2018版高中數(shù)學(xué)（人教A版）必修1同步練習(xí)題：第3章 3.2.2 函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

學(xué)業(yè)分層測評(二十三)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(副)的函數(shù)解析式為y＝5x＋4000，而手套出廠價格為每副10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為()A．200副 B．400副C．600副 D．800副【解析】由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日產(chǎn)手套至少800副時才不虧本．【答案】D2．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A.eq\f(p＋q,2) B.eq\f(p＋1q＋1－1,2)C.eq\r(pq) D.eq\r(p＋1q＋1)－1【解析】設(shè)年平均增長率為x，則有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.【答案】D3．某種細(xì)胞在正常培養(yǎng)過程中，時刻t(單位：分)與細(xì)胞數(shù)n(單位：個)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：t02060140n128128根據(jù)表中數(shù)據(jù)，推測繁殖到1000個細(xì)胞時的時刻t最接近于()A．200 B．220C．240 D．260【解析】由表中數(shù)據(jù)可以看出，n與t的函數(shù)關(guān)系式為n＝2eq\f(t,20)，令n＝1000，則2eq\f(t,20)＝1000，而210＝1024，所以繁殖到1000個細(xì)胞時，時刻t最接近200分鐘，故應(yīng)選A.【答案】A4．若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是()A．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.9576))eq\f(x,100) B．y＝(0.9576)100xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.9579,100)))x D．y＝1－(0.0424)eq\f(x,100)【解析】設(shè)鐳一年放射掉其質(zhì)量的t%，則有95.76%＝1·(1－t)100，t＝1－(0.9576)eq\f(1,100)，∴y＝(1－t)x＝(0.9576)eq\f(x,100).【答案】A5．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x<A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c為常數(shù))．已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30min，組裝第A件產(chǎn)品用時15min，那么c和A的值分別是()A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,16【解析】由題意知，組裝第A件產(chǎn)品所需時間為eq\f(c,\r(A))＝15，故組裝第4件產(chǎn)品所需時間為eq\f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.將c＝60代入eq\f(c,\r(A))＝15，得A＝16.【答案】D二、填空題6．某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價付費(fèi))；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過8km時，超過部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則此次出租車行駛了________km.【解析】設(shè)出租車行駛xkm時，付費(fèi)y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0<x≤3，,8＋2.15x－3＋1，3<x≤8，,8＋2.15×5＋2.85x－8＋1，x>8，))由y＝22.6，解得x＝9.【答案】97．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過1%，則至少要清洗的次數(shù)是________(lg2≈0.3010)．【解析】設(shè)至少要洗x次，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，所以x≥eq\f(1,lg2)≈3.322，所以需4次．【答案】48．為了在“十一”黃金周期間降價促銷，某超市對顧客實(shí)行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額：①如果不超過200元，則不予優(yōu)惠；②如果超過200元，但不超過500元，則按標(biāo)價給予9折優(yōu)惠；③如果超過500元，其中500元按第②條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予7折優(yōu)惠．辛云和她母親兩次去購物，分別付款168元和423元，假設(shè)她們一次性購買上述同樣的商品，則應(yīng)付款額為________元．【解析】依題意，價值為x元商品和實(shí)際付款數(shù)f(x)之間的函數(shù)關(guān)系式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤200，,0.9x，200<x≤500，,500×0.9＋x－500×0.7，x>500.))當(dāng)f(x)＝168時，由168÷0.9≈187<200，故此時x＝168；當(dāng)f(x)＝423時，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此時x＝470.∴兩次共購得價值為470＋168＝638(元)的商品，∴500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6(元)，故若一次性購買上述商品，應(yīng)付款額為546.6元．【答案】546.6三、解答題9．