射影直線和射影平面課件

中心投影無(wú)窮遠(yuǎn)元素齊次坐標(biāo)對(duì)偶原則Desargues定理齊次點(diǎn)坐標(biāo)復(fù)元素齊次線坐標(biāo)主要內(nèi)容：附帶內(nèi)容：中心投影無(wú)窮遠(yuǎn)元素齊次坐標(biāo)對(duì)偶原則Desargues定理齊次第一節(jié)射影直線和射影平面§2.1.1中心射影§2.1.2無(wú)窮遠(yuǎn)元素§2.1.3一維、二維射影空間§2.1.4圖形的射影性質(zhì)第一節(jié)射影直線和射影平面§2.1.1中心§2.1.1中心投影定義2.1OP投射線P'

l上的點(diǎn)P在l'上的像Pl'

上的點(diǎn)P'在l上的像一、平面上兩直線間的中心射影§2.1.1中心投影定義2.1OP投射線POV'與l不相交，

V'

為l'上的影消點(diǎn)影消點(diǎn)的存在，導(dǎo)致兩直線間的中心射影不是一個(gè)雙射(一一對(duì)應(yīng))。X=l×l'

自對(duì)應(yīng)點(diǎn)(不變點(diǎn))OU與l'

不相交，

U為l上的影消點(diǎn)三個(gè)特殊的點(diǎn)：因此，φ–1:l'→l是l'到l的中心射影OV'與l不相交，V'為l'上的影消點(diǎn)影消點(diǎn)的存在OP投射線二、平面到平面的中心射影定義2.2P'

π

上的點(diǎn)P在π'上的像OP投射線二、平面到平面的中心射影定義2.2P'Pπ'

上的點(diǎn)P'在π上的像因此，是π‘到π的中心射影三條特殊的直線：

自對(duì)應(yīng)直線(不變直線)u為由影消點(diǎn)構(gòu)成的影消線v'為由影消點(diǎn)構(gòu)成的影消線Pπ'上的點(diǎn)P'在π上的像因此，是π‘到π的注：影消線的存在，導(dǎo)致兩平面間的中心射影不是一個(gè)雙射（一一對(duì)應(yīng))。中心射影不是雙射的原因：存在影消點(diǎn)、影消線存在影消點(diǎn)、影消線的原因：平行的直線沒(méi)有交點(diǎn)，平行的平面沒(méi)有交線。如何使得中心射影成為一個(gè)雙射(一一對(duì)應(yīng))？給平行線添加交點(diǎn)！注：影消線的存在，導(dǎo)致兩平面間的中心射影不是一個(gè)中心射影不是例：求一個(gè)中心射影將任意一個(gè)三角形射影成等腰三角形。解：例：求一個(gè)中心射影將任意一個(gè)三角形射影成等腰三角形。解：目標(biāo)：改造空間，使得中心射影成為雙射途徑：給平行直線添加交點(diǎn)要求：不破壞下列兩個(gè)基本關(guān)系兩條相異直線確定唯一一個(gè)點(diǎn)(交點(diǎn))兩個(gè)相異點(diǎn)確定唯一一條直線(連線)點(diǎn)與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系§2.1.2無(wú)窮遠(yuǎn)元素目標(biāo)：改造空間，使得中心射影成為雙射途徑：給平行直線添加交點(diǎn)一、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為區(qū)別起見，稱平面上原有的點(diǎn)為有窮遠(yuǎn)點(diǎn)(普通點(diǎn))，

