基于monecarlo方法的壽險公司責任公積金風險分析

基于monecarlo方法的壽險公司責任公積金風險分析

一、死亡率增加對事業(yè)主債務的影響近年來，隨著社會經(jīng)濟發(fā)展水平和醫(yī)療水平的提高，中國各年齡段人口的死亡率普遍下降，中國人均人口盈余逐年增加。根據(jù)我國近三年的人口普查數(shù)據(jù),我國人口的零歲平均余命從1990年的68.55歲提升到2000年的71.40歲,到2010年已經(jīng)達到了74.83歲。由于我國人口死亡率尤其高齡人口的死亡率呈現(xiàn)逐年下降的趨勢,壽險公司或者養(yǎng)老金公司如果仍以靜態(tài)的生命表計算產(chǎn)品費率和計提責任準備金,將會對公司經(jīng)營產(chǎn)生不利的影響。以年金險為例,人口死亡率的改善、平均余命的提升將導致保單未來的年金給付增加,如果不調整計提的責任準備金數(shù)額,就可能導致壽險公司的償付能力不足,增加經(jīng)營風險。另外,由于壽險責任準備金在負債中的占比較大,因而責任準備金的充足性直接影響壽險公司的償付能力,因而有必要研究死亡率改善對壽險公司的準備金變動的影響。本文的研究主要基于兩方面;一方面是未來死亡率變動的預測;另一方面是靜態(tài)死亡率和動態(tài)死亡率下壽險公司不同類型產(chǎn)品的準備金分布情況。近年來國外在未來死亡率預測模型方面取得了很大進展。1992年,Lee-Carter在考慮到死亡率隨時間變化的因素后提出了一種死亡率預測模型,該模型簡潔方便,對死亡率歷史數(shù)據(jù)擬合較好,因而成為應用最廣泛的模型之一,其后的很多研究都是在Lee-Carter(1992)模型基礎上的改進。另外,BenjaminM.Friedmanetal(1988)、JeffreyR.Brownetal(2000)定性探討了長壽風險對年金產(chǎn)品的影響,指出年金產(chǎn)品定價時需要考慮死亡率改善的因素。M.Khalaf-Allahetal(2006)研究了不同性別、年齡和利率下死亡率改善因素對年金產(chǎn)品的影響。近年來國內也有很多人口死亡率預測方面的研究,代表性的文章有王曉軍等(2008,2012)、李志生等(2010)、韓猛等(2010),這些文章大多是關于國外的死亡率預測方法在中國人口數(shù)據(jù)上的應用研究,而沒有死亡率預測結果的進一步運用。祝偉(2012)在通過Lee-Carter(1992)模型預測中國人口死亡率的基礎上,定量分析了死亡率改善下年金產(chǎn)品的定價問題。本文將以Lee-Carter(1992)模型預測中國人口未來的死亡率,研究在未來死亡率改善的情況下,動態(tài)死亡率對壽險公司純保費責任準備金的影響。為此,第二部分簡要說明本文用到的隨機死亡率預測模型,第三部分介紹靜態(tài)死亡率和動態(tài)死亡率下壽險公司準備金的評估方法,第四部分針對中國的人口死亡數(shù)據(jù)進行實證分析,最后對全文總結。二、估計模型及步驟本文將利用Lee-Carter(1992)模型預測中國人口未來的死亡率。Lee-Carter(1992)模型的主要思路是將不同年齡或年齡段的死亡率變化分解成兩個部分:一是隨著時間而變化的時間因子,另一個是不隨時間而變化的年齡因子。該模型的公式如下:其中mx,t表示t年x歲時的中心死亡率,kt是時間因子,反映了死亡率隨日歷年變動的趨勢;εx,t表示t年x歲時中心死亡率的殘差,并且εx,t是一個均值為0,方差為σε2的白噪聲過程。為了保證式(1)中參數(shù)估計結果的唯一性,還要附加兩個約束條件:式(1)中參數(shù)ax、bx和kt的估計方法主要有三種:奇異值分解法、加權最小二乘法和極大似然估計法。