網(wǎng)絡(luò)分析與綜合網(wǎng)絡(luò)圖論課件

在前面所學(xué)的“電工原理”等課程中，由于網(wǎng)絡(luò)（即所謂的“電路”）結(jié)構(gòu)比較簡單，人們可以比較容易地利用“電工原理”中介紹的各種方法去求解網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。然而隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展和提高，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜（支路數(shù)和節(jié)點數(shù)大大地增加），再用那些傳統(tǒng)的方法來分析和設(shè)計已經(jīng)是力不從心了，因此有必要尋找一種全新的系統(tǒng)化的即能夠把計算機(jī)作為輔助計算工具的方法來進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)分析和設(shè)計，這種方法就是網(wǎng)絡(luò)圖論。返回2023/9/131在前面所學(xué)的“電工原理”等課程中，由于網(wǎng)絡(luò)（即所謂的“電路”圖論雖然屬于拓?fù)鋵W(xué)的范疇，但是它的應(yīng)用已滲透到許多學(xué)科領(lǐng)域，它在電路（網(wǎng)絡(luò)）中的應(yīng)用稱為網(wǎng)絡(luò)圖論或網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洹１菊陆榻B圖的一些基本知識，并結(jié)合電路分析的方法，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞闹R，系統(tǒng)地建立各種網(wǎng)絡(luò)方程的基本矩陣形式，以便進(jìn)行分析和計算。2023/9/132圖論雖然屬于拓?fù)鋵W(xué)的范疇，但是它的應(yīng)用已滲透到許多學(xué)科領(lǐng)域，本章主要內(nèi)容圖的基本知識拓?fù)渚仃囯娋W(wǎng)絡(luò)的矩陣分析法返回2023/9/133本章主要內(nèi)容圖的基本知識返回2023/8/23圖的基本知識圖論的發(fā)展簡史

網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞幕靖拍?/p>

樹

基本回路、基本割集

基本回路

割集

基本割集割集分析法返回2023/9/134圖的基本知識圖論的發(fā)展簡史基本回路返回2023/8/圖論的發(fā)展簡史哥尼斯堡橋

漢密爾登圈平面圖與非平面圖電網(wǎng)絡(luò)方程四色定理返回2023/9/135圖論的發(fā)展簡史哥尼斯堡橋返回2023/8/25哥尼斯堡橋瑞士數(shù)字家歐拉（Euler）發(fā)表了一篇討論哥尼斯堡（這是原十八世紀(jì)東普魯士、現(xiàn)為立陶宛的一個城市）七橋（如圖所示，其中A、B、C、D為四塊陸地，其余為連接為四地的七座橋梁）難題的論文。2023/9/136哥尼斯堡橋瑞士數(shù)字家歐拉（Euler）發(fā)表了一篇討論哥尼斯哥尼斯堡橋這篇論文討論的主要內(nèi)容是：從A、B、C、D任何一地出發(fā)，走遍七座橋，但每座橋只能經(jīng)過一次（一筆畫）。這個想法能不能實現(xiàn)？歐拉經(jīng)過多次實驗都沒有成功；最后歐拉認(rèn)為上述目的是無法實現(xiàn)的，并總結(jié)出一個通用判定準(zhǔn)則：2023/9/137哥尼斯堡橋這篇論文討論的主要內(nèi)容是：從A、B、C、D任哥尼斯堡橋⑴連接奇數(shù)個橋的陸地只有一個或超過兩個以上時，不能實現(xiàn)一筆畫；⑵連接奇數(shù)個橋的陸地僅有二個時，則從兩者中的任一塊陸地出發(fā)，可以實現(xiàn)一筆畫，但終止在另一塊陸地上；⑶每塊陸地都接有偶數(shù)個橋時，則從任一塊陸地出發(fā)都能實現(xiàn)一筆畫，并且回到原出發(fā)點。2023/9/138哥尼斯堡橋⑴連接奇數(shù)個橋的陸地只有一個或超過兩個以上時，哥尼斯堡橋?qū)㈥懙赜命c來表示，橋用線段來表示，就構(gòu)成了一個圖。要想一筆畫出這個圖，就要求這個圖滿足下面的條件：圖必須是連通的，且每個頂點所關(guān)聯(lián)的邊的條數(shù)都是偶數(shù)，此時，一筆畫的起點與終點相同；若其中僅有一對頂點關(guān)聯(lián)的邊數(shù)是奇數(shù)，則可以從這兩頂點之一出發(fā)，終止于另一個頂點完成一筆畫。2023/9/139哥尼斯堡橋?qū)㈥懙赜命c來表示，橋用線段來表示，就構(gòu)成了一個圖。哥尼斯堡橋哥尼斯堡七橋等效模擬圖見圖，由于該圖中A、B、C、D四點所關(guān)聯(lián)的邊都是奇數(shù)，因而不可能實現(xiàn)不重復(fù)地走遍七座橋。歐拉最先一個實際問題化為一個圖論的問題，并加以解決，所以后來人們公認(rèn)歐拉為圖論的創(chuàng)始人，把一筆畫出來的路稱為歐拉路。返回2023/9/1310哥尼斯堡橋哥尼斯堡七橋等效模擬圖見圖，由于該圖中A、B、C漢密爾登圈英國數(shù)學(xué)家漢密爾登（Hamiltonian）發(fā)明了一種稱為EulerTrail的游戲：在一個畫在平面上有20個頂點的圖中，把這20個頂點當(dāng)作20個城市，旅行者從其中某一個城市出發(fā)，能否找出一條經(jīng)過所有城市，但只能經(jīng)過一次的閉合路徑？回答是肯定的（如圖中按從小到大的數(shù)字即1→2→3→…→19→20→1的路徑就是滿足要求的一條路徑）。該回路稱為漢密爾登圈，而含有漢密爾登圈的圖稱為漢密爾登圖。2023/9/1311漢密爾登圈英國數(shù)學(xué)家漢密爾登（Hamiltonian）發(fā)明漢密爾登圈

