空間點(diǎn)直線平面

第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系時(shí)間：45分鐘分值：75分一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）1．1．（2013?安徽卷）在下列命題中，不是公理的是（A?平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C?如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線解析B是公理2,C是公理1,D是公理3,只有A不是公理.答案A2?已知平面外一點(diǎn)P和平面內(nèi)不共線三點(diǎn)A,B,C,A,B1,C分別在PA,PB,PC上，若延長A'B1,B^C,AC與平面分別交于D,E,F三點(diǎn),則D,E,F三點(diǎn)（）A?成鈍角三角形 B?成銳角三角形C?成直角三角形 D?在一條直線上解析D,E,F為已知平面與平面A'B'C'的公共點(diǎn)，D,E,F共線.答案D3?已知空間中有不共線的三條線段AB、BC和CD,且ZABC=ZBCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是（）A?AB〃CD B?AB與CD異面C?AB與CD相交 D?以上情況均有可能解析若三條線段共面,則直線AB與CD相交或平行；若不共面,則直線AB與CD是異面直線,故選D.答案D若直線l不平行于平面弘且1?弘貝胚）A.a內(nèi)的所有直線與l異面B?a內(nèi)不存在與l平行的直線a內(nèi)存在唯一的直線與l平行a內(nèi)的直線與l都相交解析依題意，直線lAa=A（如圖）.a內(nèi)的直線若經(jīng)過點(diǎn)A,則與直線l相交;若不經(jīng)過點(diǎn)A,則與直線l是異面直線，故選B?答案B（2014?桂林中學(xué)上學(xué)期期中）下列四個(gè)圖是正方體或正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的圖的個(gè)數(shù)為（）A.1 B?2C?3 D?4解析只有第四個(gè)圖中的四點(diǎn)不共面.答案A（2013?江西卷）如下圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且A〃〃仞，正方體的六個(gè)面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m,"，那么m+n=（）A?8 B.9C?10 D.11解析如下圖,???CE?平面ABPQ,CE〃平面A1B1P1Q1，ACE與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交，m=4;TEF〃平面BPP1B1,且EF〃平面AQQ1A1,AEF與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交，n=4,故m+n=8,選A.答案A二、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）7?設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a,b表示兩條直線，a,p表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題,其中正確命題的序號(hào)是 .P^a,P^a?a?aa°b=P,b?fi?a?pa//b,a?a,PWb,P^a?b?a?aQfi=b,P^a,PWfilPWb解析當(dāng)an?=P時(shí)，P^a,P^a,但a?a,???①錯(cuò)；aO0=P時(shí)，②錯(cuò)；如圖，?：a〃b,PEb,：?P?a,：?由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面a,又a〃b,由a與b確定唯一平面7,但y經(jīng)過直線a與點(diǎn)P,^Y與a重合，：.bEa,故③正確；兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故④正確.答案③④8?在空間中，若四點(diǎn)不共面，貝y這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線；若兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線是異面直線.以上兩個(gè)命題中，逆命題為真命題的是 （把符合要求的命題序號(hào)都填上）.解析對(duì)于①可舉反例，如AB〃CD,A,B,C,D沒有三點(diǎn)共線，但A,B,C,D共面?對(duì)于②由異面直線定義知正確，故填②.答案②9?（2013?安徽卷）如圖，正方體^CD—ABC1D1的棱長為1，P為BC的中點(diǎn),Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S?則下列命題正確的是 （寫出所有正確命題的編號(hào)）.①當(dāng)0vCQv時(shí)，S為四邊形②當(dāng)CQ=時(shí)，S為等腰梯形當(dāng)00=時(shí)，S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R=當(dāng)VCQV1時(shí)，S為六邊形⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為解析對(duì)于①②，如圖1,因?yàn)檎襟wABCD—ABCD的棱長為1,當(dāng)CQ=時(shí),1111PQ=，這時(shí)截面S交棱DD1于DVAP=D1Q=，且PQ^AD^截面S為等腰梯形，當(dāng)CQv時(shí)，截面S與棱DD1相交，截面S為四邊形，故①②正確；對(duì)于③④⑤，如圖2,延長QR交DD1的延長線于N點(diǎn)，連接AN交A1D1于M,取AD中點(diǎn)G,作GH〃PQ交DD1于H點(diǎn)，可得GH//AN且GH=AN,設(shè)CQ=f(0WfW1)，則DN=2t,ND=2t—1,==，當(dāng)￡=時(shí)，=，可得CR=，故③正確，當(dāng)<<1時(shí)，S為五邊形，故④錯(cuò)誤，當(dāng)t=1時(shí)，M為A1D1的中點(diǎn)，S為菱形PCMA，AC=,MP=,S的面積為?AC]?MP=，故⑤正確.答案①②③⑤三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)10.已知正方體ABCD—ABCD中，E,F分別為D￡,C"的中點(diǎn),ACQBD=P,A1C1QEF=Q.求證：D,B,F,E四點(diǎn)共面；⑵若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線.證明(1)如圖所示，因?yàn)镋F是△D1B1C1的中位線，所以EF/BD?在正方體AC1中，BD/BD，所以EF/BD.所以EF,BD確定一個(gè)平面，即D,B,F,E四點(diǎn)共面.在正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1確定的平面為a,又設(shè)平面BDEF為幾因?yàn)镼WAC]，所以QWa?又QEEF，所以QE0?則Q是a與卩的公共點(diǎn)，同理，P點(diǎn)也是a與p的公共點(diǎn)?所以aC0=PQ?又A1Cnp=R，所以R^AC,RGa且RWp?則RGPQ,故P,Q,R三點(diǎn)共線.已知空間四邊形ABCD中，AB=CD=3,E,F分別是BC,AD上的點(diǎn)，并且BEEC=AFFD= ,EF=，求AB和CD所成角的余弦值.TOC\o"1-5"\h\z人 匚 12 —解如圖所示，在BD上取點(diǎn)G,使BGGD= ，連接EG,FG.亠，12在ABCD中，???==,:?EG〃CD，且GECD= ,1 3同理FG〃AB,且FGAB= ,2 3:.EG與FG所成的角即為AB與CD所成的角.在ABCD中，???EG〃CD,CD=3,且EGCD= ,???EG=1?八 亠1 3在AABD中，?FG〃AB,AB=3,FGAB= ,???FG=2?在AFFG中，EG=1,FG=2,EF=,由余弦定理得cosNEGF==—，??異面直線所成角0的范圍是0°v0W90°,???cos〃M0?.AB與CD所成角的余弦值為.(2013?湖南卷)如圖，在直棱柱ABC-ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=,AA]=3,D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng).證明：AD丄C1E；當(dāng)異面直線AC,C1E所成的角為60。時(shí)，求三棱錐C—ABE的體積.解(I)證明：因?yàn)锳B=AC,D是BC的中點(diǎn)，所以AD丄BC?①又在直三棱柱ABC—ABC^中，BB]丄平面ABC,而AD?平面ABC,所以AD丄BB]?②由①，②得AD丄平面BB1C1C.由點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)，得CE?平面BBCF，所以AD丄CE?(II)因?yàn)锳C〃AC]，