加分法講函數(shù)的思想

用加分法講函數(shù)的思想

小學生的數(shù)學非常簡單。盡管簡單,里面卻蘊含了一些深刻的數(shù)學思想。建立多元化的函數(shù)最重要的,首推函數(shù)的思想。比如說加法,2和3加起來等于5,這個答案“5”是唯一確定的,寫成數(shù)學式子就是2+3=5;如果把左端的3變成4,右端的5就變成6,把左端的2變成7,右端的5就變成10。右端的數(shù)被左端的數(shù)所唯一確定。在數(shù)學里,數(shù)量之間的確定性關(guān)系叫做函數(shù)關(guān)系。加法實際上是一個函數(shù),由兩個數(shù)確定一個數(shù),是個二元函數(shù)。如果把式子里的第一個數(shù)“2”固定了,右端的和就被另一個數(shù)確定,就成了一元函數(shù)。在中學里學習函數(shù)概念,只講一元函數(shù),以為多元函數(shù)復雜,不肯講。其實,小學生先熟悉的是多元函數(shù),因為學過的大量的數(shù)量關(guān)系是多元函數(shù)的例子。矩形面積等于長乘寬,是二元函數(shù);梯形面積等于上底加下底的和再乘高除以2,是三元函數(shù)。所以多元函數(shù)的概念更容易理解。講函數(shù)概念,不妨一開始就講多元函數(shù);具體研究,再從一元函數(shù)開始,這樣比只講一元函數(shù)更容易理解。當然,不用給小學生講函數(shù)概念。但老師有了函數(shù)思想,在教學過程中注意滲透變量和函數(shù)的思想,潛移默化,對學生數(shù)學素質(zhì)的發(fā)展就有好處。比如學乘法,九九表總是要背的。三七二十一的下一句是四七二十八,如果背了上句忘了下句,可以想想21+7=28,就想起來了。這樣用理解幫助記憶,用加法幫助乘法,實質(zhì)上包含了變量和函數(shù)的思想:3變成4,對應的21就變成了28。這里不是把3和4看成孤立的兩個數(shù),而是看成一個變量先后取到的兩個值。想法雖然簡單,小學生往往想不到,要靠老師指點。挖掘九九表里的規(guī)律,把枯燥的死記硬背變成有趣的思考,不僅是教給學生學習方法,也是在滲透變量和函數(shù)的數(shù)學思想。做除法要試商。80除以13,商是多少?試商5余15,不夠;試商6余2,可以了。這里可以把余數(shù)看成是試商數(shù)的函數(shù)。試商的過程,就是調(diào)整函數(shù)的自變量,使函數(shù)值滿足一定條件的過程。小學數(shù)學里有很多應用題,解題的思想方法常常是因題而異。可不可以引導學生探索一下,用一個思想來解各種各樣的題目呢?試商的思想,其實有普遍意義,可以用來求解許多不同類型的問題,包括應用問題,只要問題中的條件數(shù)據(jù)和解答之間有確定性的關(guān)系。例如,修一條長32千米的公路,已經(jīng)修了24千米,已修的路程是剩下的幾倍?我們用類似試商的辦法來試解。如果是1倍,剩下的是24千米,總長48千米,比題設(shè)數(shù)據(jù)大了;如果是2倍呢,剩下的是12千米,總長36千米,仍比題設(shè)數(shù)據(jù)大;3倍呢,剩下8千米,總長32千米,正好符合要求。我想很多老師不會這樣引導學生思考,認為這是個笨辦法。其實,這個辦法具有一般性,把試解的倍數(shù)看成自變量,把根據(jù)試解算出的總長看成試解倍數(shù)的函數(shù),找尋使函數(shù)值符合題目要求的自變量,這個思路能解決很多問題,是“大智若愚”。這樣思考試算,最終也會發(fā)現(xiàn)具體的規(guī)律,列出通常的算式。找尋使函數(shù)值符合一定要求的自變量,也就是解方程。方程本質(zhì)上是函數(shù)的逆運算。加法看成函數(shù),減法是解對應的方程;乘法看成函數(shù),除法就是解對應的方程。