2023/9/1312漢密爾登圈2023/8/212漢密爾登圈歐拉路與漢密爾登圈的區(qū)別：前者的一條路必須經(jīng)過每一條邊且只能經(jīng)過一次，而經(jīng)過各頂點的次數(shù)不限；后者的一條路必須經(jīng)過每一個頂點且只能經(jīng)過一次，而經(jīng)過邊的次數(shù)不限，也可以不經(jīng)過。返回2023/9/1313漢密爾登圈歐拉路與漢密爾登圈的區(qū)別：前者的一條路必須經(jīng)過每如果圖中的所有邊在頂點以外的地方均不相交，那么這個圖就稱為平面圖，否則就是非平面圖。判斷一個圖是不是一個平面圖，可以看它是否滿足公式：n–b+f=2

（其中n、b、f分別為圖的頂點數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)），如果滿足，這個圖就是平面圖，反之，這個圖就是非平面圖。平面圖與非平面圖返回2023/9/1314如果圖中的所有邊在頂點以外的地方均不相交，那么這個圖就稱為平電網(wǎng)絡(luò)方程如何確定及列出給定電網(wǎng)絡(luò)的獨立方程是較長時間困擾人們的問題?；鶢柣舴颍↘irchhoff）由樹的概念提出了解決確定獨立方程數(shù)的方法；還提出了列出集總（或分布）參數(shù)電網(wǎng)絡(luò)的相應(yīng)方程的兩個基本方法：KVL（基爾霍夫回路電壓定律）、KCL（基爾霍夫節(jié)點電流定律）。返回2023/9/1315電網(wǎng)絡(luò)方程如何確定及列出給定電網(wǎng)絡(luò)的獨立方程是較長時間困擾四色定理四色定理起源于對地圖的染色：一個英國人提出，他只需四種顏色，就能使平面地圖上任兩個相鄰國家的顏色不同，這里所謂的相鄰是指兩個國家有一段公共邊界。將這個四色問題轉(zhuǎn)化成圖論的問題則為：用一個頂點代表一個國家，如果某二個國家相鄰，就用一條線（邊）將對應(yīng)二個頂點連接起來，證明只需要有四種顏色，就可以使所有相鄰的頂點有不同顏色，這就是四色定理（該定理在1976年得到了證明）。返回2023/9/1316四色定理四色定理起源于對地圖的染色：一個英國人提出，他只需網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞幕靖拍罟?jié)點的度

子圖

通路

連通圖和非連通圖

回路

圖的定義及電網(wǎng)絡(luò)圖的表示

與圖有關(guān)的幾個名詞

返回2023/9/1317網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞幕靖拍罟?jié)點的度圖的定義及電網(wǎng)絡(luò)圖的表示與圖圖的定義及電網(wǎng)絡(luò)圖的表示圖：一組頂點與線段（邊）的集合，邊的兩端終止于頂點，又稱為“線圖”，可用G（graph）表示。它把實際的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)用頂點和線段抽象地表示成幾何圖形。電網(wǎng)絡(luò)中各支路兩端的電壓、流過各支路的電流之間的規(guī)律服從于定理KVL、KCL，它們只與網(wǎng)絡(luò)的連接形式有關(guān)，而與各支路中所含的元件類型無關(guān)。2023/9/1318圖的定義及電網(wǎng)絡(luò)圖的表示圖：一組頂點與線段（邊）的集合，邊圖的定義及電網(wǎng)絡(luò)圖的表示圖或線性圖，還可以簡稱為“圖”。為了習(xí)慣或方便，我們?nèi)钥煞Q圖中的頂點為節(jié)點（Node），稱線段為支路（Branch）。我們用圓點表示節(jié)點（或稱結(jié)點），用線段表示支路，這樣就可以得到一個抽象的描述網(wǎng)絡(luò)連接情況的圖，把它稱為網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)鋱D，也可以稱為線2023/9/1319圖的定義及電網(wǎng)絡(luò)圖的表示圖或線性圖，還可以簡稱為“圖”。為圖的定義及電網(wǎng)絡(luò)圖的表示其中線段上沒有方向箭頭的圖稱為無向圖；如果各線段上有箭頭，它表示所對應(yīng)支路的電流或電壓降的參考方向的圖稱為有向圖，又稱為有向線圖，在實際應(yīng)用中，有向圖用得比較多。返回2023/9/1320圖的定義及電網(wǎng)絡(luò)圖的表示其中線段上沒有方向箭頭的圖稱為無向與圖有關(guān)的幾個名詞——節(jié)點的度G中某節(jié)點的度，表示與該節(jié)點相關(guān)聯(lián)的支路數(shù)。如圖中節(jié)點①、②、③、④的度都為3，因為與它們相關(guān)聯(lián)的支路都有3條。返回2023/9/1321與圖有關(guān)的幾個名詞——節(jié)點的度G中某節(jié)點的度，表示與該節(jié)與圖有關(guān)的幾個名詞——子圖G中的任一部分節(jié)點與支路的集合，可以用表Gs示（Sub-graph）。如圖中節(jié)點①、②、③與支路b2、b4構(gòu)成一個子圖，節(jié)點①、②、③、④與支路b1、b5、b6構(gòu)成一個子圖，節(jié)點①、②、③、④與支路b3、b5也構(gòu)成一個子圖……。返回2023/9/1322與圖有關(guān)的幾個名詞——子圖G中的任一部分節(jié)點與支路的集與圖有關(guān)的幾個名詞——通路兩個端節(jié)點，通過內(nèi)節(jié)點及相應(yīng)支路相連而構(gòu)成的子圖（或路徑）。端節(jié)點：僅與一條支路相連的節(jié)點，它的度為1。內(nèi)節(jié)點：與二條或二條以上的支路相連的節(jié)點，其度大于等于2（但通路的內(nèi)節(jié)點的度只能為2）。2023/9/1323與圖有關(guān)的幾個名詞——通路兩個端節(jié)點，通過內(nèi)節(jié)點及相應(yīng)與圖有關(guān)的幾個名詞——通路在圖中如果單看節(jié)點①、②、④與支路b1、b2就構(gòu)成一條通路（其中節(jié)點②、④為端節(jié)點，節(jié)點①為內(nèi)節(jié)點），節(jié)點①、②、③、④與支路b2、b3、b5也構(gòu)成一條通路（其中節(jié)點③、④為端節(jié)點，節(jié)點①、②為內(nèi)節(jié)點）。返回2023/9/1324與圖有關(guān)的幾個名詞——通路在圖中如果單看節(jié)點①、②、④與圖有關(guān)的幾個名詞——連通圖和非連通圖