本文使用奇異值分解法估計模型參數(shù),估計步驟如下:3.對步驟2得到的重新修正,使得修正后的能夠滿足預測的死亡數(shù)等于實際觀測的死亡數(shù),即對任意t成立,其中Ex,t和dx,t為年齡x歲的年中人口數(shù)和死亡數(shù)。4.最后,為了滿足約束條件(2),重新調整和,即最后的即為參數(shù)ax、bx和kt的估計值。三、保險公司南下風險的量化和儲備分配的模擬1.qx的退保情況本文將以保單發(fā)行時刻(t=0)的純保費責任準備金(期初責任準備金)來評估壽險公司所面臨的風險。假設某壽險公司期初共有N份保單,并且除被保險人死亡外,所有保單沒有中途退保的情況。令qx為年齡x歲的人在一年內死亡的概率,Nx為年齡x歲的被保險人數(shù),Dx為年齡x歲的人在一年內的死亡人數(shù),并假設Dx服從二項分布。假設x0為投保年齡,保單的保險期間為T年,F(D)為保單的死亡給付金額,而F(S)為保單的生存給付金額。Vt為保單在第t年時的純保費責任準備金,P為被保險人每年年初需繳納的純保費(繳費年限為n)。假設每個保單的給付模式均為期末給付,為利率折現(xiàn)因子,則對于不同的壽險險種,期初責任準備金的計算公式分別為:(1)定期壽險(2)延期m年的遞延年金(3)即期年金2.靜態(tài)死亡率假設由于目前壽險公司普遍使用靜態(tài)生命表計算保費,因此在未來死亡率改善的情況下,壽險產(chǎn)品的保費可能會被低估或高估,在保費估計錯誤的情況下,就會直接影響壽險公司準備金的充足性。為此,本文先以某個靜態(tài)生命表計算壽險公司各類產(chǎn)品的純保費,然后模擬不同死亡率假設下壽險公司的準備金分布。具體步驟如下:(1)在靜態(tài)死亡率假設下,首先要假設某一年齡的投保人數(shù),并假設死亡數(shù)Dx服從二項分布,然后依據(jù)前面的靜態(tài)死亡率表和死亡分布假設模擬出各年齡的死亡人數(shù)和生存人數(shù),最后利用前面的式(5)~式(7)計算出相應的純保費責任準備金。(2)在動態(tài)死亡率假設下,為了與靜態(tài)死亡率下的責任準備金作對比,首先假設最初的投保人數(shù)與前相同,保單價格亦與固定死亡率假設下的保單價格相同,但是計算純保費責任準備金時使用動態(tài)生命表。然后同樣假設死亡人數(shù)服從二項分布,模擬出各年齡的死亡人數(shù)和生存人數(shù),最后利用前面的式(5)~式(7)計算出相應的純保費責任準備金。(3)對每類保單,步驟(1)和步驟(2)各模擬10000次,即得到該類保單的責任準備金分布;然后針對每類保單,計算兩種模擬分布的期望、標準差、偏度、峰度、VaR值和尾部條件期望(CTE)以分析純保費責任準備金的風險。四、示范分析1.對相關數(shù)據(jù)的處理由于我國死亡資料并不充分,為了保證模型的預測效果,本研究僅使用連續(xù)年份的死亡資料。原始數(shù)據(jù)來源于1995~2000年《中國人口統(tǒng)計年鑒》、《中國2000年人口普查資料》,2002~2006年《中國人口統(tǒng)計年鑒》、2007~2010年《中國人口與就業(yè)統(tǒng)計年鑒》及《中國2010年人口普查資料》2012~2013《中國人口與就業(yè)統(tǒng)計年鑒》中全國男性分性別、年齡35~90+的死亡數(shù)(單歲組)以及年平均人口數(shù)據(jù),即1994~2012年共19年的死亡資料,每年包括35至90歲及以上共56個組的數(shù)據(jù)。