課例基本不等式的教學(xué)與反思11

第7頁共7頁課例：“基本不等式”的教學(xué)與反思一、背景分析本課例內(nèi)容是人民教育出版社出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書數(shù)學(xué)必修5（A版）第三章第四節(jié)《基本不等式》；也是基于四校聯(lián)誼活動開出的公開課，課例先由我校備課組設(shè)計、再組織評課議課、最后專家點(diǎn)評，共同探討新課標(biāo)的理念如何在教學(xué)中實(shí)施。二、設(shè)計理念本課例旨在用新課程理念處理教材，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不僅要接受、記憶、模仿和練習(xí)，而且要自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。力圖創(chuàng)設(shè)出一種讓學(xué)生容易介入的自由的對話教學(xué)情境中，由問題產(chǎn)生思辯，在思辯中形成知識與新問題。三、教材分析教材內(nèi)容分析本課是探究基本不等式的形成過程，進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運(yùn)用，研究最值問題?；静坏仁皆谥R體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，因此它也是對學(xué)生進(jìn)行情感價值觀教育的好素材，所以基本不等式應(yīng)重點(diǎn)研究。就知識的應(yīng)用價值上來看，基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)問題中抽象出來的一個模型，在公式推導(dǎo)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、演繹推理、分析法證明等在各種不等式研究問題中有著廣泛的應(yīng)用；另外它在如“求面積一定，周長最小；周長一定，面積最大”等實(shí)際問題的計算中也經(jīng)常涉及到。就內(nèi)容的人文價值上來看，基本不等式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神,是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)能力的良好載體。2、教學(xué)目標(biāo)知識與能力目標(biāo)：理解掌握基本不等式，并能運(yùn)用基本不等式解決一些簡單問題；培養(yǎng)學(xué)生探究能力以及分析問題解決問題的能力。過程與方法目標(biāo)：按照創(chuàng)設(shè)情景，提出問題→剖析歸納證明→幾何解釋→應(yīng)用（最值的求法、實(shí)際問題的解決）的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，體會數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法，通過運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段，引領(lǐng)學(xué)生主動探索基本不等式性質(zhì)，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，體驗成功的樂趣。情感與態(tài)度目標(biāo)：通過問題情境的設(shè)置，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界，從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。3、教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程及應(yīng)用。4、教學(xué)難點(diǎn)1、基本不等式成立時的三個限制條件（簡稱一正、二定、三相等）；2、利用基本不等式求解實(shí)際問題中的最大值和最小值。重、難點(diǎn)突破措施：四、學(xué)情分析學(xué)生掌握了不等式的相關(guān)知識，但是對本節(jié)課的內(nèi)容與方法還是有點(diǎn)陌生。所以本節(jié)課要引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程，體會新課程新理念、新要求。五、教學(xué)設(shè)計引導(dǎo)探求抽象歸納引導(dǎo)探求抽象歸納創(chuàng)設(shè)情境提出問題深入生活解決問題理解升華深入探究反思總結(jié)整合新知教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)情景提出問題幻燈片：上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)。[問題]你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，現(xiàn)實(shí)情境問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺。引導(dǎo)探究抽象歸納幾何畫板演示：探究一：弦圖中相等關(guān)系或不等關(guān)系;探究二：弦圖變化中感受相等關(guān)系與不等關(guān)系之間的轉(zhuǎn)換。設(shè)計意圖：在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不等式。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識基本不等式。一般地，對于任意實(shí)數(shù)a,b，有，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立。[問題1]你能給出它的證明嗎？[問題2]特別地，當(dāng)a>0,b>0時，在不等式中，以、分別代替a、b，得到什么？設(shè)計意圖：類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生理解了基本不等式的來源，突破了重點(diǎn)和難點(diǎn)，而且感受了其中的函數(shù)思想，為今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).