若G中任二個節(jié)點間至少有一條通路，則稱G為連通圖（ConnectedGraph），否則G為非連通圖（UnconnectedGraph）。如圖中節(jié)點①、②、④與支路b1、b2構(gòu)成的子圖和節(jié)點①、②、③、④與支路b1、b5、b6構(gòu)成的子圖都是連通圖，而節(jié)點①、②、③、④與支路b3、b5構(gòu)成的子圖就是非連通圖。返回2023/9/1325與圖有關(guān)的幾個名詞——連通圖和非連通圖若G中任二個節(jié)點與圖有關(guān)的幾個名詞——回路通路的兩端節(jié)點重合時形成的一個閉合路徑就是回路（Loop或Circuit）?；芈返奶攸c是：當(dāng)移去其中任何一條支路時，路徑則沒有閉合，或者它其中每個節(jié)點的度均為2。如圖中節(jié)點①、②、③與支路b2、b3、b4構(gòu)成的子圖，節(jié)點①、③、④與支路b1、b3、b6構(gòu)成的子圖，節(jié)點②、③、④與支路b4、b5、b6的子圖……。特殊地，一個節(jié)點和一條支路也可以構(gòu)成一個回路，我們把它稱為“自環(huán)”。返回2023/9/1326與圖有關(guān)的幾個名詞——回路通路的兩端節(jié)點重合時形成的一個閉合樹樹在拓?fù)淅碚撚绕湓谖覀冞@里的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲惺且粋€非常重要的概念。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲械臉涫且唤M支路及與它們相關(guān)節(jié)點的集合，對于每個連通圖來說，其樹的選擇不是唯一的，而一旦確定了樹以后，整個圖就分成了樹枝和連枝二部分：構(gòu)成樹的各支路稱為樹枝，而圖中除樹以外的剩余部分支路則被稱為連枝，其集合又稱為對應(yīng)樹的“補樹”。返回2023/9/1327樹樹在拓?fù)淅碚撚绕湓谖覀冞@里的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲惺且粋€非常重要的概樹樹的定義

兩種特殊類型的樹：線樹、星樹

樹的幾個基本定理

返回2023/9/1328樹樹的定義返回2023/8/228樹的定義包含有圖G中所有節(jié)點但又無回路的連通子圖。詳細(xì)來說就是：具有n+1個節(jié)點，b條支路連通圖G的一個連通子圖，若具有下列特性中的任意兩個：⑴包含圖G的所有節(jié)點；⑵具有n條支路；⑶沒有回路。這就是圖G的一個樹（Tree），可以用T

表示。2023/9/1329樹的定義包含有圖G中所有節(jié)點但又無回路的連通子圖。詳細(xì)來下面是左圖所示網(wǎng)絡(luò)的部分樹。樹的定義返回2023/9/1330下面是左圖所示網(wǎng)絡(luò)的部分樹。樹的定義返回2023/8/兩種特殊類型的樹——線樹如果其所有樹枝僅連成了一條通路（路徑），那么這個樹就稱為線樹，如下圖所示的樹；返回2023/9/1331兩種特殊類型的樹——線樹如果其所有樹枝僅連成了一條通路（兩種特殊類型的樹——星樹如果其所有樹枝有一個公共的頂點，那么這個樹就稱為星樹，如下圖所示的樹（它們的公共頂點分別是節(jié)點④和節(jié)點①）；返回2023/9/1332兩種特殊類型的樹——星樹如果其所有樹枝有一個公共的頂點，樹的幾個基本定理定理一：每一個連通圖G至少存在一個樹：⑴如果G中不含有回路，則G就是一個樹；⑵如果G中含有回路，那么在保證G連通的前提下，移去某一回路的一條支路，并按照這種方法，破壞掉所有的回路，剩下的就是樹。定理二：若連通圖中包含有n+1個節(jié)點，那么它的樹必定有n條樹枝。定理三：如果連通圖G中的任意兩節(jié)點之間，當(dāng)且僅當(dāng)存在一條通路（路徑）時，則G就是一個樹。2023/9/1333樹的幾個基本定理定理一：每一個連通圖G至少存在一個樹：2樹的幾個基本定理定理四：在含有n+1個節(jié)點的連通圖G中，若具有如下性質(zhì)之一，則G就是一個樹；反之，如果G是一個樹，則它就具有以下性質(zhì)：⑴

