立體幾何和圓錐曲線的珠聯(lián)壁合

立體幾何和圓錐曲線的珠聯(lián)壁合之一一空間軌跡問題【考點解析】立體幾何中的軌跡問題因立意新穎，綜合性強(qiáng)，而倍受高考命題者的青睞。正方體是空間圖形中既簡單熟悉、又重要的幾何體，它具有豐富的內(nèi)涵，而在正方體中所涉及的軌跡問題，更是別具一格。求解此類問題的的關(guān)鍵是要把相關(guān)的平行與垂直的位置關(guān)系,以及距離與角度的數(shù)量關(guān)系化歸轉(zhuǎn)化為平面問題來解決。通常有以下三種解題策略。一、阿波羅尼法2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家最先研究圓錐曲線，并獲得了大量的成果。古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到與圓錐的母線平行時，得到的是拋物線；繼續(xù)傾斜得到的是雙曲線。記錐軸為m,母線為1,切割圓錐的平面為弘令m與l所成的軸線角為m與平面a所成路的軸面角為巾，則當(dāng)0三巾V。時，所截得的曲線是雙曲線；當(dāng)巾=巾=。時，所截得的曲線是拋物線；當(dāng)。＜巾，所截得的曲線是雙曲線.點A的軌跡為(A?圓或橢圓點A的軌跡為(A?圓或橢圓C.橢圓或雙曲線答案D)B.拋物線或雙曲線D.以上均有可能例1.(1)如圖，AB是平面a的斜線段，點A是斜足，若點P在平面a內(nèi)運動，且△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡為()A?圓 B.橢圓C.一條直線 D.兩條平行線答案B>-1>-1解析：'：AB的長是定的，???S伽三IAB|Xdp1為定值，即點P到AB的距離dp-1為定值?化動點P的軌跡是平面a>-1>-1(2)如圖，設(shè)B，C為定點，且均不在平面a上，動點A在平面a上，且sinZABC=2，則動B.一個圓B.一個圓D.雙曲線一支1 n解析:■??sinZABC=2，?AB和BC的夾角是$，n n nn即軸線角。為300，設(shè)BC與平面a所成的軸面角為巾，則0三巾勺化。三巾＜6，巾=6，6＜n巾三2均有可能，故選D.【變式1】平面a的斜線AB交a點B且與a成￡角，平面a內(nèi)一動點C滿足ZBAC=|,則動點C的軌跡為()A.—條直線C.一個橢圓答案C解析：TAB是圓錐的軸，AC是圓錐的母線，動點C滿足ZBAC=n，?軸線角。為6，°??平面a的斜線AB交a

???巾＞e,???動點C的軌跡為橢圓n【變式2】平面a的斜線AB交a點B且與a成。角，平面a內(nèi)一動點C滿足ZBAC=g，若動點C的軌跡為橢圓，則。的取值范圍 nn答案6＜e＜2解析：軸線角為6軸面角為e,???動點C的軌跡為橢圓，???e＞n,又AB是平面a的斜線,例2.（1）已知點P在正方體ABCD-AxB2C3D4的側(cè)面BBCC中，且滿足ZPD{D=ZBD1D，則動點P軌跡所在曲線為（ ）A?圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線答案C解析：??軸線角e=ZPD1D=ZBD1D，?tane2，?D&〃面BB1C1C，A軸面角巾=0,???巾＜e，?動點P軌跡所在曲線為雙曲線.【變式1】若改成P在平面ABC1D1上，動點的軌跡是什么？答案C _解析：???軸線角e=ZPD1D=ZBD1D，Atane=邁，?D1D與面ABC1D1所成的軸面角巾滿足tan巾=1,??.巾＜e,.??動點P軌跡所在曲線為雙曲線.【變式2】你還可以怎么出題?還可以變軸，如將條件置換為ZPD1C=ZBD1C，此時軸線角e滿足tane其，此時DC與面BB1C1C所成的軸面角巾滿足tan巾=1,??.巾＞e,.??動點P軌跡所在曲線為橢圓.二、定義法運用解析幾何中曲線定義，來識別動點軌跡的曲線類型.例3（1在正方體ABCD-A1B2C3D4中，點P在面A1BCD1內(nèi)運動，且點P到直線AB1和BC的距離相等，則動點P的軌跡為（ ）A?圓的一部分 B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分答案D解析：設(shè)AB1HA1B=O,易證AB］丄面A1BCD1，:.AB］丄0戶，??.點P到直線AB1的距離為OPI,?OPI=dpBC，且定點O不在定直線BC上，???動點P的軌跡為拋物線的一部分【變式1】若將'P到直線AB1和BC的距離相等”改為'P到直線AB1和BC的距離之比為2”，則動點P的軌跡所在的曲線 解析：由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得該曲線的離心率是1故動點P的軌跡是橢圓的一部分.【變式2】若將'P到直線AB1和BC的距離相等”改為'P到直線AB1和BC的距離之比為2”，則動點P的軌跡所在的曲線是解析：由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得該曲線的離心率是2,故動點P的軌跡是雙曲線的一部分.

例3(2)如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是CC「ClDl，DD「DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M滿足 時，有MN〃平面B]BDD].TOC\o"1-5"\h\z⑶正方體ABCD—A1B1C1D1中，P在側(cè)面BCC?及其邊界上運動，且總保持APIBD，則動點P的軌跡是 .(4)正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱A1B1，BC上的動點，且A、E=BF,P為EF的中點，則點P的軌跡 .⑸已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，在正方體的側(cè)面BCCQ上到點A距離為＜2的點的集合形成一條曲線，那么這條曲線的形狀 ，它的長度 .A1%C1G1二:、H/NB(2)CC(3)A1%C1G1二:、H/NB(2)CC(3)C1C(4)1C1C(5)若將在正方體的側(cè)面BCC1B1上到點A距離為的點的集合”改為“在正方體表面上與點A距離為的點的集合”那么這條曲線的形狀又是 ，它的長度又是(6)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為6,長為4的線段MN點一個端點M在DD1上運動，另一個端點N在底面ABCD上運動，則MN的中點P的軌跡與正方體的面所圍成的幾何體的體積為 課后作業(yè)1、如圖，在正四棱錐S-ABCD中,E是BC的中點，P點在側(cè)面ASCD內(nèi)及其邊界上運動,并且總是保持PE丄AC.則動點P的軌跡與厶SCD組成的相關(guān)圖形最有可能的是CCCC2?若三棱錐A-BCD側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與AABC組成圖形可能是( )A.B.A.B.3.四棱錐P-ABCD底面為正方形，側(cè)面PAD為等邊三角形，且側(cè)面PAD丄底面ABCD，點M在底面正方形ABCD內(nèi)運動，且滿足MP=MC,則點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡一定是（）4.在棱長為4的正方體ABCD-ABCD中，E,F分別是AD,AD的中點，長為2的iiii ii線段MN的一個端點M在線段EF上運動，另一個端點N在底面ABCD上運動，則1111D.線段MN的中點P的軌跡（曲面）與二面角A-A1D1-B1所圍成的幾何體的體積為D.C.3四棱錐P-ABCD中，AD丄面PAB,BC丄面PAB,底面ABCD為梯形，AD=4,BC=8,AB=6,ZAPD=ZCPB，滿足上述條件的四棱錐的頂點P的軌跡