高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值訓(xùn)練提升新人教版選修3

7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值課后·訓(xùn)練提升基礎(chǔ)鞏固1.今有兩臺獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá),每臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85,設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)臺數(shù)為X,則E(X)為()A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22答案:B解析:由題意知,X的取值為0,1,2,因此P(X=0)=0.1×0.15=0.015,P(X=1)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22,P(X=2)=0.9×0.85=0.765,故E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.2.已知Y=5X+1,E(Y)=6,則E(X)的值為()A.65 B.5C.1 D.31答案:C解析:因?yàn)镋(Y)=E(5X+1)=5E(X)+1=6,所以E(X)=1.3.口袋中有編號分別為1,2,3的三個大小和形狀完全相同的小球,從中任取2個,則取出的球的最大編號X的均值為()A.13 B.23 C.2 D答案:D解析:X的取值為2,3.因?yàn)镻(X=2)=1C32=13,P所以E(X)=2×13+3×24.籃球運(yùn)動員在比賽中每次罰球命中得1分,未命中得0分.已知他命中的概率為0.8,則罰球一次得分X的均值是.

答案:0.8解析:因?yàn)镻(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8.5.某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下:X78910Px0.10.3y已知X的均值E(X)=8.9,則y的值為.

答案:0.4解析:依題意得x即x解得y=0.4.6.已知隨機(jī)變量X的分布列如表:X-10bPab1若X的均值E(X)=124,則ab=.答案:1解析:由題意,可得a解得a=112,b=3因此ab=1127.甲、乙、丙三人參加某次招聘會,甲應(yīng)聘成功的概率為49,乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為t3(0<t<3),且三人是否應(yīng)聘成功是相互獨(dú)立的.若甲、乙、丙三人都應(yīng)聘成功的概率是1681,則t=,設(shè)X表示甲、乙兩人中應(yīng)聘成功的人數(shù),則X的均值是答案:210解析:依題意,得甲、乙、丙三人都應(yīng)聘成功的概率是49解得t=2(負(fù)值舍去),所以乙應(yīng)聘成功的概率為23.X的所有可能的取值為P(X=2)=49P(X=1)=49×1-23+P(X=0)=1-49×1則E(X)=2×827+1×1427+0×8.對某個數(shù)學(xué)題,甲單獨(dú)解出該題的概率為23,乙單獨(dú)解出該題的概率為45.記X為解出該題的人數(shù),則E(X)=答案:22解析:設(shè)“甲單獨(dú)解出該題”為事件A,“乙單獨(dú)解出該題”為事件B,A,B相互獨(dú)立.由題意知,X的可能取值為0,1,2.故P(X=0)=P(A)P(B)=1-P(X=1)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=23P(X=2)=P(A)P(B)=23因此解出該題的人數(shù)X的分布列為X012P128即E(X)=0×115+1×25+2×9.體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則:每名學(xué)生最多可發(fā)球3次,一旦發(fā)球成功,則停止發(fā)球,否則一直發(fā)完3次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0),發(fā)球次數(shù)為X,若X的均值E(X)>1.75,則p的取值范圍是.