G連通但沒有回路；⑵

G有n條支路，且無回路；⑶

G連通，且含有n條支路；⑷

G沒有回路，但任意在兩節(jié)點間加一條支路，就會出現(xiàn)一個回路；⑸

G連通，但移去一條支路后，G就不連通了；⑹從G中任一個節(jié)點到另一個節(jié)點，有且僅有一條通路（或路徑）。返回2023/9/1334樹的幾個基本定理定理四：在含有n+1個節(jié)點的連通圖G中基本回路基本回路是回路的一種，是一種特殊的回路。定義：（一般在有向圖中考慮）單連枝回路，即它是由且僅由一條連枝支路，其余均為樹枝支路構(gòu)成的。2023/9/1335基本回路基本回路是回路的一種，是一種特殊的回路。2023/8基本回路的特點其方向取連枝支路的電流參考方向；對給定的連通圖（節(jié)點有n+1個，支路有b

條）來說，基本回路的數(shù)量是一定的，為 b-n個。

返回2023/9/1336基本回路的特點其方向取連枝支路的電流參考方向；返回202割集定義：連通圖G中一個邊（支路）的最小集合c。性質(zhì)：⑴移去c中所有的支路后，G就被分成兩個不相連的子圖Gs（也可以分成兩個以上的Gs，但如果不加說明，后面所指割集均是只分成兩個Gs的簡單割集）；⑵若保留c中任一條支路，而移去其余支路，G仍是連通的。2023/9/1337割集定義：連通圖G中一個邊（支路）的最小集合c。割集頂點割集：移去c后，兩個中Gs有一個孤立頂點。如右圖中，取b1、b5、b6為一個割集c5，移去c5

后剩下二部分：其一為④節(jié)點，其二為①、②、③節(jié)點和支路b2、b3、b4，這二部分不連通，且一部分就只剩④節(jié)點，所以把這個c5

割集稱為頂點割集。同理，左圖中，c3

也是一個頂點割集。返回2023/9/1338割集頂點割集：移去c后，兩個中Gs有一個孤立頂點?；靖罴瑯拥览?，基本割集是割集的一種，一種特殊的割集。定義：（一般在有向圖中考慮）單樹枝割集，即它是由且僅由一條樹枝支路，其余均為連枝支路構(gòu)成的?；靖罴奶攸c：⑴其方向取樹枝支路的電流參考方向；⑵對給定的連通圖（節(jié)點有n+1個，支路有b條）來說，基本割集的數(shù)量也是一定的，為n個（與樹枝數(shù)相同）。返回2023/9/1339基本割集同樣道理，基本割集是割集的一種，一種特殊的割集。返割集分析法我們對電網(wǎng)絡(luò)的分析方法有四種：利用基爾霍夫回路電壓定律KVL的回路分析法、網(wǎng)孔分析法（當(dāng)回路恰好是網(wǎng)孔的時候，回路分析法就變成了網(wǎng)孔分析法，所以說網(wǎng)孔分析法是回路分析法的特例），利用基爾霍夫節(jié)點電流定律KCL的割集分析法、節(jié)點分析法（當(dāng)割集恰好都是頂點割集的時候，割集分析法就變成了節(jié)點分析法，所以說節(jié)點分析法是割集分析法的特例）。這里通過一個例子來介紹割集分析法。2023/9/1340割集分析法我們對電網(wǎng)絡(luò)的分析方法有四種：利用基爾霍夫回路電壓割集分析法首先選擇一棵樹，利用由基爾霍夫節(jié)點電流定律KCL的對基本割集列出的一組電流方程是獨立的方程組，求解這個方程組，可以得到樹枝電壓，進(jìn)而利用網(wǎng)絡(luò)中各支路之間的基本關(guān)系可以求出除樹以外支路的電壓和所有支路的電流。2023/9/1341割集分析法首先選擇一棵樹，利用由基爾霍夫節(jié)點電流定律KCL割集分析法如圖，首先選b1、b4、b5、b7為樹枝，取對應(yīng)四個基本割集。利用KCL對基本割集列電流方程：與割集方向相同的支路電流取正號，否則取負(fù)號，于是有：2023/9/1342割集分析法如圖，首先選b1、b4、b5、b7為樹枝，取對割集分析法這里設(shè)b3支路有一個電流源Ig3（若是電壓源Ug3，可以利用諾頓定理變換成電流源Ig3=G3Ug3），方向與支路方向相同，于是有：前式為

