2022年高考數(shù)學(xué)解答題題型解析及專項(xiàng)訓(xùn)練

2022年高考數(shù)學(xué)解笞題題型完美透析+專項(xiàng)訓(xùn)縹

目錄

專散。匹數(shù)身導(dǎo)熬徐合同敢（率敢選折，................................................................2

AA耍型一「利用易激研究而粼的傲質(zhì)..............................................................2

AA駁型二，利用導(dǎo)劇研究而熬的率直或曲微去點(diǎn)問(wèn)您..............................................4

AA數(shù)型三，利用導(dǎo)超研究承署式問(wèn)題..............................................................6

專散。2三角備數(shù)馬4■面向建保合問(wèn)我.（答您這折）.....................................................12

AA駁型一，三角備耙的囹彖％植質(zhì)................................................................13

AA曼型二解三角形..............................................................................14

AA駁型三三角備劇后不面向量的保合...........................................................15

專版砧照列的稼合問(wèn)題（率駁透折）..................................................................20

AA駁型一照列的逐項(xiàng)易求和....................................................................20

AA曼型二超列與匹超的保合同級(jí)...............................................................22

AA駁型三泵列名東塔式的徐合問(wèn)您.............................................................24

專題W點(diǎn)體幾何嫁合冏耍（率觀選折）...............................................................28

AA題型一空間點(diǎn)、殘、面的佞置關(guān)系女安同角的奸點(diǎn)..........................................28

AA敢型二手面囹形折重感室間幾何體的問(wèn)電....................................................31

AA莖型三長(zhǎng)*面位置關(guān)條中的探索微間蹶......................................................33

專蛻萬(wàn)國(guó)做曲欲徐合問(wèn)題（率要選析）................................................................43

AA題型一圓雄曲裁中的景伍間散...............................................................43

AA敢型二囪皺曲孩中的定點(diǎn)與定值冏致........................................................45

AA莖型三曲雄曲依中的范囪問(wèn)奧...............................................................48

AA強(qiáng)型四圖飲曲彼中的探索鞋間敢.............................................................50

專敢勿概率易稅?H■嫁合同驗(yàn)（率致速折）..............................................................55

AA散型一有見(jiàn)就摩根型的奸算..................................................................56

AA題型二褥微型戰(zhàn)機(jī)變量的今布列、物依■&方麥...............................................57

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AA題型三住串號(hào)饒奸的嫁合應(yīng)用59

與題口備熬導(dǎo)導(dǎo)敷稼合冏題(舂題史新)

【駁型解稼】

題型特點(diǎn)命題趨勢(shì)

1.極值、最值、導(dǎo)數(shù)幾何意義及單1.以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為解題工具，主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、

調(diào)性的綜合問(wèn)題.最值問(wèn)題的求法，以及參數(shù)的取值范圍問(wèn)題.

2.利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的綜合問(wèn)2.不等式的證明問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，常與不等式、二次函數(shù)

題.等相聯(lián)系.問(wèn)題的解決通常采用構(gòu)造新函數(shù)的方法.

AAq型一.，利用導(dǎo)核研究備核的植質(zhì)

以含參數(shù)的函數(shù)為載體，結(jié)合具體函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究函數(shù)的性質(zhì)，是高考的熱點(diǎn).主要考查：

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的極值或最值：(3)利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，求參數(shù)

的范圍.

9

【例1】已知函數(shù)f(x)=ax-4-31nx,其中a為常數(shù).

x

2/I]]F331

(1)當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)[3,處的切線的斜率為1時(shí)，求函數(shù)f(x)在匕’」上的最小值；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上既有極大值又有極小值，求a的取值范圍.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】⑴fU)=a+4---由/0=a+2_2=i可得a=l,即f(x)=x—2—31nx,f(舊=1+三

，*22xy

3

33%+2_(%—1)(%—2)業(yè)=[3

一=----;---=--------;-------，當(dāng)天￡|_2.

XXX

X[IT2⑵3]

/(X)一0+

f(x)單調(diào)遞減1—31n2單調(diào)遞增

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一，3

從而在|_2」上，f(x)有最小值，且最小值為f(2)=l-31n2.

