空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系測(cè)試題(含答案)

空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系測(cè)試題一、選擇題（本大題共12題，每小題5分，共60分）1.已知平面a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)都與平面B平行，那么（）A.a〃A.a〃BB.a與B相交C.a與B重合D.a〃B或a與B相交2.兩條直線(xiàn)a,b滿(mǎn)足a〃b,bud，則a與平面Q的關(guān)系是（）A.a〃Q B.a與Q相交 C.a與Q不相交 D.aua3?對(duì)于命題：①平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行；②平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；③垂直于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行；④垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行.其中正確的個(gè)數(shù)有（）1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)經(jīng)過(guò)平面外兩點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面 （ ）只有一個(gè)B.至少有一個(gè)C.可能沒(méi)有 D.有無(wú)數(shù)個(gè)過(guò)三棱柱ABC-ABC的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線(xiàn)，其中與平面ABBA平行的直線(xiàn)共11111有（）A.3條B.4條C.5條D.6條a,b是兩條異面直線(xiàn)，下列結(jié)論正確的是（ ）過(guò)不在a,b上的任一點(diǎn)P，可作一個(gè)平面與a,b平行過(guò)不在a,b上的任一點(diǎn)P,可作一條直線(xiàn)與a,b相交過(guò)不在a,b上的任一點(diǎn)P,可作一條直線(xiàn)與a,b都平行過(guò)a可以并且只可以作一平面與b平行m,n是兩條不同直線(xiàn)，Q,卩,丫是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（ ）A.若mIIQ,nIIQ,則mIIn B.若Q丄Y,B丄Y,則Q”P(pán)C.若mIQ,mIP,則QIP D.若m丄Q,n丄Q,則mIn&如圖1,正四面體ABCD的棱長(zhǎng)均為a,且AD丄平面Q于A,點(diǎn)B,C,D均在平面Q外,且在平面Q同一側(cè)，則點(diǎn)B到平面Q的距離是（）如圖2,如圖2,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA丄平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論正確的是A.PB丄AD B.平面PAB丄平面PBCC.直線(xiàn)BC〃平面PAE D.直線(xiàn)PD與平面ABC所成的角為45。點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PD丄平面ABCD,PD=AD,則PA與BD所成角的度數(shù)為（）A.30°B.45°C.60°D.90°11.已知二二面角Q-1-p的大小為50,P為空間中任意一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與平面Q和平面P所成的角都是250的直線(xiàn)的條數(shù)為。（)A.2B.3C.4D.5

12.在正四棱柱ABCD-ABCD中，頂點(diǎn)B到對(duì)角線(xiàn)BD和到平面ABCD的距離分別11111111為h和d，則下列命題中正確的是（ ）若側(cè)棱的長(zhǎng)小于底面的邊長(zhǎng)，則纟的取值范圍為（0,1）dh ^j22\/3若側(cè)棱的長(zhǎng)小于底面的邊長(zhǎng)，則-的取值范圍為（*，-■—）TOC\o"1-5"\h\zd 2 —1 Q/q若側(cè)棱的長(zhǎng)大于底面的邊長(zhǎng)，則〒的取值范圍為（ ，鮎2）d —— 2\I—若側(cè)棱的長(zhǎng)大于底面的邊長(zhǎng)，則7的取值范圍為（-'一,+8）d —二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）1—.如圖3,AABC和厶DBC所在兩平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,ZCBA=ZCBD=120°，則AD與平面BCD所成的角為 .14.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與過(guò)點(diǎn)A，E，C的平面的位置關(guān)系 .m若一個(gè)n面體有m個(gè)面是直角三角形，則稱(chēng)這個(gè)n面體的直度為一，則在長(zhǎng)方體ABCDn—ABCD中，四面體A-ABC的直度為 .11111a,B表示平面，l表示既不在Q內(nèi)也不在0內(nèi)的直線(xiàn)，存在以下三個(gè)事實(shí)：①l丄a；②1〃0:③a丄0.若以其中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論，構(gòu)成命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)為 個(gè).點(diǎn)D是棱AC三、解答題（本大題共6小題，共點(diǎn)D是棱AC17.如圖4,在正三棱柱ABC—ABC中,111BC的中點(diǎn)．求證：⑴AD丄Cf；（2）A1B//平面ADC1．118.如圖5，已知三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱與底面1111垂直，ABAC=90，M，N分別是AB，BC11的中點(diǎn).（1）證明:。AB丄AC；1（2）判斷直線(xiàn)MN和平面ACCA的位置關(guān)系，并11加以證明．