2023/9/1343割集分析法這里設(shè)b3支路有一個電流源Ig3（若是電壓源U割集分析法設(shè)各支路導(dǎo)納為Gi，電壓為Ui，連枝電壓用樹枝電壓來表示（電壓方向與電流方向成關(guān)聯(lián)關(guān)系）為：2023/9/1344割集分析法設(shè)各支路導(dǎo)納為Gi，電壓為Ui，連枝電壓用樹枝電壓割集分析法將代入得2023/9/1345割集分析法將代入得2023/8/245割集分析法整理得：由上式可以看出：第一個方程是對第一個割集列寫的，其左邊第一項是本割集樹枝電壓U1與本割集所有相關(guān)聯(lián)支路導(dǎo)納總和的乘積，第二項是第二割集樹枝電壓與第一、二割集所有公共支路導(dǎo)納之和G2的乘積，因為第一、二割集方向相反，故第二項前取負(fù)號，由于第一割集與第三、四割集無公共支路，故方程的第三、四項為零，另外方程右端為零，表示無電流源流過本割集；第二方程右端為一個負(fù)電流源Ig3，表示電流源Ig3與割集方向相同。2023/9/1346割集分析法整理得：由上式可以看出：第一個方程是對第一個割集割集分析法找出如上規(guī)律，就可以由電路的有向圖直接寫出上面的割集方程組了，而不需要再重復(fù)前面的步驟。最后，就可以求解割集方程組得到樹枝電壓U1、U4、U5和U7，并根據(jù)連枝電壓與樹枝電壓的關(guān)系求出連枝電壓U2、U3和U6，最后再由Ii=GiUi

求出各支路的電流。總結(jié)以上討論的結(jié)果，我們可以得到如下割集分析法的一般步驟：2023/9/1347割集分析法找出如上規(guī)律，就可以由電路的有向圖直接寫出上面的割割集分析法步驟⒈畫出電路對應(yīng)的有向圖。⒉為電路選擇一棵樹，其原則是：①盡可能選“星樹”，這樣列出方程通常比較簡單；②電壓源應(yīng)選為樹枝，這樣可以少列方程；③盡可能地把待求電壓支路選為樹枝，這樣解出割集方程也得到了待求電壓。⒊取基本割集。2023/9/1348割集分析法步驟⒈畫出電路對應(yīng)的有向圖。2023/8/248割集分析法步驟⒋列割集方程，此時要注意的是：①本割集樹枝電壓與本割集所關(guān)聯(lián)的所有導(dǎo)納總和和乘積項永遠(yuǎn)取“+”號；②相鄰項的“+”、“-”號取決于二個相關(guān)割集的方向是否相同，相同取“+”號，相反取“-”號；③方程右邊為流過本割集的電流源，其“+”、“-”號與電流源的方向、割集的方向都有關(guān)，當(dāng)電流源的方向與割集方向相同時取“-”號，相反時則取“+”號。2023/9/1349割集分析法步驟⒋列割集方程，此時要注意的是：①本割集樹枝電割集分析法步驟⒌解割集方程組求出樹枝電壓。⒍由樹枝電壓求出連枝電壓。⒎由樹枝電壓、連枝電壓及各支路導(dǎo)納（或阻抗）求出各支路電流。返回2023/9/1350割集分析法步驟⒌解割集方程組求出樹枝電壓。返回2023/拓?fù)渚仃囙徑泳仃?/p>

關(guān)聯(lián)矩陣

回路矩陣

割集矩陣

矩陣A、Bf、Qf之間的關(guān)系

返回2023/9/1351拓?fù)渚仃囙徑泳仃嚪祷?023/8/251鄰接矩陣表征節(jié)點與節(jié)點之間關(guān)系的矩陣，用表示，其元素

dij

的取值如下：注：相鄰表示有支路相連。2023/9/1352鄰接矩陣表征節(jié)點與節(jié)點之間關(guān)系的矩陣，用表示例子返回2023/9/1353例子返回2023/8/253關(guān)聯(lián)矩陣表征節(jié)點與支路之間關(guān)系的矩陣。無向圖的關(guān)聯(lián)矩陣有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣

增廣關(guān)聯(lián)矩陣

關(guān)聯(lián)矩陣

2023/9/1354關(guān)聯(lián)矩陣表征節(jié)點與支路之間關(guān)系的矩陣。增廣關(guān)聯(lián)矩陣202無向圖的關(guān)聯(lián)矩陣用表示，其元素的取值如下：這里的關(guān)聯(lián)表示節(jié)點i

為支路j

的一個端點，否則就不是。2023/9/1355無向圖的關(guān)聯(lián)矩陣用表示，其元素例子2023/9/1356例子2023/8/256無向圖的關(guān)聯(lián)矩陣性質(zhì)每列只有2個1元素；每行1元素的個數(shù)對應(yīng)節(jié)點的度；對連通圖，關(guān)聯(lián)矩陣的每一行至少有一個1元 素；如果某一行只有一個1元素，那么這個1

