【解析】2023-2023高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編15 數(shù)列及等差數(shù)列

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2023-2023高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編15數(shù)列及等差數(shù)列

一、選擇題

1．（2023·全國(guó)甲卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（）

A．25B．22C．20D．15

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】為等差數(shù)列，

有，，

，

，

故選：C

【分析】利用等差中項(xiàng)公式逐步分析，由需求轉(zhuǎn)化成求。

2．（2023·全國(guó)乙卷）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（）

A．－1B．C．0D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；余弦函數(shù)的周期性

【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，由其公差為，

易得，，，

即得，，，，

由集合只含有兩個(gè)元素，即，

由上述可知不妨，且，

故，

∴，即，解得，

∴，，

故.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦函數(shù)周期性分析得出，，即可計(jì)算ab的值.

3．（2022·新高考Ⅱ卷）中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn)．如圖是某古建筑物的剖面圖，是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，若是公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（）

A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示

【解析】【解答】設(shè)，則，

根據(jù)題意，有，且，

所以，故.

故答案為：D

【分析】設(shè)，可得關(guān)于的方程求解即可.

4．（2023·北京）和是兩個(gè)等差數(shù)列，其中為常值，，，，則（）

A．64B．128C．256D．512

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由題意得，則，則，所以.

故答案為：B

【分析】根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

5．（2023·新課標(biāo)Ⅰ·文）執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的n=（）

A．17B．19C．21D．23

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；循環(huán)結(jié)構(gòu)

【解析】【解答】依據(jù)程序框圖的算法功能可知，輸出的n是滿足的最小正奇數(shù)，

因?yàn)?，解得?/p>

所以輸出的．

故答案為：C.

【分析】根據(jù)程序框圖的算法功能可知，要計(jì)算滿足的最小正奇數(shù)n，根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求出．

6．（2023·新課標(biāo)Ⅱ·理）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）

A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，

則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，

設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分

別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，

所以，

即

即，解得，

所以.

故答案為：C

【分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前n項(xiàng)和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.

7．（2023·北京）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（）．

A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

【解析】【解答】由題意可知，等差數(shù)列的公差，

則其通項(xiàng)公式為：，

注意到，

且由可知，

由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，

由于，

故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.

故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.

故答案為：B.

【分析】首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號(hào)和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng).

8．（2023·浙江）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，≤1．記b1＝S2，bn+1＝Sn+2﹣S2n，n∈N*，下列等式不可能成立的是（）

A．2a4＝a2+a6B．2b4＝b2+b6C．a(chǎn)42＝a2a8D．b42＝b2b8

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的遞推公式

【解析】【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，an=a1+(n-1)d，

∴a2=a1+d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，bn+1=S2n+2-S2n，

∴b2=S4-S2=a3+a4，b4=S8-S6=a7+a8，b6=S12-S10=a11+a12，b8=S16-S14=a15+a16，

A.2a4=a2+a6，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得A正確，

B.若2b4=b2+b6，則2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12=(a3+a12)+(a4＋a11)，成立，B正確，

C．若a42=a2a8，則(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),

即a12+6a1d+9d2=a12+8a1d＋7d2，得a1d=d2，

∵d≠0，∴a=d，符合≤1，C正確；

D.若b42=b2b8，則(a7+a8)2=(a3+a4)(a15+a16)，

即4a12+52a1d+169d2=4a12+68a1d+145d2，得16a1d=24d2，

∵d≠0，∴2a1=3d,不符合≤1,D錯(cuò)誤；

故答案為：D．

【分析】由已知利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷A與C；由數(shù)列遞推式分別求得b2，b4，b6，b8，分析B，D成立時(shí)是否滿足公差d≠0，≤1判斷B與D．

9．（2023·全國(guó)Ⅰ卷理）記Sn為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。已知=0，=5，則（）