函數(shù)思想和方程的方法,是一個事物的兩面,都是大智慧,貫穿數(shù)學的所有領(lǐng)域。培養(yǎng)學生的形與數(shù)數(shù)學要研究的東西,基本上是數(shù)量關(guān)系和空間形式。當然,發(fā)展到今天,還要研究類似于數(shù)量關(guān)系的關(guān)系以及類似于空間形式的形式,甚至于一般關(guān)系的形式和一般形式的關(guān)系,等等。現(xiàn)在的課程標準把中小學數(shù)學分成了數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率等幾個模塊。如何讓這幾塊內(nèi)容相互滲透、相互聯(lián)系,是值得研究的問題。提到數(shù)形結(jié)合,往往覺得是解析幾何的事情。其實,數(shù)和形的聯(lián)系,幾乎處處都有。在數(shù)學當中,幾何具有非常重要的地位。幾乎所有重要的數(shù)學概念,最初都是從幾何中來的。所以有人說,幾何是數(shù)學思想的搖籃。幾何不僅是直觀的圖形,而且還需要推理,推理就要使用語言,所以幾何的語言很重要。我們在教學或者編寫教材的時候,往往是學數(shù)的時候就講數(shù),到了學幾何的時候就講幾何,缺少把兩者聯(lián)系起來的意識。例如,有一套教材開始就讓學生玩積木,也就是認識立體圖形。立體圖形比平面圖形更貼近生活,比數(shù)更貼近生活,是更基本的東西,這是教材的優(yōu)點。但是,如果在玩積木時不僅讓學生注意一塊積木是方的、圓的、尖的,還讓他們數(shù)一數(shù)某塊積木有幾個尖(頂點)、幾個棱、幾個面,就在學生頭腦中播下形與數(shù)有聯(lián)系的種子。在認識數(shù)的時候,要舉很多的例子,如一個蘋果、一只小白兔等。我就想,在舉例的時候能不能照顧到幾何?比如學生在學習“1”的時候,就要學生用“1”來造句,書上可不可以有一些關(guān)于幾何的句子?如“1個圓有1個圓心”、“1條線段有1個中點”、“1個正方形有1個中心”等。有的老師會說,這樣不行,學生不能理解。我想,可以畫圖幫助學生理解,學生雖然不知道這些概念準確的含義,但看看圖就有一個直觀的、初始的印象。孩子學語言一開始不是通過理解,而是通過模仿開始的,如果在學數(shù)的時候,能舉一些幾何上的例子,這對他將來學習幾何肯定會有幫助。同樣,在學習“2”的時候,我們可以教學生說:“一條線段有兩個端點?！辈恍枰寣W生知道什么是線段,只要畫一條線段,指出兩頭是端點。到后來學幾何知識時,回頭一想,他會非常親切,因為他早已經(jīng)會說了。在學“3”的時候,可以畫一個三角形,讓學生說“三角形有3條邊、3個頂點”;學“4”的時候,可以畫一個正方形,讓學生說“正方形有4條邊、4個頂點”;學“5”的時候,可以畫個五角星;認識“10”的時候,除了10個指頭,不妨畫一個完全五邊形讓學生數(shù)一數(shù)有幾條線段(圖1);學到100以內(nèi)的數(shù),就可以告訴學生正方形的角是90度,等等。小孩子記憶力好,早點記一些東西,以后再慢慢理解。在中國古代的私塾里,學生入學后往往先讓他們背幾個月,甚至一年,然后才開講。當然這種教育方式不能作為模式,但是也并非沒有可取之處。學生已經(jīng)會背了,再講的時候,他印象就非常深刻了。我們講建構(gòu)主義,先要有信息進去才能建構(gòu),一個人閉目塞聽,不和外界接觸,是很難建構(gòu)出東西來的?？傊?幾何語言的早期滲透可不可能,值得研究。形與數(shù)的結(jié)合,還提供了更多的數(shù)學之美的欣賞機會。關(guān)于數(shù)學的美,美國數(shù)學教育家克萊因有過這樣的描述:“音樂能激發(fā)或撫慰情懷,繪畫使人賞心悅目,詩歌能動人心弦,哲學使人獲得智慧,科技可以改善物質(zhì)生活,但數(shù)學卻能提供以上一切?！