(2)相互平行的直線上添加的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相同,約定一：(1)平面內(nèi)在每一條直線上添加唯一一個(gè)點(diǎn)，此點(diǎn)不是該直線上原有的點(diǎn).稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(理想點(diǎn))，記作P∞不平行的直線上添加的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)不同.注：1）無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)實(shí)際上是二維空間中平行直線的交點(diǎn)。記作P一、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為區(qū)別起見，稱平面上原有的點(diǎn)為有窮遠(yuǎn)點(diǎn)(普通點(diǎn))2）由于平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多組平行線，因此一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。例：一條直線和它的平行平面相交于一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。證明：如圖，2）由于平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多組平行線，因此一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)例：一條二、無(wú)窮遠(yuǎn)直線區(qū)別起見，稱平面上原有的直線為有窮遠(yuǎn)直線(通常直線)，l約定二：按約定一的(1),(2)添加無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)之后，平面上全體無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)構(gòu)成一條直線，稱為無(wú)窮遠(yuǎn)直線(理想直線)，記作l∞無(wú)窮遠(yuǎn)直線實(shí)際上是三維空間中平行平面的交線注：即空間中任意一組平行平面交于一條無(wú)窮遠(yuǎn)直線。二、無(wú)窮遠(yuǎn)直線區(qū)別起見，稱平面上原有的直線為有窮遠(yuǎn)直線(通常推導(dǎo)：推導(dǎo)：理解約定一1、對(duì)于平面上每一方向，有唯一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).平行的直線交2、每一條通常直線上有且僅有一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).3、平面上添加的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)個(gè)數(shù)＝過(guò)一個(gè)通常點(diǎn)的直線數(shù).4、不平行的直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)不同.于同一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)；交于同一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的直線相互平行.總結(jié)：線的關(guān)聯(lián)關(guān)系，同時(shí)使得中心射影成為雙射（一一對(duì)應(yīng)）.在平面上添加無(wú)窮遠(yuǎn)元素之后，沒(méi)有破壞點(diǎn)與直理解約定一1、對(duì)于平面上每一方向，有唯一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).平行的直兩直線平行不平行交于唯一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)有窮遠(yuǎn)點(diǎn)平面上任二直線總相交5、空間中每一組平行直線交于唯一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).6、任一直線與其平行平面交于唯一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).因而，對(duì)于通常直線：兩直線平行不平行交于唯一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)有窮遠(yuǎn)點(diǎn)平面上任二直理解約定二1、無(wú)窮遠(yuǎn)直線為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的軌跡.無(wú)窮遠(yuǎn)直線上的點(diǎn)均為2、每一條通常直線與無(wú)窮遠(yuǎn)直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)為該直3、每一平面上有且僅有一條無(wú)窮遠(yuǎn)直線.4、每一組平行平面有且僅有一條交線為無(wú)窮遠(yuǎn)直線；無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)；平面上任何無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)均在無(wú)窮遠(yuǎn)直線上.線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).過(guò)同一條無(wú)窮遠(yuǎn)直線的平面相互平行。理解約定二1、無(wú)窮遠(yuǎn)直線為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的軌跡.無(wú)窮遠(yuǎn)直線上的點(diǎn)兩平面平行不平行交于唯一無(wú)窮遠(yuǎn)直線有窮遠(yuǎn)直線空間中任二平面必相交于唯一直線因而，對(duì)于通常平面：兩平面平行不平行交于唯一無(wú)窮遠(yuǎn)直線有窮遠(yuǎn)直線空間中任

定義2.3添加無(wú)窮遠(yuǎn)直線后的平面稱為仿射平面;在仿射直線上不區(qū)分有窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則這條直線稱添加無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)后的歐氏直線統(tǒng)稱為仿射直線；一、射影直線和射影平面的定義若在仿射平面上不區(qū)分有窮遠(yuǎn)線和無(wú)窮遠(yuǎn)線，則這個(gè)平面稱為射影平面（拓廣平面）§2.1.3射影直線和射影平面為射影直線(拓廣直線）.定義2.3添加無(wú)窮遠(yuǎn)直線后的平面稱為仿射平面;在仿射直線上(1)拓廣直線的封閉性拓廣直線：向兩方前進(jìn)最終都到達(dá)同二、射影直線、射影平面的基本性質(zhì)及模型歐氏直線：向兩個(gè)方向無(wú)限伸展1、射影直線(拓廣直線)定理2.1(1)兩個(gè)相異的拓廣點(diǎn)確定唯一一條拓廣直線；在拓廣平面上,點(diǎn)與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系成立：(2)兩條相異的拓廣直線確定唯一一個(gè)拓廣點(diǎn).一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(1)拓廣直線的封閉性拓廣直線：向兩方前進(jìn)最終都到達(dá)同二(2)射影直線在歐氏平面的模型為圓注：通常點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)統(tǒng)稱為拓廣點(diǎn)；添加無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)之后的直線和無(wú)窮遠(yuǎn)直線統(tǒng)稱為拓廣直線。(2)射影直線在歐氏平面的模型為圓注：通常點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)統(tǒng)(3)拓廣直線上點(diǎn)的分離關(guān)系歐氏直線：一點(diǎn)區(qū)分直線為兩個(gè)部分。拓廣直線：一點(diǎn)不能區(qū)分直線為兩個(gè)部分。歐氏直線：兩點(diǎn)確定直線上的一條線段。拓廣直線：不同的兩點(diǎn)把直線分成兩條線段，其中一條含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，另一條不含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。點(diǎn)偶A,B分離點(diǎn)偶C,D點(diǎn)偶A,B不分離點(diǎn)偶C,D(3)拓廣直線上點(diǎn)的分離關(guān)系歐氏直線：一點(diǎn)區(qū)分直線為兩個(gè)(i)任一直線劃分歐氏平面為兩個(gè)不同的區(qū)域任一直線不能劃分拓廣平面為兩個(gè)不同的區(qū)域2、射影平面(拓廣平面)(1)拓廣平面的封閉性從兩個(gè)方面理解：(i)任一直線劃分歐氏平面為兩個(gè)不同的區(qū)域任一直線不能劃分(ii)兩條相交直線劃分歐氏平面為四個(gè)不同的區(qū)域兩條相交直線劃分拓廣平面為兩個(gè)不同的區(qū)域在拓廣平面上，可以證明：I，II為同一區(qū)域III，IV為同一區(qū)域(ii)兩條相交直線劃分歐氏平面為四個(gè)不同的區(qū)域兩條相交直(2)拓廣平面的拓?fù)淠Ｐ?2)拓廣平面的拓?fù)淠Ｐ蚆?bius帶注：默比烏斯帶（M?bius帶）是射影平面的一部分。默比烏斯帶的作法：M?bius帶注：默比烏斯帶（M?bius帶）是射影平面三、射影基本形1、一維基本形(1)點(diǎn)列記號(hào)l(A,B,C,…)或l(P)底元素(1)'線束記號(hào)L(a,b,c,…)或L(p)線束中心元素同一直線上點(diǎn)的集合平面上過(guò)同一點(diǎn)的直線的集合三、射影基本形1、一維基本形(1)點(diǎn)列記號(hào)l(A,B,2、二維基本形(2)點(diǎn)場(chǎng)(2)'線場(chǎng)π稱為點(diǎn)場(chǎng)的底，π稱為線場(chǎng)的底，同一平面上點(diǎn)的集合同一平面上直線的集合其上的點(diǎn)稱為元素.其上的直線稱為元素.2、二維基本形(2)點(diǎn)場(chǎng)(2)'線場(chǎng)π稱為點(diǎn)場(chǎng)的底，3、一對(duì)重要的基本圖形不共線三點(diǎn)及其兩兩連線構(gòu)成的圖形三線形