A．a(chǎn)n=2n-5B．a(chǎn)n=3n-10

C．Sn=2n2-8nD．Sn=n2-2n

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示

【解析】【解答】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得，

①

②

①②聯(lián)立求出:

故答案為：A

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合已知條件求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，從而求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

10．（2023·浙江）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+n+3(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是（）

A．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列

B．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列

C．a(chǎn)1，a5，a9成等差數(shù)列

D．S6-S3，S9-S6，S12-S9成等差數(shù)列

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】解：利用前n項(xiàng)和公式即可求出當(dāng)n≥2時(shí)的，

因?yàn)閇]=,

當(dāng)n=1時(shí)，，所

以，故A選項(xiàng)不正確，

該數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始才為等差數(shù)列，B選項(xiàng)也是第一項(xiàng)不滿足，C選項(xiàng)也涉及到第一項(xiàng)不合乎題意，D選項(xiàng)不直接涉及到第一項(xiàng)故正確。

故答案為：D

【分析】首先利用已知條件結(jié)合的關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，該數(shù)列時(shí)從第二項(xiàng)開(kāi)始的等差數(shù)列，由此針對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)判斷即可得出結(jié)論。

11．（2023·北京）數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，且，，則的最大值為（）

A．9B．10C．11D．12

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】解：∵數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，

∴n要取最大，d盡可能為小的整數(shù)，

故可假設(shè)d=1

∵a1=3，d=1

∴an=n+2

∴

則S11=88100，

故n的最大值為11.

故答案為：C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求解即可.

二、填空題

12．（2022·全國(guó)乙卷）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差．

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

【解析】【解答】由可得，化簡(jiǎn)得，即，解得.

故答案為：2

【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.

13．（2023·新課標(biāo)Ⅱ·文）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則．

【答案】25

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】是等差數(shù)列，且，

設(shè)等差數(shù)列的公差d

根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：

可得

即：

整理可得：

解得：

根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：

可得：

.

故答案為：25.

【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和，即可求得答案.

14．（2023·江蘇）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是.

【答案】16

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】數(shù)列是等差數(shù)列，又

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得：

①

是等差數(shù)列前n項(xiàng)和，且

利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得：

②

①②聯(lián)立，得：

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出等差數(shù)列前8項(xiàng)的和。

15．（2023·全國(guó)Ⅲ卷文）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若，則.

【答案】100

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】解：∵，∴，∴，

∴，

故答案為：100.

【分析】由已知列式，得到，代入等差數(shù)列的求和公式即可求值.

16．（2023·全國(guó)Ⅲ卷理）記Sn為等差數(shù)列{an}項(xiàng)和，若a1≠0，a2=3a1，則=。

【答案】4

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，∴，∴，

故答案為：4.

【分析】由已知得到，利用等差數(shù)列的求和公式，代入化簡(jiǎn)即可求值.

17．（2023·北京）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a2=-3，S5=-10，則a5=，Sn的最小值為.

【答案】0；-10

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示

【解析】【解答】解：，

解得，所以，

，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)n=4或5時(shí)，有最小值-10.

故答案為：0；-10.

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，解方程組求出首項(xiàng)和公差，即可求出和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值即可.

三、解答題

18．（2023·新高考Ⅱ卷）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求使成立的n的最小值．

【答案】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，

設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，

，

從而：，由于公差不為零，故：，

數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.

（2）由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，

則不等式即：，整理可得：，

解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為7.

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì)

【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)直接求解即可；

(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

19．（2023·全國(guó)乙卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

【答案】（1）設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，

則，，

，，解得，，

（2）由（1）知，

令，解得

當(dāng)時(shí)，可得；

當(dāng)時(shí)，可得，

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的求和

【解析】【分析】（1）利用公式，根據(jù)已知條件表達(dá)有關(guān)與d的方程組計(jì)算并得出答案；

（2）討論的符號(hào)去絕對(duì)值，分類(lèi)得出。

20．（2023·新高考Ⅱ卷）已知為等差數(shù)列，，記，為的前n項(xiàng)和，，

（1）求的通項(xiàng)公式.