理解升華深入探究1、文字語言敘述：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。2、聯(lián)想數(shù)列的知識理解基本不等式兩個正數(shù)的等差中項不小于它們正的等比中項。設(shè)計意圖：課本是學(xué)生了解世界的窗口和工具.有意義的接受學(xué)習(xí)是自主建構(gòu)，有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)也是自主建構(gòu).3、探究基本不等式證明方法：方法一：作差比較或由展開證明。方法二：分析法（完成課本填空）設(shè)計意圖：在于引領(lǐng)學(xué)生從感性認(rèn)識基本不等式到理性證明，實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的升華。4、探究基本不等式的幾何意義：引導(dǎo)學(xué)生探究不等式的幾何解釋設(shè)計意圖：通過類比思想發(fā)現(xiàn)不等式的“數(shù)”與“形”形式，理解基本不等式，深刻體會數(shù)形結(jié)合的思想。深入生活解決問題例題：（1）用籬笆圍一個面積為100m的矩形菜園，如何設(shè)計籬笆的長和寬，能使所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，如何設(shè)計籬笆的長和寬，菜園的面積最大？最大面積是多少?設(shè)計意圖：新穎有趣、簡單易懂、貼近生活的問題,不僅極大地增強(qiáng)學(xué)生的興趣，拓寬學(xué)生的視野，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)就在我們身邊的生活中反思總結(jié)整合新知一個不等式兩種思想三個注意設(shè)計意圖：通過反思、歸納，培養(yǎng)概括能力；幫助學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，鞏固知識技能，提高認(rèn)知水平.作業(yè)布置A類：教材第100頁習(xí)題3.4第1，2題。B類：A類+作業(yè)本。作業(yè)是學(xué)生信息的反饋，能在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)和彌補(bǔ)教學(xué)中的不足，同時注重個體差異，因材施教。六、教學(xué)實(shí)錄1、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題師：（展示圖1是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)并抽象出趙爽弦圖）弦圖由那些幾何圖形組成。（讓學(xué)生充分討論后）圖1生1：四個直角三角形圖1生2：四個直角三角形和一個小正方形組成一個大正方形。師：你能在這個弦圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？生1：角、邊相等。生2：直角三角形全等。師：對，直角三角形全等，那么還有什么量相等。生3：面積，4個三角形全等面積相等，師：（利用幾何畫板動態(tài)演示）那么去掉小正方形，兩者之間還有什么關(guān)系。生4：(旨在從實(shí)際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，把相等轉(zhuǎn)化為不等)2、引導(dǎo)探究抽象歸納2.1、實(shí)際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系問題1：設(shè)直角三角形的直角邊為a,b。你能得到怎樣不等關(guān)系呢？生1（自主探究后）：師：同學(xué)們，你能證明這個不等式嗎？生2：作差比較，然后配方可證。(旨在回顧比較作差法，為證明基本不等式做好鋪墊)2.2、對知識作類比延伸師：特別地，當(dāng)a>0,b>0時，在不等式中，以、分別代替a、b，得到什么？生：2.3、發(fā)散思維多種證法問題2：如何證明基本不等式？生1：作差比較法，方法與之前的證法類似。生2：可以兩邊同時平方后，再作差，配方的時候更加簡單。師：同學(xué)們思路非常好，但是書寫的時候要注意，一般我們要寫成由因?qū)Ч男问剑ňC合法）。生3：能不能不寫成由因?qū)Ч麕煟嚎梢?，但是這種書寫要非常的注意，這樣方法叫分析法。(旨在讓學(xué)生的思維發(fā)散，用多種方法解決問題，不僅掌握了方法，而且更加深刻地理解基本不等式，同時讓學(xué)生對各種證法做比較，知道怎么書寫)3、理解升華深入探究問題3：基本不等式，我們可以看作：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。大家仔細(xì)想想能不能與我們學(xué)過的進(jìn)行一種聯(lián)系呢？生1：與數(shù)列里知識有關(guān)。生2：對，兩個正數(shù)的等差中項不小于它們正的等比中項。（旨在與已學(xué)知識建立聯(lián)系，更好的理解掌握基本不等式）師：（展示圖二），若AC=a,CB=b，那么，能用相應(yīng)的線段表示嗎？生1：OD=,生2：（恍然大悟）圖中顯然CD<OD，那么基本不等式圖二就證明了。圖二師：圖2展示就是基本不等式的幾何意義。（旨在通過類比思想發(fā)現(xiàn)不等式的“數(shù)”與“形”形式，理解基本不等式，深刻體會數(shù)形結(jié)合的思想）4、深入生活解決問題例1：（1）用籬笆圍一個面積為100m的矩形菜園，如何設(shè)計籬笆的長和寬，能使所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長為36m解析：略問題4：經(jīng)過例1的解答，你能得到一般的結(jié)論嗎？生1：例（1）中可以發(fā)現(xiàn)：若兩正數(shù)的乘積為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時，它們的和有最小值；例（2）中若兩正數(shù)的和為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時，它們的乘積有最大值。