CC1如圖6,在正方體ABCD—ABCD中，E,F分別為棱CC11111AD,AB的中點(diǎn).求證：平面CAAC丄平面CBD；1111如果AB=1，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)F出發(fā)在正方體的表面上依次經(jīng)過(guò)棱BB15BC,CD,DD,DA上的點(diǎn)，最終又回到點(diǎn)F,指111111出整個(gè)路線(xiàn)長(zhǎng)度的最小值并說(shuō)明理由.如圖7,四棱錐S—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2a的菱形，且SA=SC=2aSB-SD=\:2a，點(diǎn)E是SC上的點(diǎn)，且SE=九a(0<^<2).求證：對(duì)任意的九e(0,2］，都有BD丄AE；若SC丄平面BED，求直線(xiàn)SA與平面BED所成角的大小.某廠(chǎng)根據(jù)市場(chǎng)需求開(kāi)發(fā)折疊式小凳，如圖8所示.凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細(xì)鋼管.考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設(shè)計(jì)小凳應(yīng)滿(mǎn)足：①凳子高度為30cm，②三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點(diǎn)O與凳面三角形ABC重心的連線(xiàn)垂直于凳面和地面.若凳面是邊長(zhǎng)為20cm的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為45，確定節(jié)點(diǎn)O分細(xì)鋼管上下兩段的比值(精確到0.01)；若凳面是頂角為120的等腰三角形，腰長(zhǎng)為24cm，節(jié)點(diǎn)O分細(xì)鋼管上下兩段之比為2:3.確定三根細(xì)鋼管的長(zhǎng)度(精確到0.1cm)如圖9所示，在邊長(zhǎng)為12的正方形AA'A1'A1中，點(diǎn)B,C在線(xiàn)段AA'上，且AB=3,BC=4，作BB//AA］,分別交Af、AA：于點(diǎn)B「P,，作CC'/A%,分別交Af,AA：于點(diǎn)q,Q,將該正方形沿BB/CC］折疊：使得A'A：與AA］重合，構(gòu)成如圖10所示的三棱柱ABC-A.B1C1.在三棱柱ABC-ABC中，求證：AB丄平面BCCB； 111求平面APQ將三棱柱ABC—A^C］分成上、下兩部分幾何體的體積之比.圖9C1QC圖9C1QC圖空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系測(cè)試題一、選擇題1~6DCBCDD 7~12DADCBC提示:3.對(duì)于①平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行，反例為：把一支筆放在打開(kāi)的課本之間；②是對(duì)的，③是錯(cuò)的；④是對(duì)的5■取AC,BC,BC,AC中點(diǎn)E,F,M,N，直線(xiàn)分別為EF,MN,EN,EM,FM,FN都與平1111面ABBA平行.ii6.如圖所示，在直線(xiàn)a上任取一點(diǎn)P,過(guò)P作b‘〃b,則aHbz=P.那么a, 與b'確定一個(gè)平面a.因?yàn)閎〃b',b，ua,b乞a,所以b〃a. /_g所以過(guò)a可以作一個(gè)平面a與b平行. '假設(shè)還可作一平面B與b平行，則anB二a,b〃a,b〃B，所以a〃b.這與a、b異面相矛盾，即假設(shè)不成立.所以只有一個(gè)平面a.綜上所述，過(guò)a有且只有一個(gè)平面與b平行?故選D.7.m,n均為直線(xiàn)，其中m,n平行a,m,n可以相交也可以異面，故A不正確;m丄么,n丄a則同垂直于一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行；選D8.取AD的中點(diǎn)M,易證AD丄平面BCM，故平面BCMII平面a,平面BCMa到平面a的距離為2，即為B到平面a的距離.9.因AD與AB不相互垂直，排除A；作AG丄PB于G,因平面PAB丄平面ABCDEF，而AG在平面ABCDEF上的射影在AB上，而AB與BC不相互垂直，故排除B；由BC〃EF，而EF是平面PAE的斜線(xiàn)，故排除C,故選擇D.10.將圖形補(bǔ)成一個(gè)正方體如圖，則PA與BD所成角等于BC與BD所成角即ZDBC.在等邊三角形DBC中，ZDBC』60。，即PA與BD所成角為60°.12.設(shè)底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為九（九>0），過(guò)B作BH丄BD,BG丄AB?在RtABBD中,1111111BD=\：BD=\：2,BD= 2+2,ii i由三角形面積關(guān)系得h=BH= 1i BD1設(shè)在正四棱柱中，由于BC丄AB,BC丄BB,1故BiG為點(diǎn)Bi到平所以BC丄平面AABB,于是BC丄BG故BiG為點(diǎn)Bi到平111111面AiBCDi的距離，在RtAAiBiB中，又由三角形面積關(guān)系得d二BG二id二BG二iAB-BBi_i 1ABh邁,九2+1于是廠(chǎng)FT21于是當(dāng)九>1，所以X2+2>3,^<1-3X2+2二、填空題13.45° 14.BD］〃平面AEC15.1 16.2提示：13.作AO丄CB的延長(zhǎng)線(xiàn)，連接OD,則OD即為AD在平面BCD上的射影,