（2）證明：當(dāng)n>5時(shí)，>.

【答案】（1）數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為公差，

由

，

由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得，①

，②

聯(lián)立①②，解得，，

為通項(xiàng)公式為

（2）由（1）知，

，，

①當(dāng)n為偶數(shù)且n>5，此時(shí)

則，即

②當(dāng)n為奇數(shù)且n>5，此時(shí)

則，即

綜上所述，當(dāng)時(shí)，.

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的求和

【解析】【分析】（1）直接利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式代入求解；

（2）分組求出當(dāng)為奇數(shù)和偶數(shù)的值，與作差結(jié)合二次函數(shù)或因式分解比較代數(shù)式的大小。

21．（2022·新高考Ⅰ卷）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為，的等差數(shù)列.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）證明：

【答案】（1）因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，而，

所以①

時(shí)，②

①-②有：.

所以，

以上式子相乘，得

經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，，符合.

所以.

（2）由（1）知

所以

所以==

因?yàn)?，所以?/p>

所以，

即．

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和；數(shù)列的遞推公式；數(shù)列與不等式的綜合

【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，由利用Sn與an的關(guān)系，得，再利用累積法，可得an；

（2）由（1）得，利用裂項(xiàng)相消求和求得，再解不等式即可.

22．（2023·全國(guó)甲卷）記為的前項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列．證明：是等差數(shù)列．

【答案】∵數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為

∴，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，滿足，

∴的通項(xiàng)公式為，

∴

∴是等差數(shù)列.

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【分析】由數(shù)列是等差數(shù)列，及，即可得到等差數(shù)列的公差,從而得到，，進(jìn)一步根據(jù)ａｎ與ｓｎ的關(guān)系，以及等差數(shù)列的定義，證明

是等差數(shù)列.

23．（2023·全國(guó)乙卷）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)積，已知=2.

（1）證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

（2）求{an}的通項(xiàng)公式.

【答案】（1）由已知+=2，則=Sn(n≥2)

+=22bn-1+2=2bnbn-bn-1=(n≥2)，b1=

故｛bn｝是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。

（2）由（1）知bn=+（n-1）=，則+=2Sn=

n=1時(shí)，a1=S1=

n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-=

故an=

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的遞推公式

【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列及前n項(xiàng)和的定義，由遞推關(guān)系，求證。

（2）呈上，先寫(xiě)出bn,再求{bn}前n磺的和Sn，再由an與Sn的關(guān)系，進(jìn)一步求得結(jié)果。

24．（2023·新高考Ⅰ）已知數(shù)列{}滿足=1，

（1）記=，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求的前20項(xiàng)和

【答案】（1）為偶數(shù)，

則，，

，即，且，

是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，

，，．

（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，

的前項(xiàng)和為

．

由（1）可知，

．

的前20項(xiàng)和為．

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和

【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式即可求解；

（2）運(yùn)用分組求和法，結(jié)合項(xiàng)之間的關(guān)系即可求解.

25．（2023·北京）設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列.

（I）求{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值.

【答案】解：（I）根據(jù)三者成等比數(shù)列，

可知，

故，

解得d=2，

故；

（Ⅱ）由（I）知，

該二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為n=5.5，

故n=5或6時(shí)，取最小值-30.

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【分析】（I）根據(jù)等比中項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出d，即可求出；（Ⅱ）由（1），求出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出相應(yīng)的最小值.

26．（2023·全國(guó)Ⅰ卷文）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知Sn=-a5

（1）若a3=4，求{an}的通項(xiàng)公式。

（2）若a1≥0，求使得Sn≥an的n取值范圍。

【答案】（1）解：設(shè)的公差為d．

由得．

由a3=4得．

于是．

因此的通項(xiàng)公式為．

（2）由（1）得，故.由知，故等價(jià)于，解得1≤n≤10．

所以n的取值范圍是．

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示

【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式結(jié)合已知條件求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，從而求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

(2)由（1）得，故.