對原始數(shù)據(jù)存在的問題及處理:(1)1995、2000、2005和2010年的原始表中死亡數(shù)和年平均人口數(shù)據(jù)末組年齡均超過90歲,此時需要將90歲及以上人口合并為一組重新計算中心死亡率;(2)1996年的末組年齡只到85+。因為多數(shù)年的死亡數(shù)據(jù)到90+,所以需要將該年的數(shù)據(jù)先擴展到90+,為此本文先使用對相鄰年數(shù)據(jù)線性插值的方法計算1996年85至90+的分年齡中心死亡率,然后對年平均人口和死亡人數(shù)進行拆分(1),最后利用拆分后的死亡數(shù)和年平均人口之比重新計算85到90歲及以上年齡的中心死亡率。2.死亡率改善對年金產(chǎn)品的影響從理論上講,死亡率改善對以定期壽險為代表的保障類險種和以終身年金為代表的年金類產(chǎn)品的影響是不同的。對保障類險種而言,在保險費率不變的情況下,死亡率改善將導致保費高估,責任準備金提取過多;而對年金類產(chǎn)品而言,在保險費率不變的情況下,死亡率改善將導致保費低估,進而導致責任準備金提取額不足,從而增加壽險公司的經(jīng)營風險。為了全面地研究死亡率改善對壽險公司的影響,本文選取了兩種保障類險種和兩種年金類險種作為對比。其中保障類險種分別選取10年期和20年期的定期壽險;因年金類險種的功能主要為增加被保險人退休后的收入,因此,本文設計的年金領取年齡均從61歲開始,分別以保險期間均為10年的遞延年金和即期年金探討死亡率改善對準備金風險的影響。為此,以下將只考慮A、B、C、D四種類型的保單,其中A、B為定期壽險,C、D為年金類險種,具體參數(shù)設定如表1所示:3.基于le-carter模型的死亡率預測為了考查Lee-Carter模型對中國男性人口死亡率的預測效果,本文先對1994~2007年的35~90+歲男性人口的死亡率應用Lee-Carter模型,得到Lee-Carter模型中參數(shù)ax,bx,kt的估計值。再以ARIMA模型預測kt,得到kt的預測適用ARIMA(0,1,0)模型,具體如下:通過上面的式(8)及預測2008—2012年男性人口35~90+的死亡率,并利用預測死亡率與實際死亡率計算平均絕對誤差(MAPE)(1),得到相應的MAPE值為21.70%。根據(jù)Lewi(1982)的標準,Lee-Carter模型對中國人口死亡率的預測效果良好。因此后面將利用1994~2012年的中國男性人口死亡率數(shù)據(jù),重新建立Lee-Carter模型,得到模型Lee-Carter模型中參數(shù)ax,bx,kt的估計值如下圖所示:再利用ARIMA(0,1,0)模型對kt進行預測,得到kt的預測模型如下:使用式(9)對未來kt進行預測,并將預測結果代入公式,即可預測未來各年的死亡率,從而建立動態(tài)生命表。例如對于2012年50歲的男性投保人來說,其2012年及未來各年的死亡率分別為q502012(1),q512013,q522014,……4.動態(tài)死亡率分析因為我們沒有壽險公司人口死亡的歷史數(shù)據(jù),也無法得到壽險公司不同性別人口未來死亡率的預測值,因此本文不采用中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗生命表CL1990~1993或者CL2000~2003作為壽險公司險種定價的基礎。而為了保持統(tǒng)計口徑的一致性并且便于與動態(tài)死亡率結果的比較,本文選取最新的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù),即2012年《中國人口和就業(yè)統(tǒng)計年鑒》中男性人口的死亡率(以后簡稱“靜態(tài)死亡率”)作為壽險公司各險種定價的基礎,并且假設各種壽險產(chǎn)品的定價利率均為固定利率3.5%。