元素 所在的列對應(yīng)的支路一定是一條懸掛支路。如果形如，則對應(yīng)的圖為一個具有 兩個連通子圖的非連通圖。2023/9/1357無向圖的關(guān)聯(lián)矩陣性質(zhì)每列只有2個1元素；2023/8/增廣關(guān)聯(lián)矩陣用表示，其元素的取值如下：2023/9/1358增廣關(guān)聯(lián)矩陣用表示，其元素例子2023/9/1359例子2023/8/259增廣關(guān)聯(lián)矩陣性質(zhì)①每一列只有兩個非零元素1和-1，且同列元素之和為零；②任一行元素等于其它各行元素之和，且符號相反。這說明全部節(jié)點均寫方程的話，肯定至少有一個方程非獨立，由此可以劃掉一行（一般劃去電位參考點所在的那一行），由此得關(guān)聯(lián)矩陣（或稱為降階關(guān)聯(lián)矩陣，節(jié)點矩陣）。2023/9/1360增廣關(guān)聯(lián)矩陣性質(zhì)①每一列只有兩個非零元素1和-1，且同列關(guān)聯(lián)矩陣?yán)纾ǚ謩e取節(jié)點④、③為參考節(jié)點）的關(guān)聯(lián)矩陣分別為：2023/9/1361關(guān)聯(lián)矩陣?yán)纾ǚ謩e取節(jié)點④、③為參考節(jié)點）的關(guān)聯(lián)矩陣分別為關(guān)聯(lián)矩陣對下圖，如果選b1、b4、b5、b7為樹，把A

分成左右兩部分：左邊為樹枝塊AT

，右邊為連枝塊AL（腳標(biāo)各自從小到大排列），則顯然有，。返回2023/9/1362關(guān)聯(lián)矩陣對下圖，如果選b1、b4、b5、b7為樹，把回路矩陣回路矩陣（回路－支路）基本回路矩陣（基本回路－支路）表征（有向圖中）回路與支路關(guān)系的矩陣。

返回2023/9/1363回路矩陣回路矩陣（回路－支路）表征（有向圖中）回路與支路回路矩陣（回路－支路）用表示，其元素的取值如下：2023/9/1364回路矩陣（回路－支路）用表示，其元例子如圖所示，除三個網(wǎng)孔分別構(gòu)成l1、l2、l3回路外，還有l(wèi)1與l2兩網(wǎng)孔合并構(gòu)成一個回路l4，l2與l3兩網(wǎng)孔合并構(gòu)成一個回路l5，最后還有整個外圍構(gòu)成一個回路l6。假設(shè)均取順時針方向為回路的方向，依定義可以列出如下回路矩陣：返回2023/9/1365例子如圖所示，除三個網(wǎng)孔分別構(gòu)成l1、l2、l3回路基本回路矩陣（基本回路－支路）用表示，回路的方向與連枝方向相同，其元素bij的取值與上面的相同，顯然會有樹枝選的不同，連枝也就不一樣，這樣Bf也就不一樣，例如對下圖如果選b1、b4、b5、b7為樹（如粗線所示），那么連枝為b2、b3、b6，對應(yīng)的基本回路如右邊幾個圖，其Bf如下式：2023/9/1366基本回路矩陣（基本回路－支路）用表例子若取b1、b2、b3、b6為樹(如圖粗線所示)，那么連枝就是b4、b5、b7，對應(yīng)的基本回路也如圖所示，其Bf如下右式：可以表示為：。其中：：與樹枝相關(guān)聯(lián)的部分；：與連枝相關(guān)聯(lián)部分。返回2023/9/1367例子若取b1、b2、b3、b6為樹(如圖粗線所示)，割集矩陣割集矩陣（割集－支路）基本割集矩陣（基本割集－支路）表征割集與支路關(guān)系的矩陣。返回2023/9/1368割集矩陣割集矩陣（割集－支路）表征割集與支路關(guān)系的矩陣。割集矩陣（割集－支路）用表示，其元素的取值如下：（其中c為總的割集數(shù)）2023/9/1369割集矩陣（割集－支路）用表示，其元例子如圖所示，除了c1、c4、c5、c7四個割集外，還有很多割集。為了不至于遺漏，可以采用c1

c4、c1

c5

、c4

c5

、c1

c4

c5……等等這樣的方式，把它們所有的組合都列出來，就構(gòu)成相應(yīng)電路的割集矩陣。2023/9/1370例子如圖所示，除了c1、c4、c5、c7四個割集外，還有例子注意：①式中由于未標(biāo)出割集的方向，這時僅用“1”表示該割集與相應(yīng)支路相關(guān)聯(lián)，用“0”表示該割集與相應(yīng)支路無關(guān)聯(lián)；②式中的有些割集不只把圖分成了二個子圖。

返回2023/9/1371例子注意：①式中由于未標(biāo)出割集的方向，這時僅用“1”表示基本割集矩陣（基本割集－支路）以一條樹枝，數(shù)條連枝做一個割集，取樹枝方向為割集的方向。例如，如果選b1、b4、b5、b7為樹枝，那么連枝為b2、b3、b6，于是對應(yīng)Qf的如下（其中：為與樹枝關(guān)聯(lián)的部分，為與連枝關(guān)聯(lián)的部分。同樣，樹選的不同，Qf也就不一樣）：返回2023/9/1372基本割集矩陣（基本割集－支路）以一條樹枝，數(shù)條連枝做一個割矩陣A、Bf

、Qf

之間的關(guān)系在選定相同的樹，且在先樹枝后連枝，支路順序相同時所列出的拓?fù)渚仃嘇、Bf、Qf有如下關(guān)系：∵若節(jié)點數(shù)為n+1個，支路數(shù)為b條，則樹枝為n條，連枝為b-n條，則各矩陣的大小為：于是有：2023/9/1373矩陣A、Bf、Qf之間的關(guān)系在選定相同的樹，且在矩陣A、Bf

