高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.4.1二項(xiàng)分布7.4.2超幾何分布訓(xùn)練提升新人教版選修3

7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布7.4.1二項(xiàng)分布--7.4.2超幾何分布課后·訓(xùn)練提升基礎(chǔ)鞏固1.(多選題)下列例子中隨機(jī)變量X不服從二項(xiàng)分布的是()A.某同學(xué)投籃的命中率為0.6,他10次投籃中命中的次數(shù)XB.某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9,從開始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)XC.從裝有5個(gè)紅球,5個(gè)白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球?yàn)橹?摸到白球時(shí)的摸球次數(shù)XD.有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用不放回抽取方法,X表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)答案:BCD解析:對(duì)于A,某同學(xué)投籃的命中率為0.6,他10次投籃中命中的次數(shù)X~B(10,0.6),故是二項(xiàng)分布;對(duì)于B,對(duì)于某射手從開始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)X,每次試驗(yàn)不是獨(dú)立的,與其他各次試驗(yàn)結(jié)果有關(guān),不是二項(xiàng)分布;對(duì)于C,雖然是有放回地摸球,但隨機(jī)變量X的定義是直到摸出白球?yàn)橹?即前面摸出的一定是紅球,最后一次是白球,不符合二項(xiàng)分布的定義;對(duì)于D,由于采用不放回抽取方法,每一次抽取中出現(xiàn)次品的概率不相等,故X表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)不服從二項(xiàng)分布.2.已知隨機(jī)變量X,Y滿足X+Y=8,且X服從二項(xiàng)分布,記作X~B(10,0.6),則E(Y)和D(Y)的值分別是()A.6和2.4 B.2和2.4C.2和5.6 D.6和5.6答案:B解析:由已知E(X)=10×0.6=6,D(X)=10×0.6×0.4=2.4.因?yàn)閄+Y=8,所以Y=8-X.所以E(Y)=-E(X)+8=2,D(Y)=(-1)2D(X)=2.4.3.已知X~Bn,12,Y~Bn,13,且E(X)=15,則E(A.5 B.10 C.15 D.20答案:B解析:因?yàn)镋(X)=12n=15,所以n=30,所以Y~B30,13,所以E(Y)=30×4.在4重伯努利試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的概率相同,若事件A至少發(fā)生1次的概率為6581,則事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為(A.13 B.25 C.56答案:A解析:設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p.由題意得1-C40p0(1-p)4=6581,解得5.設(shè)X的分布列為P(X=k)=C5k13k235-k(k=A.10 B.30 C.15 D.5答案:A解析:由P(X=k)=C5k13k235-k(k=0,1,2,3,4,5)可知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B5,13,因此D(X)=5×136.設(shè)隨機(jī)變量X~B(2,p),隨機(jī)變量Y~B(3,p),若P(X≥1)=59,則D(3Y+1)=(A.2 B.3 C.6 D.7答案:C解析:因?yàn)殡S機(jī)變量X~B(2,p),所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C20(1-p)2=59,解得所以D(Y)=3×13×23=23,所以D(3Y+1)=9D(Y)7.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n(3≤n≤8)次,正面朝上的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布Bn,12,若P(X=1)=332,則方差D(X)答案:3解析:因?yàn)?≤n≤8,隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布Bn,12,且P(X=1)所以Cn1·12n-1所以方差D(X)=np(1-p)=6×128.已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品,從中抽取2件檢查,其中次品數(shù)為X,已知P(X=1)=1645,且該產(chǎn)品的次品率不超過40%,則這10件產(chǎn)品的次品率為.答案:20%解析:設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品,則P(X=1)=Cx1·C10-x因?yàn)榇纹仿什怀^40%,所以x=2,所以次品率為2÷10×100%=20%.9.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,X~B6,12,則E(2X+3)=,D(2X+3)答案:96解析:∵隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B6,1∴E(X)=6×12=3,D(X)=6×1則E(2X+3)=2E(X)+3=9,D(2X+3)=22×D(X)=6.故答案為9,6.10.某游戲射擊場規(guī)定:①每次游戲射擊5發(fā)子彈;②5發(fā)全部命中獎(jiǎng)勵(lì)40元,命中4發(fā)不獎(jiǎng)勵(lì),也不必付款,命中3發(fā)或3發(fā)以下,應(yīng)付款2元.現(xiàn)有一游客,其命中率為12(1)求該游客在一次游戲中5發(fā)全部命中的概率;(2)求該游客在一次游戲中獲得獎(jiǎng)金的均值.解(1)設(shè)5發(fā)子彈命中X(X=0,1,2,3,4,5)發(fā),由題意知X~B5,12,則由題意有P(X=5)(2)X的分布列為X012345P15101051設(shè)游客在一次游戲中獲得資金為Y元,于是Y的分布列為Y-2040P1351故該游客在一次游戲中獲得資金的均值為E(Y)=(-2)×1316+0×532+40×13211.在含有3件次品的8件產(chǎn)品中,任取3件,求:(1)取到的次品數(shù)的分布列;(2)至少取到1件次品的概率.解(1)設(shè)在含有3件次品的8件產(chǎn)品中,任取3件,取到的次品數(shù)為X,則X服從超幾何分布,且N=8,M=3,n=3.X的分布列為P(X=k)=C3kC53-kC83,k=0,1,2,3,則P(X=0)P(X=2)=C32C51C83因此X的分布列為X0123P515151(2)根據(jù)隨機(jī)變量X的分布列,可得至少取到1件次品的概率為P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=232812.一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè),且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率;(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列,均值E(X)及方差D(X).解(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”,A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”,B表示事件“在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個(gè),且另1天的日銷售量低于50個(gè)”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)由題意知X~B(3,0.6).X可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率為P(X=0)=C30×(1-0.6)3=0P(X=1)=C31×0.6×(1-0.6)2=0P(X=2)=C32×0.62×(1-0.6)=0P(X=3)=C33×0.63=0.則X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄~B(3,0.6),所以均值E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.能力提升1.口袋里放有大小相同的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球,每次有放回地摸取一個(gè)球,定義數(shù)列{an},an=-1,第n次摸取紅球,1,第n次摸取白球,如果Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,那么A.C75×C.C75×答案:D解析:由S7=3,知在7次摸球中有2次摸取紅球,5次摸取白球,而每次摸取紅球的概率為23,摸取白球的概率為13,則S7=3的概率為C722.袋子中裝有除顏色外其他均相同的8個(gè)小球,其中白球5個(gè),分別編號(hào)1,2,3,4,5;紅球3個(gè),分別編號(hào)1,2,3,現(xiàn)從袋子中任取3個(gè)小球,它們的最大編號(hào)為隨機(jī)變量X,則P(X=3)等于()A.528 B.17 C.1556答案:D解析:由題知,X=3可以分兩種情況:第一種情況表示1個(gè)3,則P1=C21C42C83=314;第二種情況表示2個(gè)3,則P2=C22C413.一塊高爾頓板示意圖如圖所示:在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?小球從上方的通道口落下后,將與層層小木塊碰撞,最后掉入下方的某一個(gè)球槽內(nèi).若小球下落過程中向左、向右落下的機(jī)會(huì)均等,則小球最終落入④號(hào)球槽的概率為()A.332 B.C.532 D.答案:D解析:設(shè)這個(gè)球落入④號(hào)球槽為事件A,落入④號(hào)球槽要經(jīng)過兩次向左,三次向右,所以P(A)=C5312314.一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成,每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,每個(gè)答案選擇正確得4分,不作出選擇或選錯(cuò)不得分,滿分100分,某學(xué)生選對(duì)任一題的概率為0.6,則此學(xué)生在這一次測驗(yàn)中的成績的均值與方差分別為.