由知，故等價(jià)于，再利用一元二次不等式求解集的方法結(jié)合n自身的取值范圍，從而求出n的取值范圍。

27．（2023·全國(guó)甲卷）已知數(shù)列{an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an｝的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列{an｝是等差數(shù)列：②數(shù)列{｝是等差數(shù)列；③a2=3a1

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】選①②作條件證明③：

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；

所以，所以.

選①③作條件證明②：

因?yàn)椋堑炔顢?shù)列，

所以公差，

所以，即，

因?yàn)椋?/p>

所以是等差數(shù)列.

選②③作條件證明①：

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

因?yàn)椋?，解得或?/p>

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；

當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.

綜上可知為等差數(shù)列.

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【分析】選(1)(2)做條件時(shí)，證明③：根據(jù)等差數(shù)列的定義得出，且也是等差數(shù)列，進(jìn)一步遞推出③；

若選①③作條件證明②：由，顯然再寫(xiě)出前n項(xiàng)的和與a1，n的關(guān)系式，進(jìn)而證明是等差數(shù)列.；

選②③作條件證明①：先設(shè)，進(jìn)一步形為，再根據(jù)an與sn的關(guān)系，分ｎ為1，n>1，推導(dǎo)出，顯然為等差數(shù)列。

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2023-2023高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編15數(shù)列及等差數(shù)列

一、選擇題

1．（2023·全國(guó)甲卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（）

A．25B．22C．20D．15

2．（2023·全國(guó)乙卷）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（）

A．－1B．C．0D．

3．（2022·新高考Ⅱ卷）中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn)．如圖是某古建筑物的剖面圖，是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，若是公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（）

A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9

4．（2023·北京）和是兩個(gè)等差數(shù)列，其中為常值，，，，則（）

A．64B．128C．256D．512

5．（2023·新課標(biāo)Ⅰ·文）執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的n=（）

A．17B．19C．21D．23

6．（2023·新課標(biāo)Ⅱ·理）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）

A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊

7．（2023·北京）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（）．

A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

8．（2023·浙江）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，≤1．記b1＝S2，bn+1＝Sn+2﹣S2n，n∈N*，下列等式不可能成立的是（）

A．2a4＝a2+a6B．2b4＝b2+b6C．a(chǎn)42＝a2a8D．b42＝b2b8

9．（2023·全國(guó)Ⅰ卷理）記Sn為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。已知=0，=5，則（）

A．a(chǎn)n=2n-5B．a(chǎn)n=3n-10

C．Sn=2n2-8nD．Sn=n2-2n

10．（2023·浙江）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+n+3(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是（）

A．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列

B．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列

C．a(chǎn)1，a5，a9成等差數(shù)列

D．S6-S3，S9-S6，S12-S9成等差數(shù)列

11．（2023·北京）數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，且，，則的最大值為（）

A．9B．10C．11D．12

二、填空題

12．（2022·全國(guó)乙卷）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差．

13．（2023·新課標(biāo)Ⅱ·文）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則．

14．（2023·江蘇）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是.

15．（2023·全國(guó)Ⅲ卷文）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若，則.

16．（2023·全國(guó)Ⅲ卷理）記Sn為等差數(shù)列{an}項(xiàng)和，若a1≠0，a2=3a1，則=。

17．（2023·北京）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a2=-3，S5=-10，則a5=，Sn的最小值為.

三、解答題

18．（2023·新高考Ⅱ卷）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求使成立的n的最小值．

19．（2023·全國(guó)乙卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

20．（2023·新高考Ⅱ卷）已知為等差數(shù)列，，記，為的前n項(xiàng)和，，

（1）求的通項(xiàng)公式.

（2）證明：當(dāng)n>5時(shí)，>.