、Qf

之間的關(guān)系由前面的例子可以得到：

2023/9/1374矩陣A、Bf、Qf之間的關(guān)系由前面的例子可以得到矩陣A、Bf

、Qf

之間的關(guān)系于是，利用以上關(guān)系，可以由一種矩陣求出其它兩種矩陣。2023/9/1375矩陣A、Bf、Qf之間的關(guān)系于是，利用以上關(guān)系，例子（2.1)已知：，試畫出對應(yīng)的有向圖，并求矩陣Bf及Qf。解：由矩陣可以畫出如圖所示的有向圖。2023/9/1376例子（2.1)已知：例子選擇支路b2、b3、b4、b8為樹枝，則b1、b5、b6、b7為連枝，于是重新列寫矩陣A為：2023/9/1377例子選擇支路b2、b3、b4、b8為樹枝，則b1、例子∴返回2023/9/1378例子∴返回2023/8/278電網(wǎng)絡(luò)的矩陣分析法支路阻抗矩陣節(jié)點分析法回路分析法割集分析法純電源的變換返回2023/9/1379電網(wǎng)絡(luò)的矩陣分析法支路阻抗矩陣返回2023/8/279支路阻抗矩陣無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路有受控電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路有受控電流源的標(biāo)準(zhǔn)支路包含有各種受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路

返回2023/9/1380支路阻抗矩陣無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路返回2023/8/280無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路無互感作用有互感作用返回2023/9/1381無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路無互感作用返回2023/8/281無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——無互感作用無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路：其中下標(biāo)i表示該支路為第i條標(biāo)準(zhǔn)支路；為元件導(dǎo)納；為元件阻抗（有）；為獨立電壓源；為獨立電流源；為支路電壓；支路電流；為元件電流；為元件電壓。2023/9/1382無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——無互感作用無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路：其中無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——無互感作用由圖可以得到：用矩陣表示為：第i條支路兩端的電壓為:流過第i條支路的電流為:2023/9/1383無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——無互感作用由圖可以得到：用矩陣表無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——無互感作用設(shè)：支路電壓列向量：支路電流列向量：支路獨立電流源列向量：支路獨立電壓源列向量：于是，對整個網(wǎng)絡(luò)而言，有：2023/9/1384無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——無互感作用設(shè)：支路電壓列向量：無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——

無互感作用即：或：2023/9/1385無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——無互感作用即：或：2023/無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——

無互感作用這里，同樣也有并且（或），，故也有即：或：返回2023/9/1386無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——無互感作用這里無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——

有互感作用當(dāng)支路電感之間有互感耦合時，則式還應(yīng)考慮互感電壓的影響。若各支路間均有影響，那么上式可以表示為（其中）：于是式應(yīng)寫成：2023/9/1387無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——有互感作用當(dāng)支路電感之間有互感耦無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——有互感作用當(dāng)用矩陣表示時：其中：，并且有2023/9/1388無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——有互感作用當(dāng)用矩陣表示時：其中無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——有互感作用此時式或式仍然適用，但，而是于是式

可以寫成

返回2023/9/1389無受控源的標(biāo)準(zhǔn)支路——有互感作用此時式有受控電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路含有電流控制電壓源含有電壓控制電壓源流控電源和壓控壓源均存在時此處式為：返回2023/9/1390有受控電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路含有電流控制電壓源此處式有電流控制電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路當(dāng)?shù)趇條支路上有一個受第d條支路電流控制的電壓源時，則由式可以得到第i條支路兩端的電壓為于是當(dāng)時，式可以表示為此處:或（當(dāng)時）2023/9/1391有電流控制電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路當(dāng)?shù)趇條支路上有一個受第d條支有電流控制電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路由式可以提到流過第i

條支路的電流為于是當(dāng)時，式可以表示為整理一下上式2023/9/1392有電流控制電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路由式可以提到流過第i條支路的電流有電流控制電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路這里：可以證明式中有即，所以后面只需求出或即可。返回2023/9/1393有電流控制電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路這里：可以證明式有電壓控制電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路當(dāng)?shù)趇條支路上有一個受第d條支路電壓控制的電壓源時，則式可以表示為當(dāng)時，式可以表示為這里或（當(dāng)時）返回2023/9/1394有電壓控制電壓源的標(biāo)準(zhǔn)支路當(dāng)?shù)趇條支路上有一個受第d條支流控壓源和壓控壓源均存在的標(biāo)準(zhǔn)支路或（當(dāng)時）返回2023/9/1395流控壓源和壓控壓源均存在的標(biāo)準(zhǔn)支路或（當(dāng)時）有受控電流源的標(biāo)準(zhǔn)支路含有電流控制電流源含有電壓控制電流源流控流源和壓控流源均存在

此處式為：返回2023/9/1396有受控電流源的標(biāo)準(zhǔn)支路含有電流控制電流源此處式有電流控制電流源的標(biāo)準(zhǔn)支路當(dāng)?shù)趇條支路上有一個受第d條支路電流控制的電流源時，則由式可以得到流過第i條支路的電流為當(dāng)時，式可以表示為這里返回2023/9/1397有電流控制電流源的標(biāo)準(zhǔn)支路當(dāng)?shù)趇條支路上有一個受第d條支有電壓控制電流源的標(biāo)準(zhǔn)支路當(dāng)?shù)趇條支路上有一個受第d