某公司試銷某種“上海世博會”紀(jì)念品，每件按30元銷售，可獲利50%，設(shè)每件紀(jì)念品的成本為a元．(1)試求a的值；(2)公司在試銷過程中進(jìn)行了市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與每件售價x(元)滿足關(guān)系y＝－10x＋800.設(shè)每天銷售利潤為W(元)，求每天銷售利潤W(元)與每件售價x(元)之間的函數(shù)解析式；當(dāng)每件售價為多少時，每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【解】(1)∵按30元銷售，可獲利50%，∴a(1＋50%)＝30，解得a＝20.(2)∵銷售量y(件)與每件售價x(元)滿足關(guān)系y＝－10x＋800，則每天銷售利潤W(元)與每件售價x(元)滿足W＝(－10x＋800)(x－20)＝－10x2＋1000x＋16000＝－10(x－50)2＋9000，故當(dāng)x＝50時，W取最大值9000，即每件售價為50元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是9000元．10．有時可用函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.1＋15ln\f(a,a－x)，x≤6，,\f(x－4.4,x－4)，x>6，))描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識的掌握程度．其中x表示某學(xué)科知識的學(xué)習(xí)次數(shù)(x∈N*)，f(x)表示對該學(xué)科知識的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識有關(guān).(1)證明：當(dāng)x≥7時，掌握程度的增長量f(x＋1)－f(x)總是下降；(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,121]，(121,127]，(127,133]．當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應(yīng)的學(xué)科．【解】(1)證明：當(dāng)x≥7時，f(x＋1)－f(x)＝eq\f(0.4,x－3x－4)，而當(dāng)x≥7時，函數(shù)y＝(x－3)(x－4)單調(diào)遞增，且(x－3)(x－4)＞0，故函數(shù)f(x＋1)－f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x≥7時，掌握程度的增長量f(x＋1)－f(x)總是下降．(2)由題意可知0.1＋15lneq\f(a,a－6)＝0.85，整理得eq\f(a,a－6)＝e0.05，解得a＝eq\f(e0.05,e0.05－1)·6＝20.50×6＝123，又123∈(121,127]，故該學(xué)科是乙學(xué)科．[能力提升]1．向高為H的水瓶中注水，注滿為止．如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖3-2-7所示，那么水瓶的形狀是()圖3-2-7【解析】題圖反映隨著水深h的增加，注水量V增長速度越來越慢，這反映水瓶中水上升的液面越來越?。敬鸢浮緽2．某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x＜10，x∈N，,2x＋10，10≤x＜100，,1.5x，x≥100，x∈N，))x∈N，其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為()A．15 B．40C．25 D．130【解析】若4x＝60，則x＝15＞10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿足題意；若1.5x＝60，則x＝40＜100，不合題意．故擬錄用人數(shù)為25人．【答案】C3．某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震．地震專家對發(fā)生的余震進(jìn)行了監(jiān)測，記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：強(qiáng)度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級(里氏)5.05.25.35.4注：地震強(qiáng)度是指地震時釋放的能量．地震強(qiáng)度(x)和震級(y)的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y＝algx＋b(其中a，b為常數(shù))．利用散點(diǎn)圖(如圖3-2-8)可知a的值等于________．(取lg2＝0.3進(jìn)行計(jì)算)圖3-2-8【解析】由記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)可知x＝1.6×1019時，y＝5.0，x＝3.2×1019時，y＝5.2.所以5.0＝alg(1.6×1019)＋b， ①5．2＝alg(3.2×1019)＋b， ②②－①得0.2＝algeq\f(3.2×1019,1.6×1019)，0.2＝alg2.所以a＝eq\f(0.2,lg2)＝eq\f(0.2,0.3)＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)4．某公司試銷一種成本單價為500元的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時銷售單價不低于成本單價，又不高于800元．經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)，函數(shù)圖象如圖3-2-9所示．圖3-2-9(1)根據(jù)圖象，求一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的表達(dá)式；(2)設(shè)公司獲得的毛利潤(毛利潤＝銷售總價－成本總價)為S元．試問銷售單價定為多少時，該公司可獲得最大毛利潤？最大毛利潤是多少？此時的銷售量是多少？【解】(1)由圖象知，當(dāng)x＝600時，y＝400；當(dāng)x＝700時，y＝300，代入y＝kx＋b(k≠0)中，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400＝600k＋b，,300＝700k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a