21．（2022·新高考Ⅰ卷）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為，的等差數(shù)列.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）證明：

22．（2023·全國(guó)甲卷）記為的前項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列．證明：是等差數(shù)列．

23．（2023·全國(guó)乙卷）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)積，已知=2.

（1）證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

（2）求{an}的通項(xiàng)公式.

24．（2023·新高考Ⅰ）已知數(shù)列{}滿足=1，

（1）記=，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求的前20項(xiàng)和

25．（2023·北京）設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列.

（I）求{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值.

26．（2023·全國(guó)Ⅰ卷文）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知Sn=-a5

（1）若a3=4，求{an}的通項(xiàng)公式。

（2）若a1≥0，求使得Sn≥an的n取值范圍。

27．（2023·全國(guó)甲卷）已知數(shù)列{an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an｝的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列{an｝是等差數(shù)列：②數(shù)列{｝是等差數(shù)列；③a2=3a1

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

答案解析部分

1．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】為等差數(shù)列，

有，，

，

，

故選：C

【分析】利用等差中項(xiàng)公式逐步分析，由需求轉(zhuǎn)化成求。

2．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；余弦函數(shù)的周期性

【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，由其公差為，

易得，，，

即得，，，，

由集合只含有兩個(gè)元素，即，

由上述可知不妨，且，

故，

∴，即，解得，

∴，，

故.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦函數(shù)周期性分析得出，，即可計(jì)算ab的值.

3．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示

【解析】【解答】設(shè)，則，

根據(jù)題意，有，且，

所以，故.

故答案為：D

【分析】設(shè)，可得關(guān)于的方程求解即可.

4．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由題意得，則，則，所以.

故答案為：B

【分析】根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

5．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；循環(huán)結(jié)構(gòu)

【解析】【解答】依據(jù)程序框圖的算法功能可知，輸出的n是滿足的最小正奇數(shù)，

因?yàn)?，解得?/p>

所以輸出的．

故答案為：C.

【分析】根據(jù)程序框圖的算法功能可知，要計(jì)算滿足的最小正奇數(shù)n，根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求出．

6．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，

則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，

設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分

別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，

所以，

即

即，解得，

所以.

故答案為：C

【分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前n項(xiàng)和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.

7．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

【解析】【解答】由題意可知，等差數(shù)列的公差，

則其通項(xiàng)公式為：，

注意到，

且由可知，

由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，

由于，

故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.

故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.

故答案為：B.

【分析】首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號(hào)和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng).

8．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的遞推公式

【解析】【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，an=a1+(n-1)d，

∴a2=a1+d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，bn+1=S2n+2-S2n，

∴b2=S4-S2=a3+a4，b4=S8-S6=a7+a8，b6=S12-S10=a11+a12，b8=S16-S14=a15+a16，

A.2a4=a2+a6，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得A正確，

B.若2b4=b2+b6，則2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12=(a3+a12)+(a4＋a11)，成立，B正確，

C．若a42=a2a8，則(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),

即a12+6a1d+9d2=a12+8a1d＋7d2，得a1d=d2，

∵d≠0，∴a=d，符合≤1，C正確；

D.若b42=b2b8，則(a7+a8)2=(a3+a4)(a15+a16)，

即4a12+52a1d+169d2=4a12+68a1d+145d2，得16a1d=24d2，

∵d≠0，∴2a1=3d,不符合≤1,D錯(cuò)誤；

故答案為：D．

【分析】由已知利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷A與C；由數(shù)列遞推式分別求得b2，b4，b6，b8，分析B，D成立時(shí)是否滿足公差d≠0，≤1判斷B與D．

9．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示

【解析】【解答】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得，

①

②

①②聯(lián)立求出:

故答案為：A

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合已知條件求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，從而求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

10．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】解：利用前n項(xiàng)和公式即可求出當(dāng)n≥2時(shí)的，