(2)r(x)=a+§—3=空二學(xué)出(x>0),由題設(shè)可得方程af—3x+2=0有兩個(gè)不等的正實(shí)根.不妨設(shè)這

XXX

「4=9—840,

解得0<a〈2故所求a的取值范圍為ti

兩個(gè)根為荀，x2,且MW%，則

【突破鍬I精./】已知函數(shù)/'(x)=ln*+a(l—x).

(1)討論/,(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a—2時(shí)，求a的取值范圍.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(Df(x)的定義域?yàn)?0,+8),/(x)=,一4若aWO,則/(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上單

I時(shí),f(x)<0.所以f(x)在心力上單調(diào)遞

調(diào)遞增.若a>0,則當(dāng)之時(shí),f'(x)>0；當(dāng)

增，在匕'"J上單調(diào)遞減.

(2)由(1)知，當(dāng)aWO時(shí)，f(x)在(0,+8)上無(wú)最大值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在處取得最大值，最大值為

a

=—Ina+a—1.因此fLJ>2a—2等價(jià)于Ina+a—1<0.令g(a)=Ina+a—1,則

g(a)在(0,+8)上單調(diào)遞增，g(l)=O,于是，當(dāng)0〈水1時(shí)，，g(a)<0;當(dāng)於1時(shí)，g(a)>0.因此，a的取值范

圍是(0,1).

［突破引煉2\(2021?黃岡聯(lián)考)己知函數(shù)f(x)=/+alnx.

(1)當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若g(x)=F(x)+±在［1,+8)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】見(jiàn)解析

2

【解析】(1)/(x)=2x-±.令f(x)>0,得x>l；令f(x)<0,得0<xVl.所以/Xx)的單調(diào)遞增區(qū)間

是(1,+8),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).

9

(2)①若函數(shù)展x)在［1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，貝ijg'(x)》0在［1,+8)上恒成立，即心二2六在［1,

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2

+8)上恒成立.設(shè)0(x)=4-2f，因?yàn)椤?入)在［1,+8)上單調(diào)遞減，所以0(x)%.=。(1)=0,所以a20.

②若函數(shù)g(x)在［1,+8)上是單調(diào)減函數(shù)，則夕(x)W0在［1,+8)上恒成立，無(wú)解.綜上，實(shí)數(shù)a的

取值范圍為［0,+°°).

AA魅逐二：利用導(dǎo)核研究善檄的本克我曲線*點(diǎn)問(wèn)題

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程交匯是近年命題的熱點(diǎn)，常轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，研究函數(shù)的極(最)值的正

負(fù).主要考查：(D確定函數(shù)的零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)由函數(shù)的零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)的情況求參數(shù)的取值

范圍.

【例2】(全國(guó)卷II)已知函數(shù)f(x)=e*—a/

(1)若a=l,證明：當(dāng)x>0時(shí)，

(2)若f(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】⑴證明:當(dāng)a=l時(shí)，等價(jià)于(V+De--lWO.設(shè)函數(shù)等x)=W+l)er-l,則解(x)

=一(V—2x+l)e~*=—(x—D'er.當(dāng)時(shí)，g'(x)〈0,所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減.而g(o)=o,

故當(dāng)x20時(shí)，g(x)W0,即f(x)21.

(2)設(shè)函數(shù)//(x)=l—F(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)力(公在(0,十8)只有一個(gè)零點(diǎn).

(1)當(dāng)2W0時(shí)，/?(x)〉0,力(x)沒(méi)有零點(diǎn)；

(過(guò))當(dāng)於0時(shí),h'(x)=ax(x—2)e<

當(dāng)xd(0,2)時(shí)，h'(x)<0；當(dāng)xe(2,+8)時(shí)，h'(A-)>0.

所以//(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+8)單調(diào)遞增.

故力(2)=1—詈是方(x)在(0,+8)的最小值.

①若方(2)>0,即a〈匕，爾x)在(0,+8)沒(méi)有零點(diǎn);

4

②若方(2)=0,即a=匕，/?(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn);

③若人(2)<0,即2>-,由于2(0)=1,所以A(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn)，由(1)知當(dāng)x>0時(shí)，e>>/,

所以爾4a)=1

故/;(x)在(2,4a)也有一個(gè)零點(diǎn)，因此/?(x)在(0,+8)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，f(x)在(0,+8)只有-?個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a——.

4

【突破制稱§】已知二次函數(shù)f(x)的最小值為-4,且關(guān)于煙不等式/U)W0的解集為3-1WXW3}.