痹鯓硬拍茏寣W生逐步體會到數(shù)學的美呢?在小學階段,可以先從幾何圖形上感知數(shù)學之美。現(xiàn)代信息技術(shù)提供了前所未有的可能。舉個例子,這里有一些美麗的圖案(圖2):你能想到,這些圖案竟是同一種曲線的不同形態(tài)嗎?這條曲線其實很簡單,如圖3,用“超級畫板”※軟件畫一個圓,圓上取3點A、B、C,在弦AB上取點G,再在線段CG上取點H,利用軟件的軌跡作圖功能,作出3點A、B、C在圓周上運動時點H的軌跡,并把3點運動速度的比值分別設(shè)置為k、m、n的整數(shù)部分,做出這3個參數(shù)的變量尺。只要調(diào)整3個參數(shù)和點G、H的位置,就能創(chuàng)造出成百上千種不同的圖案。這樣幾分鐘就能做出來的課件,讓孩子們玩上幾個星期都不會失去興趣。在潛移默化之中,數(shù)學之美會滲入幼小的心靈。一位教師讓她9歲半的孩子玩這類超級畫板課件,孩子很快被超級畫板所吸引。玩到第3天,就不想上網(wǎng)打游戲了。不到一個星期,就對超級畫板上了癮,很快學會了從屏幕上截取圖片,把自己的作品保存起來。圖4就是這個三年級學生的作品。他還根據(jù)自己的想象力給每個圖案起了名字。數(shù)形結(jié)合的思想,不僅是上面這些簡單的例子,下面還會談到。角的推導和推理小學里主要學計算,不講推理。但是,計算和推理是相通的。中國古代數(shù)學主要是找尋解決各類問題的計算方法,不像古希臘講究推理論證。但是,計算要有方法,這方法里就體現(xiàn)了推理,即寓理于算的思想。數(shù)學活動中的畫圖和推理,歸根結(jié)底都是計算。推理是抽象的計算,計算是具體的推理,圖形是推理和計算直觀的模型。我們可以舉些例子,讓學生慢慢體會到所謂推理,本來是計算;到了熟能生巧的程度,計算過程可以省略了,還可以得到同樣的結(jié)果,就成了推理了。有的人認為幾何推理很難,學幾何一定要先學實驗幾何。其實,實驗和推理不一定要截然分開。早期學實驗幾何階段可以推理,后期學會推理時也需要實驗。所謂實驗,無非是觀察和計算?！皩斀窍嗟取边@樣簡單的幾何命題,實際上就是通過一個算式證出來的,這里的推理證明就是計算。要把計算提升為推理,就要用一般的文字代替特殊的數(shù)字,再用字母代替文字。不要怕讓學生早點接觸字母運算。講到“長方形的面積=長×寬”的時候,不妨告訴學生,這個公式可以用字母表示成M=C×K。這里用了面積、長、寬的漢語拼音,學生很容易理解。再說明用別的字母也可以。為什么說這樣能把計算提升為推理呢?看一個簡單的例子。設(shè)一個三角形a邊上的高為h,而b邊上的高為g,根據(jù)三角形面積公式,就知道a×h=b×g;如果a=b,則h=g。這就推出了一條規(guī)律:如果三角形的兩條邊相等,則此兩邊上的高也相等。也就是證明了一條定理。這種證明方法比利用全等三角形簡單明了。我曾經(jīng)在一張小學數(shù)學試卷上看到這樣一道題:“正方形的面積是5平方分米,求這個正方形的內(nèi)切圓的面積?！北砻嫔峡?這個問題小學生解決不了,因為要求圓的面積,一般要知道圓的半徑,這題中就需要先知道正方形的邊長,而正方形的面積是5平方分米,邊長就是分米,小學生沒有學過開方,似乎沒有辦法進行計算。而實際上,正方形的面積是它邊長的平方,圓的面積用到的是半徑的平方,并不一定要知道半徑,知道半徑的平方就行了,而此題中半徑的平方是直徑平方(即正方形面積)的四分之一,所以是能夠解決的。但有很多學生解決不了,而告訴他們答案后,學生往往覺得非常簡單。這是為什么呢?這就說明學生不能把計算轉(zhuǎn)化為推理。引導學生認識計算和推理的關(guān)系,從計算發(fā)展到推理,是很重要的。這里有很值得研究的問題。小學生學的是很初等的數(shù)學,但編教材和教學研究要有高觀點。