答案:0解析:由已知條件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,則E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,解得p>52或p<1又由p∈(0,1),可得p∈0,10.某學(xué)校組織教師進(jìn)行“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識競賽,規(guī)則為:每位參賽教師都要回答3個問題,且這3個問題回答正確與否相互之間互不影響,若每答對1個問題,得1分;答錯,得0分,最后按照得分高低排出名次,并分一、二、三等獎分別給予獎勵.已知給出的3個問題,教師甲答對的概率分別為34,12,p.若教師甲恰好答對3個問題的概率是14,則p=;在上述條件下,設(shè)隨機(jī)變量X表示教師甲答對題目的個數(shù),則答案:2解析:因?yàn)榻處熂浊『么饘?個問題的概率是14,所以34×12×p=1由題意,隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,所以P(X=0)=1-34×1-1P(X=1)=34×1-12×1-23+1-34×P(X=2)=34×12×1-23+34×P(X=3)=34所以E(X)=0×124+1×14+2×1124+311.某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].從樣本成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,記這2人成績在90分以上(含90分)的人數(shù)為X,求X的均值.解由題意,得(0.006+0.006+0.010+0.054+x+0.006)×10=1,解得x=0.018.由題意得區(qū)間[80,90)內(nèi)的人數(shù)為50×0.018×10=9人,區(qū)間[90,100]內(nèi)的人數(shù)為50×0.006×10=3人.從樣本成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,記這2人成績在90分以上(含90分)的人數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,P(X=0)=C92C122=611P(X=2)=C3則X的均值E(X)=0×611+1×922+2×能力提升1.某船隊(duì)若出海后天氣好,可獲得5000元;若出海后天氣壞,將損失2000元;若不出海也要損失1000元.設(shè)出海的效益為X,根據(jù)預(yù)測知天氣好的概率為0.6,則出海的期望效益E(X)是()A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2600元答案:B解析:出海的期望效益E(X)=5000×0.6+(1-0.6)×(-2000)=3000-800=2200元.2.如圖,將一個各面都涂了油漆的正方體,切割為125個同樣大小的小正方體,經(jīng)過攪拌后,從中隨機(jī)取一個小正方體,記它的油漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)=()A.126125 B.C.168125 D.答案:B解析:由題意知X所有可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=27125,P(X=1)=54125,P(X=2)=36125,P(X=3)所以E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+33.某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項(xiàng)目,若成功,則一年后可獲利12%;若失敗,則一年后將損失全部資金的50%.下表是過去200例類似項(xiàng)目開發(fā)的實(shí)施結(jié)果:投資成功投資失敗192例8例則該公司一年后估計可獲收益的均值是元.

答案:4760解析:由題意知,一年后獲利6000元的概率為0.96,損失25000元的概率為0.04,故一年后收益的均值是6000×0.96+(-25000)×0.04=4760元.4.某項(xiàng)游戲活動的獎勵分為一、二、三等獎,且相應(yīng)獲獎概率是以a1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,相應(yīng)的獎金是以700元為首項(xiàng),-140元為公差的等差數(shù)列,則參與該游戲獲得獎金的均值為元.

答案:500解析:由概率分布列的性質(zhì),可得a1+2a1+4a1=1,解得a1=17,從而2a1=27,4a1=因此參與該游戲獲得獎金X的分布列為X700560420P124所以E(X)=700×17+560×27+420×47=5.袋中原有3個白球和2個黑球,每次從中任取2個球,然后另外放回2個黑球.設(shè)第一次取到白球的個數(shù)為X,則E(X)=,第二次取到1個白球1個黑球的概率為.

答案:6解析:由題意得X的可能取值為0,1,2,P(X=0)=C22C52=110P(X=2)=C3因此E(X)=0×110+1×35+2×第二次取到1個白球1個黑球的概率為P=1106.從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口,設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為12,13,14.設(shè)解隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=1-P(X=1)=12P(X=2)=1-P(X=3)=12所以,隨機(jī)變量X的分布列為X0123P11111隨機(jī)變量X的均值E(X)=0×14+1×1124+2×14+37.若n是一個三位正整數(shù),且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動中,每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個數(shù),且只能抽取一次.得分規(guī)則如下:若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,則得-1分;若能被10整除,則得1分.(1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”;(2)若甲參加活動,求甲得分X的分布列和均值E(X).解(1)個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345.(2)由題意知,全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為C93=84,隨機(jī)變量X的取值為0,-因此,P(X=0)=C83C93=23P(X=1)=1-114所以X的分布列為X0-11P2111則E(X)=0×23+(-1)×114+1×8.隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件,經(jīng)質(zhì)檢,其中一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元,而1件次品虧損2萬元,設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位:萬元)為X.(1)求X的分布列;(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的均值);(3)經(jīng)技術(shù)革新后,仍有四個等級的產(chǎn)品,但次品率降為1%,一等品率提高為70%,若此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元,則三等品率最多是多少?解(1)X的所有可能取值為6,2,1,-2.P(X=6)=126200=0.63,P(X=2)=50200=0P(X=1)=20200=0.1,P(X=-2)=4200=0.故X的分布列