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(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)g(x)=U^--41nx的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

X

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(D因?yàn)?'(X)是二次函數(shù)，且關(guān)于X的不等式/1(x)WO的解集為{x|-lWxW3,XGR},所以設(shè)f(x)

=a(x+1)(x—3)=a/-2ax—3a,且a>0.所以f(x)1111n=F(1)=-4a=-4,a=1.故函數(shù)f(x)的解析式為

f(x)=/—2X—3.

v2—9v—Qq

(2)由(1)知屋x)=-41nx=x一3-41nx—2,

XX

所以g(x)的定義域?yàn)?0,+8),g'U)=1+43--4=(y—1\(x—Q)—，令g'(x)=o,得x,=l,x，=

rxr

3.

當(dāng)X變化時(shí)，g'(x),g(x)的取值變化情況如下表:

X(0,1)1(1,3)3(3,+8)

g‘(X)+0一0+

g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

當(dāng)0<x<3時(shí)，g(x)Wg(l)=-4<0,

當(dāng)x>3時(shí)，g{e}=e--；-20-2>25-1-22=9>0,

e

又因?yàn)間(x)在(3,+8)上單調(diào)遞增，因而g(x)在(3,+8)上只有1個(gè)零點(diǎn)，故g(x)僅有1個(gè)零點(diǎn).

【突破例稱“】(2021?黃岡起點(diǎn)考試)已知函數(shù)/'(x)=/—21nx,力(x)=f—x+a.

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)設(shè)函數(shù)Mx)=f(x)-/?(x),若函數(shù)內(nèi)x)在［1,3］上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】見(jiàn)解析

2

【解析】⑴由題意知f(X)=2X-AX>0,令f(X)=0,得x=l.f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表

所示:

X(0,1)1(1,+°0)

/(X)一0+

f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以/"(X)的極小值為F(l)=l,無(wú)極大值.

2

(2)因?yàn)?(x)=F(x)—Z;(x)=-21nx+x—a,所以％,(x)=---Fl,x>0,令k'(x)=0,得x=2,當(dāng)x

x

W［1,2)時(shí),k'U)<0；當(dāng)xW⑵3］時(shí),X(x)>0.故4(x)在［1,2)上單調(diào)遞減，在(2,3］上單調(diào)遞增，所

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k(1))0,Wl,

以4(2)<0,即a>2-21n2,所以2—21n2Va<3—21n3.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2—21n

k(320,—21n3,

2,3-21n3],

AA做型三利用導(dǎo)核研宛系塔式冏墓

導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用問(wèn)題是每年高考的必考內(nèi)容，難度較大.主要考查證明不等式和不等式成立(恒成立)

問(wèn)題.

(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法

可以從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合已有的知識(shí)利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，再借助

導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明，其一般步驟是：構(gòu)造可導(dǎo)

函數(shù)一研究單調(diào)性或最值一得出不等關(guān)系整理得出結(jié)論.

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出

相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值

問(wèn)題.

(3)不等式能成立(恒成立)問(wèn)題常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法

①f(x)恒成立=f(x)*n》a,f(x)2a能成立of(x)皿2a；

②f(x)Wb恒成立=「(x)",xWb,f(x)Wb能成立cf(恒MnWb；

③f(x)>g(x)恒成立F{x)=f(x)-g(x)OF(x)min>0；

④VX|GM,VX2￡N,f(X1)>g(x2)of(x)mi?>g(x)

⑤VX|CM,3X2SN,f(x()>g(x2)*>f(x)mi?>g(x)min；

⑥3x2eN,f(X,)>g(x2)?11(x)?1M>g(x)lni?；

?3x,eM,VX2￡N,f(x()>g(x2)?>f(x)?x>g(x)MX.

【例3】(浙江卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=4-Inx.若/U)在矛=①，%(為W而)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：

+/U)>8-81n2.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】證明函數(shù)/'(X)的導(dǎo)函數(shù)f(x)=-!廣一±由F(*)=/，(蒞)得二尸一一,，因?yàn)榭词繉O

2yjxx2yxi%i2\lx2%2

所以5+十=；由基本不等式得^\「京=5+522%蒜.因?yàn)椋?物所以x4>256.由題意得/(凡)+

—InIn—In(%i%2)?設(shè)g(x)=Ri—Inx,

則g'(x)=—(V%—4).