英國著名數(shù)學家阿蒂亞說過,“數(shù)學的目的,就是用簡單而基本的詞匯去盡可能地多解釋世界”,“如果我們積累起來的經(jīng)驗要一代一代傳下去,就必須不斷努力把它們簡化和統(tǒng)一”,“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題,在以后的年代,連孩子們都容易理解”。這幾句話,我覺得非常親切,因為多年來我一直在想能不能把數(shù)學變簡單一點,把難的變成容易的,把高等的變成初等的。我想,高等的與初等的數(shù)學之間,沒有必然的鴻溝,主要看人們?nèi)绾卫斫?。把變量與函數(shù)的思想、形數(shù)結(jié)合的思想和寓理于算的思想結(jié)合起來,往往能夠化難為易,化繁為簡。人們以前認為三角函數(shù)是非常難學的,是高等數(shù)學的內(nèi)容。它既不是加減乘除,又不是開方,它是超越函數(shù)。在數(shù)學史上,函數(shù)這個詞是和三角緊密聯(lián)系在一起的。一次函數(shù)、二次函數(shù)都是算術(shù)運算的結(jié)果,就算沒有函數(shù)的概念,學生也是比較容易理解的。三角函數(shù)則不然,一定要有“對應”的概念,函數(shù)的概念才說得清楚。有關(guān)三角的推導也是數(shù)學教學的難點。1974年,我在新疆教過中學,那時發(fā)現(xiàn)學生學習三角比較困難,就開始研究如何把三角變?nèi)菀?。在我寫的一本書?《平面三角解題新思路》,1997,中國少年兒童出版社)講了這方面的具體想法。最近發(fā)現(xiàn),三角不但可以變得很初等、很容易,而且可以成為初中數(shù)學的一條主線,把幾何和代數(shù)聯(lián)系在一起。我把這種思想寫成一篇文章(《下放三角全局皆活》,《數(shù)學通報》,2007年1-2期)。張奠宙先生說,按我的這種思路,三角里的正弦函數(shù),可以在小學里引進。如何引進呢?他把我提出的正弦函數(shù)的新的定義方法,作了生動、通俗而精彩的表述。下面這段文字引自他的文章:矩形用單位正方形去度量,結(jié)果得出長乘寬的面積公式。那么平行四邊形的面積怎么求?自然是用單位菱形,同樣可以得出平行四邊形的面積是“兩邊長的乘積,再乘上單位菱形面積的因子”,原理完全相同。一個明顯的事實是:單位正方形壓扁了,成為單位菱形,兩者的區(qū)別在于角A。A是直角,面積為1,A不是直角,面積就要打折扣。這個折扣是一個小數(shù),和A有關(guān),記作sinA(圖5)。張奠宙先生還說:“如果能從小學就學sinA,當然是一次解放。”我們看到,數(shù)學可以有不同的講法。看清了問題的實質(zhì),就能把難的變成容易的,把高等的變成初等的。就能把“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題”,變得“孩子們都容易理解”。不考慮矩形面積公式,不用單位菱形,也能在小學里講正弦。怎么講?先問,一個等腰直角三角形,如果腰長為1,面積是多少呢?學生容易回答,是0.5。進一步探索,如果這個等腰三角形的頂角不是90度,比如是60度,它的面積是多少呢?學生從圖上會看到,90度變成60度,面積會變小,要打個折扣。多大的折扣呢?這可以從紙上測量出來一個近似值。老師進一步告訴大家,這個折扣的更精確的數(shù)值,可以在計算器或計算機上查出來,它叫做sin(60°),約等于0.8667,這就引進了正弦函數(shù)。知道了正弦函數(shù),就能解決許多實際的幾何問題。如果問,這個0.8667怎么得來的,就引出進一步的數(shù)學方法。這樣不僅教給學生知識,更重要的是教他如何提問題、如何思考、如何獲取新的知識。這里,既有數(shù)形結(jié)合,又有寓理于算,還貫穿著變量和函數(shù)的思想。有些老師不是說缺少好