師：總結(jié)的太好了，若兩正數(shù)的乘積為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時，它們的和有最小值；若兩正數(shù)的和為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時，它們的乘積有最大值。（旨在選取新穎有趣、簡單易懂、貼近生活的問題,不僅極大地增強(qiáng)學(xué)生的興趣，拓寬學(xué)生的視野，讓學(xué)生體會：數(shù)學(xué)就在我們身邊的生活中）例2：討論的最值。生1：當(dāng)x=1時，有最小值2。生2：肯定錯了，x取負(fù)號時的值小于0.生3：為“耐克函數(shù)”，由圖像可知無最值。師：分析得非常精彩，做怎樣的變式就有最值了？（旨在不僅做變式訓(xùn)練，還讓學(xué)生主動編題）生4:若時，有最小值2.生5：若時，有最大值-2.生6：若時，還有最小值？（同學(xué)們，陷入了沉思中）師：我們是否可以觀察函數(shù)圖像，利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題呢？生7：在上是增函數(shù)，還有最小值。問題5：經(jīng)過例2的解答，我們在求最值的時候，應(yīng)該注意什么問題呢？（學(xué)生進(jìn)行了積極的討論）生8：解決最值問題要注意“一正二定三相等”.（旨在更加深刻理解基本不等式，學(xué)會在實(shí)際問題中的應(yīng)用，并且要記住值得注意的三個方面）5、反思總結(jié)整合新知問題6：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？取得了哪些經(jīng)驗教訓(xùn)?還有哪些問題需要請教？生1：基本不等式、解決最值問題、趙爽弦圖、數(shù)形結(jié)合思想。生2：歸納類比思想。生3：解決最值問題要注意“一正二定三相等”.師：這節(jié)課總結(jié)為：一個不等式：若，則有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，。兩種思想：數(shù)形結(jié)合思想、歸納類比思想。三個注意：基本不等式求函數(shù)的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”七、自我反思張奠宙教授說：“開放式教學(xué)——問題開放、解題開放、教學(xué)開放是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的教學(xué)模式”。本課旨在用新課程理念處理教材，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不僅要接受、記憶、模仿和練習(xí)，而且要自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。由于是借班上課，在教學(xué)設(shè)計中處處“以學(xué)生為本”，確實(shí)到達(dá)很好的效果，課堂氣氛非常好，學(xué)生能主動參與到探究中來；。在難點(diǎn)的突破上采取了有效的分解策略：（1）通過類比思想符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；（2）情景貫穿始終，興趣伴隨學(xué)習(xí)；（3）充分利用現(xiàn)代多媒體技術(shù)，數(shù)形結(jié)合分解難點(diǎn)。在證明基本不等式時，學(xué)生主動提出多種證法對基本不等式應(yīng)有更深刻的理解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。在個別問題的設(shè)計是否可以適合，如在引入時，問題1是否太開放了。本節(jié)課關(guān)注知識的形成過程，也同樣關(guān)注了知識的應(yīng)用，這種處理是否得當(dāng)，應(yīng)該怎樣抉擇呢？八、課例點(diǎn)評本節(jié)課強(qiáng)調(diào)問題教學(xué)，啟發(fā)思維，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。讓學(xué)生真正參與其中；對整個基本不等式的來龍去脈包括對基本不等式語言敘述、符號表示、證明、幾何解釋與學(xué)生一起經(jīng)歷，使學(xué)生不僅知其然，而且還知其所以然。具體點(diǎn)評如下：1、層層設(shè)疑，水到渠成本堂課引入為學(xué)生提供一個簡單而熟悉“趙爽弦圖”，設(shè)疑后讓學(xué)生充分討論總結(jié)，讓學(xué)生得出關(guān)系或不等關(guān)系，利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不等式，在此基礎(chǔ)上層層設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識基本不等式。然后，不斷討論與交流產(chǎn)生新問題，讓知識出現(xiàn)更加自然。2、充分挖掘教材處處滲透方法教學(xué)充分深入挖掘教材的問題，讓學(xué)生感受這些問題背后蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想、方法，于細(xì)微處求發(fā)展。在引入與探究中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、類比歸納的數(shù)學(xué)思想方法，也體現(xiàn)了教師對教材的準(zhǔn)確把握。3、學(xué)生也能提出好問題

我們從例２中不難找到答案．學(xué)生是經(jīng)過了自己的認(rèn)真思考后的討論，回答和解決的一個重要疑點(diǎn)，也正是許多同學(xué)心存困惑的地方．看來，學(xué)生的思維中也不時地閃耀著智慧的火花．我們教師應(yīng)花大力氣去點(diǎn)燃和撞擊學(xué)生的思維鏈，以期讓它蹦出火花!提出一個問題，往往比解決一個問題更重要，尤其是一個有價值的好問題則更能吸引人去積極思考．問起于疑，疑源于思．在倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力的今天，教師應(yīng)使學(xué)生形成問題意識，既善于發(fā)現(xiàn)和提出問題，又善于分析問題和解決問題；教師要放手，為學(xué)生作出表率（自