4x

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X(0,16)16(16,+8)

g'(X)一0+

g(x)單調(diào)遞減2-41n2單調(diào)遞增

所以g(x)在［256,+8)上單調(diào)遞增.故氯乂*2)>€(256)=8—81n2,即f(%)+/1(%)>8—8In2.

【突破刑稱5】(四川卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)=a*—a-lnx,

g(x}=---，其中a￡R,e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

xe

(1)討論/tv)的單調(diào)性；

(2)證明:當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>0；

(3)證明：當(dāng)時(shí)，f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+8)恒成立.

2

【答案】見(jiàn)解析

1一1

【解析】⑴由題意得F(x)=2ax—

XX

當(dāng)aWO時(shí),f'(x)<0,F(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.

當(dāng)a>0時(shí)，由(x)=0,得x=~^=,

72a

當(dāng)而)時(shí)，f(A-XO,/'(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)XG(弧，+］時(shí),f(x)>0,/Xx)單調(diào)遞增.

⑵證明:令s(x)=e*f—x,則s'(x)=ex-1—1.

當(dāng)x>l時(shí)，sf(x)>0,s(x)遞增，則s(x)>s(l)=0,所以e'f〉x,

從而g(x)=-一一二>0.

xex

(3)證明：當(dāng)時(shí)，令/7(x)=F(x)—g(x)(x21).

2

7HL)I\o1I11.11f—2x+l、f—2x+l、c

當(dāng)114x>l時(shí)，h(x)—2ax---1—-e>x----1--;—=----；---->----；--->0.

xxxxxxx

因此，從X)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)榱?1)=0,所以當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=f(x)-g(x)>0,

即f(x)>g(x)恒成立.

【例4】(2021?蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)=aV+bx+xlnx的圖象在(1,/W)處的切線方程為3x—y—2

=0.

(1)求實(shí)數(shù)a,6的值；

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(2)設(shè)g(x)=#—x,若％GZ,且A(x—2)Vf(x)—g(x)對(duì)任意的x>2恒成立，求〃的最大值.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(l)f'(x)=2ax+6+l+lnx,所以2a+6+1=3且a+6=1,解得a=l,6=0.

⑵由(1)與題意知/⑺——二二+劃11x對(duì)任意的*>2恒成立，設(shè)爾x)=世里=(x>2),則h'(x)

%—2x~2x~2

x—4—21nx2x—2

=2,令0(x)=x-4—21nx(x>2),則而'(x)=1—±=二三>0,所以函數(shù)m(x)為(2,+8)上的

x-22xx

增函數(shù).因?yàn)榧?8)=4-21n8<4-21ne2=4-4=0,w(10)=6-21n10>6-21ne3=6-6=0,所以函數(shù)

w(x)在(8,10)上有唯一零點(diǎn)的，即有x。一4—21nXo=O成立，故當(dāng)2<Kxo時(shí)，m(x)<0,即/?'(x)<0；當(dāng)為<x

時(shí)，z?(x)>0,即/?'(x)〉0,所以函數(shù)力(x)在(2,蜀)上單調(diào)遞減，在(X”+8)上單調(diào)遞增，所以方(X)M,“=

fl+^1

方(x°)=%+%ln——工」=也，所以爾國(guó)，因?yàn)樗筗(8,10),所以為e(4,5),又"WZ,所以在的最

XQ—2Ao—2222

大值為4.

［突破制在6\(2021?貴州適應(yīng)性考試)已知函數(shù)F(x)=ax-e'(aGR),g(x).

X

(1)求函數(shù)/1(*)的單調(diào)區(qū)間；

(2)存在局6(0,+8),使不等式f(x)Wg(x)—e、成立，求a的取值范圍.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)因?yàn)?(x)=a-e',xCR.

當(dāng)aWO時(shí)，f'(%)<0,f(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，令/''(x)=0得x=lna.

由f(x)>0得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,Ina)：

由(x)〈。得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為Qna,+-).

