簡單理解泊松分布

正確理解泊松分布很多人在上概率論這門課的時候就沒搞明白過泊松分布到底是怎么回事,至少我就是如此。雖然那個時候大家都會背“當(dāng)試驗的次數(shù)趨于無窮大，而乘積np固定時，二項分布收斂于泊松分布”大部分的教科書上也都會給出這個收斂過程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，但是看懂它和真正理解還有很大距離。如果我們學(xué)習(xí)的意義是為了通過考試，那么我們大可停留在“只會做題”的階段，因為試卷上不會出現(xiàn)“請發(fā)表一下你對泊松公式的看法”這樣的題目，因為那樣一來卷子就變得不容易批改。所以現(xiàn)在的大部分考試都會出一些客觀題，比如到底是泊松分布還是肉松分布。而如果我們學(xué)習(xí)的目的是為了理解一樣?xùn)|西，那么我們就有必要停下來去思考一下諸如“為什么要有泊松分布”、“泊松分布的物理意義是什么”這樣的“哲學(xué)”問題。如果我們要向一個石器時代的人解釋什么是電話，我們一定會說：“電話是一種機器，兩個距離很遠的人可以通過它進行交談”而不會說：“電話在1876年由貝爾發(fā)明，一臺電話由幾個部分構(gòu)成……”（泊松分布在1876年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我們問的第一個問題應(yīng)該是“泊松分布能拿來干嘛”泊松分布最常見的一個應(yīng)用就是，它作為了排隊論的一個輸入。什么是排隊論比如我們每天去食堂打飯,最頭疼的一個問題就是排隊，之所以要排隊是因為食堂打飯的大叔有限，假設(shè)學(xué)校有1000個學(xué)生，而食堂恰好配了1000個大叔和打飯的窗口，那么就永遠不會有人排隊。但是出于經(jīng)營成本方面的考慮食堂通常不會這么干，因此如何控制窗口的數(shù)量并且保證學(xué)生不會因為排隊時間太長而起義是一門很高深的學(xué)問。在一段時間t（比如1個小時）內(nèi)來到食堂就餐的學(xué)生數(shù)量肯定不會是一個常數(shù)，（比如一直是200人），而應(yīng)該符合某種隨機規(guī)律：比如1個小時內(nèi)來200個學(xué)生的概率是10%，來180個學(xué)生的概率是20%……一般認為，這種隨機規(guī)律服從的就是泊松分布。也就是在單位時間內(nèi)有k個學(xué)生到達的概率為：e-九九kf(k)=——,k=0,1,...k!其中入為單位時間內(nèi)學(xué)生的期望到達人數(shù)。問題是“這個式子是怎么來的呢”一一我們知道泊松分布是二項分布滿足某種條件的一個特殊形式，因此可以先從簡單的二項分布入手，尋找兩者之間的聯(lián)系。二項分布很容易理解，比如一個牛仔一槍打中靶子的概率是P，如果我們讓他開10槍，如果每擊中一次目標(biāo)就得一分，問他一共能得幾分雖然我們不能在牛仔射擊前準(zhǔn)確地預(yù)測出具體的得分k,但可以求出k的概率分布，比如k=9的概率是50%，k=8的概率是30%……并且根據(jù)k的分布來判斷他的槍法如何，這便是概率統(tǒng)計的思想。具體計算的方法就是求出“得k分”的概率。比如“得9分”可以是“射失第一發(fā),而命中其余的9發(fā)”，它的概率是p的9次方乘上（1-p）,當(dāng)然，可能情況不只這種，我們用X代表“沒命中”O(jiān)代表“命中”，“得9分”所有的可能的情況如下:XOOOOOOOOOOXOOO

0000000X0000000000X0000000000X0000000000X0000000000X0000000000X0000000000X0000000000X根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，種情況下10牛仔都可以得到9分。因此牛仔“得9分”的概率是根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，種情況下10牛仔都可以得到9分。因此牛仔“得9分”的概率是C9p9(1-p)1010-9同理，“射擊n次，得k分"的概率就是Ckpk(1-p)n-k。對于一個神槍手(p=1)來n講，他“射擊10次，得10分”的概率就是1.如果我們把單位時間劃分成n個細小的時間片，假設(shè)在每個時間片內(nèi)牛仔都在射擊，只是這次他發(fā)射的不是子彈，而是學(xué)生——“命中目標(biāo)”就代表向食堂成功地發(fā)射出一個學(xué)生，如果“沒有命中”就表示學(xué)生被打到了食堂之外的地方。如梟不是無窮大，那么在某個時間片內(nèi)可能出現(xiàn)兩個學(xué)生同時進入食堂的狀況，這樣的話就和我們假設(shè)任意的時間片內(nèi)只可能發(fā)生“一個學(xué)生出現(xiàn)”或“沒有學(xué)生出現(xiàn)”不符，為了能用二項分布去近似泊松分布，因此n必須趨于無窮，時間片必須無窮小，這也是為什么泊松分布的前提之一是“n很大"的原因！(另一個前提是“p很小”)這樣一來我們就可以用二項分布的公式表示單位時間到來k個學(xué)生的概率了。在單位時間內(nèi)發(fā)生n次獨立的“發(fā)射學(xué)生”試驗，把學(xué)生“發(fā)射”到食堂的概率是p：那么單位時間內(nèi)食堂到來k個學(xué)生的概率：Ckpk(1-p)n-kn九當(dāng)np固定時，設(shè)np=入，故p=，原式子可變?yōu)?n-九Ck(1——)n-Ckn把組合數(shù)展開：-九(1——)n—k

nn(n—l)(n—2)…(n-k-九(1——)n—k

nk!調(diào)整式子：TOC\o"1-5"\h\zXkn(n—1)(n—2)…(n-k+1)九 (1——)n—kk! nk n將nk拆成k個n連乘的形式:Xkn(n—1)(n—2)…(n-k+1) X (1———)n—k:k! n-n…n n將每一個n和分子的一個因式合并為一項可得九(1助2、門k—} X4(1-_)(1__)…(1- )](1—一)n-kk!nn n n由于nT8，即：蘭lim氏1-1)(1--)…(1-)](1--)n-kk!n* nn n nTOC\o"1-5"\h\z1 2 k—1因為：lim(1