條支路電流控制的電流源時，則由式可以得到流過第i條支路的電流為當(dāng)時，式可以表示為這里返回2023/9/1398有電壓控制電流源的標(biāo)準(zhǔn)支路當(dāng)?shù)趇條支路上有一個受第d條支流控流源和壓控流源均存在的標(biāo)準(zhǔn)支路若含有受控電流源的網(wǎng)絡(luò)中的支路電感之間有互感耦合時，上式中的應(yīng)該用來代替。其中返回2023/9/1399流控流源和壓控流源均存在的標(biāo)準(zhǔn)支路若含有受控電流源的網(wǎng)絡(luò)中的包含有各種受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路我們研究的網(wǎng)絡(luò)都是線性時不變網(wǎng)絡(luò)，因而討論如圖所示的標(biāo)準(zhǔn)電路的等效阻抗時，只需把前面討論各種結(jié)果相加即可。返回2023/9/13100包含有各種受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路我們研究的網(wǎng)絡(luò)都是線性時不變網(wǎng)包含有各種受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路當(dāng)受控電壓源：及受控電流源：作用時，由式，可以得到總的支路阻抗矩陣為：2023/9/13101包含有各種受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路當(dāng)受控電壓源：及受控電流源：包含有各種受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路其中：當(dāng)時，上式為2023/9/13102包含有各種受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路其中：當(dāng)時，上式包含有各種受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路至此為止，我們已經(jīng)討論了各種情況下的支路阻抗矩陣的求解方法，所以在后面在網(wǎng)絡(luò)的求解過程中，對這部分就不再累敘了，而直接使用或，即用下圖就可以了。返回2023/9/13103包含有各種受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路至此為止，我們已經(jīng)討論了各種情節(jié)點分析法關(guān)聯(lián)矩陣A每一行表征的是節(jié)點與支路之間的關(guān)系，那么如果用A的一行與電流列向量相乘，得到的是一個節(jié)點的電流之和，于是根據(jù)基爾霍夫節(jié)點電流定律KCL可以得到矩陣形式的方程：關(guān)聯(lián)矩陣A每一列，即表征的是支路與節(jié)點之間的關(guān)系，用與節(jié)點電壓列向量相乘可以得到用節(jié)點電壓表示的各支路電壓：返回2023/9/13104節(jié)點分析法關(guān)聯(lián)矩陣A每一行表征的是節(jié)點與支路之間的關(guān)系，節(jié)點分析法對整個電路而言，支路電流與電壓的關(guān)系式為式：將⑶式代入

得將⑵式代入得2023/9/13105節(jié)點分析法對整個電路而言，支路電流與電壓的關(guān)系式為式：將節(jié)點分析法令（節(jié)點導(dǎo)納矩陣）（節(jié)點等效電流源列向量）于是式可以寫成2023/9/13106節(jié)點分析法令（節(jié)點導(dǎo)納矩陣節(jié)點分析法求解步驟依電路畫出相應(yīng)的有向圖，求出關(guān)聯(lián)矩陣A及；按上一小節(jié)的方法求出支路導(dǎo)納矩陣Yb

，寫出獨立電壓源列向量和獨立電流源列向量；求出節(jié)點導(dǎo)納矩陣：；求出節(jié)點電壓向量：；求出支路電壓向量：；求出支路電流向量：。返回2023/9/13107節(jié)點分析法求解步驟依電路畫出相應(yīng)的有向圖，求出關(guān)聯(lián)矩陣A回路分析法基本回路矩陣Bf每一行表征的是基本回路與支路之間的關(guān)系，那么如果用Bf的一行與電壓列向量相乘，得到的是一個回路各支路的電壓之和，于是根據(jù)基爾霍夫節(jié)點電壓定律KVL可以得到矩陣形式的方程：基本回路矩陣Bf每一列，即表征的是支路與基本回路之間的關(guān)系，用與節(jié)點電流列向量相乘可以得到用基本回路電流表示的各支路電流：返回2023/9/13108回路分析法基本回路矩陣Bf每一行表征的是基本回路與支路回路分析法對整個電路而言，支路電壓與電流的關(guān)系為將⑶式代入⑴式（

）后，有再將⑵式代入，得2023/9/13109回路分析法對整個電路而言，支路電壓與電流的關(guān)系為將⑶式回路分析法令 （基本回路阻抗矩陣）（基本回路等效電壓源列向量）

于是⑸式可以寫成如果我們選的是“星樹”或某些特殊類型的樹時，對應(yīng)的基本回路恰好是網(wǎng)孔，那么基本回路電流也就是網(wǎng)孔電流，所以網(wǎng)孔分析法實際上是回路分析法的特例。2023/9/13110回路分析法令 （基本回路阻抗矩陣）（基本回路等效電壓源回路分析法求解步驟⒈依電路畫出相應(yīng)的有向圖，求出基本回路矩陣Bf及；⒉按前面的方法求出支路阻抗矩陣Zb，寫出獨立電壓源列向量和獨立電流源列向量；⒊求出基本回路阻抗矩陣：；⒋求出回路電流向量：；⒌求出支路電流向量：；⒍求出支路電壓向量：。

返回2023/9/13111回路分析法求解步驟⒈依電路畫出相應(yīng)的