(2)因?yàn)榇嬖?e(0,+8),使不等式/'(x)Wg(x)—e、成立，則axW”一，即aW@f.設(shè)力(x)=生，則

XXX

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/￡x,

由H(x)=--半"，令力'(x)=0,則x=4.

x

當(dāng)x在區(qū)間(0,+8)內(nèi)變化時(shí)，h’(x),力(x)的變化情況如下表:

X(0,y/e)Ne(T\]e,+00)

力'(X)+0一

極大值上

力(X)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

2e

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由上表可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)方(x)有極大值，即最大值為工.所以a的取值范圍是卜8'

2e

【專項(xiàng)推可】

1.(2021?河北武邑中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)=2alnxT

(1)若a=2,求函數(shù)/"(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(D)處的切線方程；

(2)若a>0,判斷函數(shù)f(x)在定義域上是否存在最大值或最小值，若存在，求出函數(shù)f(x)的最大值或最小

值.

【答案】見(jiàn)解析

4

【解析】(1)當(dāng)d=2時(shí)，A%)=41nx-Zr(%)=--2%,￡(1)=2,￡(1)=-1,所以函數(shù)f(x)的圖象

x

在點(diǎn)(1,〃1))處的切線方程為y+l=2(x—l),即2x—y—3=0.

/y/、2c?—2(y—a)

(2)t(x)=---2x=------------,x>0.

xx

令f(x)=0,由2>0,解得屈=熊，X=-5(舍去).

1

當(dāng)x在(0,+8)上變化時(shí)，f(%),F(x)的變化情況如下表.

X(0,7a)7a?a,+00)

f'(x)+0—

f(x)單調(diào)遞增alna-a單調(diào)遞減

所以函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,+8)上有最大值=alna—a,無(wú)最小值.

2.(全國(guó)卷II)設(shè)函數(shù)f(x)=(l—x2)「

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)xNO時(shí)，f{x)ax+1,求a的取值范圍.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(l)f'(x)=(1—2x一丁)/令/(x)=0,得x=-1—偵或x=-1+也.當(dāng)(—8,-1一?

時(shí)，f(xXO；當(dāng)xe(一l—/，-1+地)時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)xe(—l+3，+8)時(shí)，f(x)〈0.所以f(x)

在(一8,―一也)，(-1+/，+8)上單調(diào)遞減，在(_］_3，-1+S)上單調(diào)遞增.

(2)F(x)=(1+x)(1—x)e'.當(dāng)@21時(shí)，設(shè)函數(shù)力(才)=(1—x)e'，h'(x)=—xe<0(x>0),因此力(x)在［0,

+8)上單調(diào)遞減，而力(0)=1,故力(x)Wl,所以/'(x)=(x+l)//(x)Wx+lWax+1.當(dāng)0<水1時(shí)，設(shè)函數(shù)

g(x)=e*—x—1,g'(x)=6、-l>0(x>0),所以g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，而g(0)=0,故e、2x+L當(dāng)

0<Kl時(shí)、f(x)>(l—x)(l+x))(1—x)(l+x)2—ax—l=x(l—“一x—f),取%0=~—~則為￡(0,1),

2

2

(1—x0)(1+AO)—1=0,故F(Xo)>dAo+l.當(dāng)aWO時(shí)，取得=貼~則/￡((),1),『(得)>(1—x)(1

+%)2=12刈+1.綜上，a的取值范圍是［1,+8).

2022年高考數(shù)學(xué)解笞題題型完美透析+專項(xiàng)訓(xùn)練

3.已知函數(shù)/'(*)=alnx(a>0),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若過(guò)點(diǎn)前2,f(2))的切線斜率為2,求實(shí)數(shù)a的值；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，求證：f(x)'I】J；

(3)若在區(qū)間(1,e)上1-xe:<0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】⑴由題意得〃3=色，所以F⑵=￡=2,所以a=4.

x2

(2)證明：令g(x)=IJ(x>0),則g'(x)=a［xx).

令g'(x)>0,即￡x］>0,解得x>l；令g'(x)<0,解得O〈x〈l.所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,

+8)上單調(diào)遞增.

所以g(x)的最小值為屋1)=0,所以［(x)》］1

I1v-1v-1v-1ln^-l+-

⑶由題意可知e"<xe",化簡(jiǎn)得」<lnx.又xd(1,e),所以a>」.令力(x)=二',則/?'(x)=________i

aInxInx(inx)2

由(2)知，當(dāng)xG(l,e)時(shí)，lnx—1+，>(),所以方'(x)>0,即/?(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，所以/?(x)〈/?(e)

X

=e-1.所以a^e—1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為［e—1,+°°).