然后假設死亡數(shù)Dx服從二項分布(2),每類險種最初均有100000人投保,則在靜態(tài)死亡率下可模擬出各年齡的死亡人數(shù)和生存人數(shù);最后利用前面的式(5)~式(7)計算出相應的純保費責任準備金。對A、B、C、D類保單,上述過程分別重復10000次,即得到各類保單的責任準備金分布。對于A、B、C、D類保單中的每份保單,其直方圖如圖2所示。為了對準備金風險進行量化分析,針對每類保單,分別計算每份保單純保費責任準備金模擬分布的期望、標準差、偏度、峰度、VaR值和條件尾部期望(CTE),結果如表2所示。從圖2和表2可以看出,盡管各類保單的保障內容不同,保單的期初準備金期望除以保單期初保費收入,即得到保單平均成本,分別為0.153%,0.004%,1.062%,0.269%。期望均圍繞零點上下波動,各分布的偏度接近于0,而峰度接近于3,VaR(95)和CTE(95)均為正值。另外,險種A、B的VaR(95)和CTE(95)數(shù)值相差不大,險種C、D的VaR(95)和CTE(95)數(shù)值相差亦不大。這些都說明,如果仍使用與保單定價時相同的靜態(tài)死亡率評估壽險公司各險種的純保費準備金,即未來死亡率與保單定價時的死亡率保持一致時,則死亡率風險對于各類保單的期初準備金的影響并不顯著。(2)動態(tài)死亡率下的準備金分布隨著人民生活水平的提高和醫(yī)療條件的改善,近年來我國人口的死亡率明顯降低,因而如果保單定價時采用靜態(tài)生命表,就會導致由于未來死亡率的改善使得保障類險種的保費高估而年金類險種的保費低估的情況,進而會造成未來的準備金提取過多或者不足,影響壽險公司的經(jīng)營,甚至影響其償付能力。為此,本文將通過Lee-Carter模型預測每一年齡未來各年的死亡率,并依此建立動態(tài)生命表。在保費確定的情況下,分險種分析未來死亡率變化時的準備金充足情況。具體做法與前面靜態(tài)死亡率下的準備金風險分析方法類似,只是將其中的生命表用由Lee-Carter模型得到的動態(tài)生命表代替。下面的圖3是對A、B、C、D四類保單,分別模擬10000次純保費責任準備金后得到的每份保單的準備金分布直方圖。同前,為了對準備金風險進行量化分析,針對每類保單,分別計算每份保單純保費責任準備金模擬分布的期望、標準差、偏度、峰度、VaR值和條件尾部期望(CTE),結果如表3所示。從圖3和表3可以看出,對于各類保單,各分布的峰度和偏度相比表2沒有太大變化,但是定期壽險的均值均偏向負值而年金產(chǎn)品的均值均偏向正值,而且定期壽險的VaR(95)和CTE(95)均為負值而年金險的VaR(95)和CTE(95)則均為正值。另外,對兩種定期壽險產(chǎn)品A、B而言,產(chǎn)品B的VaR(95)和CTE(95)值明顯比產(chǎn)品A的對應值的絕對值大很多;對年金C和D而言,年金C的VaR(95)和CTE(95)比年金D的對應值大很多。這說明如果定價時采用靜態(tài)死亡率,而未來死亡率與本文計算的動態(tài)死亡率一致,死亡率改善會對壽險公司的準備金評估產(chǎn)生較大影響。具體地,對保障類產(chǎn)品而言,死亡率改善將存在準備金估計過高的風險,而且保險期限越長,風險越大;對年金類險種而言,死亡率改善將存在準備金估計不足的風險,而且被保險人領取年金的年齡越晚,風險越大。(3)不同死亡率下的準備金分布結果分析對于保障類險種來說,未來死亡率的改善和壽命的延長使得壽險公司未來的賠付率降低,保險金給付的時刻后延。因此,在動態(tài)死亡率下,當未來的保費保持不變時,保單期初準備