答案:60,96解析:設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中選對(duì)答案的題目的個(gè)數(shù)為X,所得的分?jǐn)?shù)(成績)為Y,則Y=4X.由題知X~B(25,0.6),所以E(X)=25×0.6=15,D(X)=25×0.6×0.4=6,E(Y)=E(4X)=4E(X)=60,D(Y)=D(4X)=42D(X)=16×6=96,所以該學(xué)生在這次測驗(yàn)中的成績的均值與方差分別是60與96.5.有10張卡片,其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5,若從中隨機(jī)抽出3張,設(shè)這3張卡片上的數(shù)字和為X,則D(X)=.

答案:84解析:由題意,得隨機(jī)變量X的可能取值為6,9,12.P(X=6)=C8P(X=9)=C8P(X=12)=C8則E(X)=6×715+9×715+12×D(X)=715×6-3952+715×9-39526.某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案,方案甲的中獎(jiǎng)率為23,中獎(jiǎng)可以獲得2分;方案乙的中獎(jiǎng)率為25,中獎(jiǎng)可以獲得3分;未中獎(jiǎng)則不得分.每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響,(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng),小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng),記他們的累計(jì)得分(兩人得分之和)為X,求X≤3的概率;(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng),則他們選擇何種方案抽獎(jiǎng),累計(jì)得分的均值較大?解(1)由已知,得小明中獎(jiǎng)的概率為23,小紅中獎(jiǎng)的概率為25,記“這兩人的累計(jì)得分X≤3”為事件A,則事件A的對(duì)立事件為“這兩人的累計(jì)得分X=5”.因?yàn)镻(X=5)=23×25=415,所以P(A)=1所以這兩人的累計(jì)得分X≤3的概率為1115(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的次數(shù)為X1,都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的次數(shù)為X2,則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的均值為E(2X1),選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的均值為E(3X2).由已知得X1~B2,23,X2~B所以E(X1)=2×23=43,E(X2)=所以E(2X1)=2E(X1)=83E(3X2)=3E(X2)=125因?yàn)镋(2X1)>E(3X2),所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí),累計(jì)得分的均值較大.7.某煤礦發(fā)生透水事故時(shí),作業(yè)區(qū)有若干人員被困.救援隊(duì)從入口進(jìn)入后,有L1,L2兩條巷道通往作業(yè)區(qū)(如圖).L1巷道有A1,A2,A3三個(gè)易堵塞點(diǎn),各點(diǎn)被堵塞的概率都是12;L2巷道有B1,B2兩個(gè)易堵塞點(diǎn),被堵塞的概率分別為3(1)求L1巷道中,三個(gè)易堵塞點(diǎn)最多有一個(gè)被堵塞的概率;(2)若L2巷道堵塞點(diǎn)的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及均值E(X),并按照“平均堵塞點(diǎn)少的巷道是較好