4.(2021?重慶一模)設(shè)函數(shù)F(x)=lnx,g(x)=ax+2—c(a,b,c￡R).

x

(1)當(dāng)。=0時(shí);若函數(shù)F(x)與g(x)的圖像在x=l處有相同的切線，求a,。的值；

⑵當(dāng)6=3—a時(shí)，若對(duì)任意及￡(1,+8)和任意在(0,3),總存在不相等的正實(shí)數(shù)孫小使得g(x)=

g(xj=f(xj,求C的最小值.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)由f(x)=lnx,得f(l)=0.又F(力=士所以f(1)=1.當(dāng)c=0時(shí)，g(x)=ax+2所以H(x)

XX

=a-々，所以g'⑴=a-A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)與g(x)的圖像在x=1處有相同的切線，所以

r

1

a=一,

2

f'(1)=g'(1),心一6=1,

即，解得’1

/(1)=g(1),L+b=0,b----.

2

3—a

(2)當(dāng)時(shí)，則又6=3—a,設(shè)Z=F(%),則題意可轉(zhuǎn)化為方程axlc=Z(1>0)在(0,

x

2022年高考數(shù)學(xué)解答題題型完美適析+專項(xiàng)訓(xùn)練

+8)上有相異兩實(shí)根為，物即關(guān)于x的方程af—(c+Dx+(3—a)=01>0)在(0,+8)上有相異兩實(shí)

根由，4.

0<a<3,

4=(c+t)J4日(3—a)>0,

0<a<3,

所以，Xi+x=^—>0,

2即，(c+f2)>4a(3—a),

a

3—Qc+t>0,

x}x2=---->0,

所以c>2?a(3—a)一1對(duì)IS(0,+°°),a￡(0,3)恒成立.

=3(當(dāng)且僅當(dāng)a=|時(shí)，等號(hào)成立

所以27a(3-a)W2又因?yàn)橐籺<0,所以

2Ma(3-a)—t的取值范圍是(-8,3),所以c>3.故c的最小值為3.

5.已知函數(shù)F(x)=xlnx—ax,g(x)為/'(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

⑵若函數(shù)F(x)在定義域內(nèi)不單調(diào)且在(2,+8)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(l)g(x)=F(x)=lnx—2ax+l,令g(x)=0,得Inx—2ax+1=0,即lnx=2ax—1,所以a=^——^—

2x

所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)y=a與尸=見(jiàn)金圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

2x

令0(才)=皿貝IJ。'(才)=一粵，所以xG(0,1)時(shí)，O'(x)>0,0(x)單調(diào)遞增；xe(b+~)

2"xI(2x)2

時(shí)，〃(x)〈0,0(x)單調(diào)遞減且0(x)>O,所以x=l時(shí)，O(x)有極大值L

2

作出兩函數(shù)的大致圖象，如圖所示，由圖可知，當(dāng)aJ時(shí)，兩函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)，g(x)無(wú)零點(diǎn);

當(dāng)aWO或a=1時(shí)，兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，g(x)有一個(gè)零點(diǎn)；

2

當(dāng)0<ad時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

2

(2)由(1)知，時(shí)，g(x)無(wú)零點(diǎn)或有一個(gè)零點(diǎn)，g(x)W0,函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故函數(shù)F(x)

2

2022年高考數(shù)學(xué)解答一—型完美透析+專項(xiàng)訓(xùn)練

在定義域內(nèi)不單調(diào)時(shí)，水±f(x)在(2,+8)上單調(diào)遞減時(shí)，/(x)WO,即g(x)WO恒成立.

2

由g(x)WO得a2"*+1,令方(x)=W±l,則424x)恒成立，因?yàn)榱?(x)=一魯，所以xW(2,

2x2x⑵尸

+8)時(shí)，h'UXO,力(x)單調(diào)遞減，〈從2),由a2//(x)恒成立得a》"2),解得a2型方，綜上，

4

?n2+1f|

實(shí)數(shù)a的取值范圍為4'21

6.已知函數(shù)/U)=x3—3/+ax+2,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.

⑴求a的值；

(2)求證：當(dāng)k<l時(shí)，曲線y=F(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)，(x)=3*-6x+a,f(0)=a.曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為尸ax+2.由題設(shè)得

2

__=—2,所以a=l.

a

(2)證明：由(1)知，f(x)=/—3/+x+2.

設(shè)g(x)=F(x)—Ax+2=x：'—3x?+(1—A)%+4.