因?yàn)閇]=,

當(dāng)n=1時(shí)，，所

以，故A選項(xiàng)不正確，

該數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始才為等差數(shù)列，B選項(xiàng)也是第一項(xiàng)不滿足，C選項(xiàng)也涉及到第一項(xiàng)不合乎題意，D選項(xiàng)不直接涉及到第一項(xiàng)故正確。

故答案為：D

【分析】首先利用已知條件結(jié)合的關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，該數(shù)列時(shí)從第二項(xiàng)開(kāi)始的等差數(shù)列，由此針對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)判斷即可得出結(jié)論。

11．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】解：∵數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，

∴n要取最大，d盡可能為小的整數(shù)，

故可假設(shè)d=1

∵a1=3，d=1

∴an=n+2

∴

則S11=88100，

故n的最大值為11.

故答案為：C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求解即可.

12．【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

【解析】【解答】由可得，化簡(jiǎn)得，即，解得.

故答案為：2

【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.

13．【答案】25

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】是等差數(shù)列，且，

設(shè)等差數(shù)列的公差d

根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：

可得

即：

整理可得：

解得：

根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：

可得：

.

故答案為：25.

【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和，即可求得答案.

14．【答案】16

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】數(shù)列是等差數(shù)列，又

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得：

①

是等差數(shù)列前n項(xiàng)和，且

利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得：

②

①②聯(lián)立，得：

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出等差數(shù)列前8項(xiàng)的和。

15．【答案】100

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】解：∵，∴，∴，

∴，

故答案為：100.

【分析】由已知列式，得到，代入等差數(shù)列的求和公式即可求值.

16．【答案】4

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，∴，∴，

故答案為：4.

【分析】由已知得到，利用等差數(shù)列的求和公式，代入化簡(jiǎn)即可求值.

17．【答案】0；-10

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示

【解析】【解答】解：，

解得，所以，

，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)n=4或5時(shí)，有最小值-10.

故答案為：0；-10.

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，解方程組求出首項(xiàng)和公差，即可求出和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值即可.

18．【答案】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，

設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，

，

從而：，由于公差不為零，故：，

數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.

（2）由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，

則不等式即：，整理可得：，

解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為7.

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì)

【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)直接求解即可；

(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

19．【答案】（1）設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，

則，，

，，解得，，

（2）由（1）知，

令，解得

當(dāng)時(shí)，可得；

當(dāng)時(shí)，可得，

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的求和

【解析】【分析】（1）利用公式，根據(jù)已知條件表達(dá)有關(guān)與d的方程組計(jì)算并得出答案；

（2）討論的符號(hào)去絕對(duì)值，分類(lèi)得出。

20．【答案】（1）數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為公差，

由

，

由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得，①

，②

聯(lián)立①②，解得，，

為通項(xiàng)公式為

（2）由（1）知，

，，

①當(dāng)n為偶數(shù)且n>5，此時(shí)

則，即

②當(dāng)n為奇數(shù)且n>5，此時(shí)

則，即

綜上所述，當(dāng)時(shí)，.

【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的求和

【解析】【分析】（1）直接利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式代入求解；

（2）分組求出當(dāng)為奇數(shù)和偶數(shù)的值，與作差結(jié)合二次函數(shù)或因式分解比較代數(shù)式的大小。

21．【答案】（1）因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，而，

所以①

時(shí)，②

①-②有：.

所以，

以上式子相乘，得

經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，，符合.

所以.

（2）由（1）知

所以

所以==

因?yàn)?，所以?/p>

所以，

即．

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和；數(shù)列的遞推公式；數(shù)列與不等式的綜合

【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，由利用Sn與an的關(guān)系，得，再利用累積法，可得an；

（2）由（1）得，利用裂項(xiàng)相消求和求得，再解不等式即可.

22．【答案】∵數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為

∴，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，滿足，

∴的通項(xiàng)公式為，

∴

∴是等差數(shù)列.

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)