J3

因?yàn)锳O=OD= a,所以ZADO=45°.2連接AC,BD相交于一點(diǎn)O,連接OE,AE,EC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以DO=BO.WDE=D1E,所以EO為ADD0的中位線(xiàn)，所以EO〃D、B,所以BD]〃平面AEC.本題主要考查空間的垂直關(guān)系，由圖形得四面體A-ABC的每個(gè)面都是直角三角形,m4由②③不能得到①.所以匚=4=1*由②③不能得到①.由①②=③、①③=②是正確命題,三、解答題17?證明：⑴因?yàn)槿庵鵄BC-AiBiCi是正三棱柱，所以CiC丄平面ABC，又ADu平面ABC，所以CC丄AD.1又點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn)，且AABC為正三角形，所以AD丄BC.因?yàn)锽CCC=C，所以AD丄平面BCCB，111又因?yàn)镈Cu平面BCCB，所以AD丄CD.1111(2)連接AC交AC于點(diǎn)E，再連接DE?11因?yàn)樗倪呅蜛ACC為矩形，所以E為AC的中點(diǎn),111又因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以ED//AB.1又AB匸平面ADC，EDu平面ADC，所以AB//平面ADC.1111118?證明：(1)因?yàn)镃C丄平面ABC，又ABu平面ABC，所以CC丄AB.11由條件ZBAC=90，即AC丄AB，且ACCC=C，所以AB丄平面ACCA.111o又ACu平面ACCA，所以AB丄AC.pi ii i(2)MN〃平面ACCA，證明如下：ii設(shè)AC的中點(diǎn)為D，連接DN，AD.i因?yàn)镈，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以DN=2AB.又AM=丄AB，AB=AB，所以AM=DN.i2iiii i所以四邊形ADNM是平行四邊形?所以AD〃MN.ii因?yàn)锳Du平面ACCA，MNu平面ACCA，所以MN〃平面ACCA.i ii ii ii

19.（1）證明：因?yàn)樵谡襟wAC［中，AA］丄平面ABCD,而B(niǎo)Du平面ABCD,所以AA】丄BD.11又因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，AC丄BD,所以BD丄平面CAAC.111111111111又因?yàn)锽Du平面CBR，所以平面CAAC丄平面CBD.（2）最小值為3込.如圖，將正方體六個(gè)面展開(kāi)成平面圖形，從圖中F到F,兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，而且依次經(jīng)過(guò)棱BB1，B1C1，CD，DD,DA上的中點(diǎn)，所求的最小值為3\込.11120解：（1）連結(jié)BD，AC,設(shè)BD與AC交于O.由底面是菱形，得BD丄AC.SB=SD，O為BD中點(diǎn)，BD丄SO.又ACnSO二O，.BD丄面SAC.又AEu面SAC，.BD丄AE.（2）取SC的中點(diǎn)F,連結(jié)OF,OE,???SA//OF..OF與平面EDB所成的角就是SA與平面EDB所成的角.SC丄平面BED,?FE丄面BED,E為垂足，?/EOF為所求角.在等腰ACSB中，SC=BC=2a,SB=\2aSC-BE二SB-CH，所以在RtSC-BE二SB-CH，所以在RtABES中,SE?BE=2a二—a, ?EF=2所以1a.2EF1EF1在RtAFEO中,OF=心sin/EOF=OF=2由題意，得BH=20^3兀即直線(xiàn)SA與平面BED所成角為621.解：（1）設(shè)厶ABC的重心為H，連結(jié)OH.設(shè)細(xì)鋼管上下兩段之比為九.已知凳子高度為30.則OH=浮.1+入因?yàn)楣?jié)點(diǎn)O與凳面三角形ABC重心的連線(xiàn)與地面垂直，且凳面與地面平行.所以/OBH就是OB與平面ABC所成的角，亦即ZOBH=45-因?yàn)锽H=OH，所以答=竽，解得"9一&?叫即節(jié)點(diǎn)O分細(xì)鋼管上下兩段的比值約為0.63.（2）設(shè)/B=120,所以AB=BC=24,AC=24耳；3.

設(shè)厶ABC的重心為H，則BH=&AH=8訂,由節(jié)點(diǎn)O分細(xì)鋼管上下兩段之比為2:3，可知OH=12.設(shè)過(guò)點(diǎn)AfBfC的細(xì)鋼管分別為AA,BB',CC'，則AA'=CC'=5OA=汽OH2+AH2=10J37沁60.8，BB'=5OB=5JOH2