三點(diǎn)形不共點(diǎn)三直線及其兩兩交點(diǎn)構(gòu)成的圖形3、一對(duì)重要的基本圖形不共線三點(diǎn)及其兩兩連線三線形三點(diǎn)形不頂點(diǎn)：A,B,C邊：BC,CA,AB顯然，射影基本形、三點(diǎn)形和三線形都在中心射影下不變邊：a,b,c頂點(diǎn)：b×c,c×a,a×b記號(hào)：三點(diǎn)形ABC記號(hào)：三線形abc頂點(diǎn)：A,B,C顯然，射影基本形、三點(diǎn)形和三線形都在中心§2.1.4圖形的射影性質(zhì)一、透視對(duì)應(yīng)二、射影不變性和射影不變量引進(jìn)無(wú)窮遠(yuǎn)元素以后，便可以通過(guò)中心射影建立直線上點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)，這種一一對(duì)應(yīng)稱為透視對(duì)應(yīng)。定義2.4：

同樣，以通過(guò)中心射影建立二平面之間點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)，也稱為透視對(duì)應(yīng)。定義2.5：經(jīng)過(guò)一切中心射影(透視對(duì)應(yīng))后圖形所具有的不變性和不變量，叫做圖形的射影不變性和射影不變量?！?.1.4圖形的射影性質(zhì)一、透視對(duì)應(yīng)二、射影不變性注：1）同素件，結(jié)合性都是射影不變性。3）圓經(jīng)過(guò)某些中心射影后不變，但經(jīng)過(guò)另一些中心射影可能變成其它二次曲線而不一定是圓，因此圓這一圖形不具有射影性質(zhì)。2）圓錐曲線經(jīng)過(guò)中心射影后的象還是圓錐曲線，所以我們說(shuō)圓錐曲線具有射影性質(zhì)。注：1）同素件，結(jié)合性都是射影不變性。3

例1：相交于影消線的二直線必射影成平行直線。證明：例1：相交于影消線的二直線必射影成平行直線。證明：反例：例2：?jiǎn)伪炔皇巧溆安蛔兞?。反例：?：?jiǎn)伪炔皇巧溆安蛔兞俊?)透視對(duì)應(yīng)不保留平行性.(由例1)2)透視對(duì)應(yīng)不保留兩點(diǎn)距離不變。（由例2）注：3）透視對(duì)應(yīng)不保留二直線間的夾角不變。（由例1）因