曲線y=F(x)與直線y=kx—2只有一個(gè)交點(diǎn)，即g(x)=/—3/+(1—〃)x+4有唯一零點(diǎn)，由題設(shè)知1—々>0.

當(dāng)時(shí)，g'(x)=3/—6x+l—〃>0,g(x)單調(diào)遞增，g(—1)=4—1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-8,

0］上有唯?一實(shí)根.

當(dāng)x>0時(shí)，令力(x)=x—ix+4,則g(x)=h(x)+(1—A)x>h(x).

H(x)=3*-6x=3x(x-2),方(才)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,十8)上單調(diào)遞增，所以展才)>力(義)2萬(wàn)(2)

=0.

所以g(x)=0在(0,+8)上沒(méi)有實(shí)根.

綜上，g(x)=0在R上有唯一實(shí)根，即曲線y=f(x)與直線尸Ax—2只有一個(gè)交點(diǎn).

專題"三角備出星平面的受催合冏題(答必透新)

【敢型解裱】

題型特點(diǎn)命題趨勢(shì)

從近幾年的高考試題看，全國(guó)卷交替考查三角函數(shù)、解三角形.該部分

主要是在三角恒等變換的基礎(chǔ)上

解答題是高考得分的基本組成部分，考查的熱點(diǎn)題型有：一是考查三角

融合正、余弦定理，在知識(shí)的交匯

函數(shù)的圖象變換以及單調(diào)性、最值等；二是考查解三角形問(wèn)題；三是考

處命題仍然是命題的關(guān)注點(diǎn).

查三角函數(shù)、解三角形與平面向量的交匯性問(wèn)題.

2022年高考數(shù)學(xué)解笞題題型完美透析+專項(xiàng)訓(xùn)縹

AA題型一：三龜備裁的圖彖和做質(zhì)

1.注意對(duì)基本三角函數(shù)y=sinx,y=cosx的圖象與性質(zhì)的理解與記憶，有關(guān)三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖、圖

象的平移、由圖象求解析式、周期、單調(diào)區(qū)間、最值和奇偶性等問(wèn)題的求解，通常先將給出的函數(shù)轉(zhuǎn)化為y

=/sin(ox+。)的形式，然后利用整體代換的方法求解.

2.解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問(wèn)題的步驟

(1)將/"(X)化為asinx+6cosx的形式.

b

_____I——?sinx~\"?COSq

(2)構(gòu)造F(x)=q，+氏向+6。、才十方2

(3)和角公式逆用，得f(x)=GP%sin(x+。)(其中。為輔助角).

⑷利用f(x)="iNsin(x+。)研究三角函數(shù)的性質(zhì).

(5)反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.

,其中0<°<3.已知/(6)=0.

【例1】(山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)=sinl6J+sinL2J

⑴求3；

(2)將函數(shù)y=F(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移三個(gè)

4

n3n

單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)在L44」上的最小值.

【答案】見(jiàn)解析

3TLT3.

【解析】(1)因?yàn)閒(x)=sinl6j+sinl2j,所以f(x)=coscos3x=—sin

222

inox-迫cos。］「|

1.因?yàn)镴j］=o,所以崟

33X-

3X------COS3X=2J=V3sinlA-eZ.故

2

3=6A+2,AWZ.又OV0V3,所以3=2.

所以山)=保1+十一目=鬲!一哥［因?yàn)?

(2)由(1)得f(x)=，5sinl

n2n

3,3當(dāng)x—―=—―,即x=―上時(shí)，g(x)取得最小值一2

所以x—―e

1212342

［突破制在"設(shè)函數(shù)F(x)=4

■\^sin2sinoxcosox(3>0),且尸f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)

稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為口.

4

2022年高考數(shù)學(xué)解笞題題型完美透析+專項(xiàng)訓(xùn)縹

(1)求3的值;

3n

冗，---

(2)求f(x)在區(qū)間[2」上的最大值和最小值.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(l)f(x)—^/3?-~~0°s23'_】sin2^x=-cos2-sin23x=

22222

(2

-sinl3J.因?yàn)閥=F(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為一，故該函數(shù)的周期T=

4乂三=兀.又3>0,所以紅?=JT,因此3=1.

423

(2)由⑴知/(%)=—sin3當(dāng)五WxW紅~時(shí)，&2x-，所以——=sin

LJ.23332