相等向量與共線向量教案

課堂導入：向量由其長度和方向所確定，對于兩個向量a、b，它們的長度可能相等，也可能不相等；它們的方向可能相同，也可能不相同．思考：1．比較兩個向量的長度和方向的異同關(guān)系，有哪幾種可能情形？2．長度相等且方向相同的向量是什么關(guān)系？課前自主學習1．___________________的向量叫相等向量，若a與b相等，記作_________．2．由于向量可以平行移動，所以任一組平行向量都可以移到同一直線上，因此平行向量也叫________．3．向量與有向線段的區(qū)別是：向量是______，只有_____和_____兩個要素，與_______無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是向量相同向量．有向線段有_____、_____和_____三個要素，_____不同，盡管大小和方向相同也是不同有向線段．4．共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向量_______是相等向量，而相等的向量_______是共線向量．5．由向量相等的定義可以知道，對于一個向量，只要不改變它的大小和方向，是可以平行移動的，因此，用有向線段表示向量時，可以任意選取有向線段的起點．由此可知，任意一組平行向量都可以__________．答案1．長度相等且方向相同a＝b2．共線向量3．自由向量大小方向起點起點大小方向起點4．不一定一定5．移動到同一條直線上課堂合作探究知識點一相等向量知識點歸納長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．如果向量a與b相等，記作a＝b．特別提示：（1）任意兩個相等的非零向量，通過平移都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)．（2）對一組相等的向量，將它們的起點平移到同一點O，則他們的終點重合．（3）模相等（或方向相同）是向量相等的必要條件，模相等且方向相同是向量相等的充要條件．（4）對于一個非零向量，只要不改變它的大小和方向，就可以任意平行移動，平移后的向量與原向量是相等向量，這為用向量處理幾何問題帶來了很大的方便．（5）對于不共線的四點A、B、C、D，若＝，則A、B、C、D是一個平行四邊行的四個頂點．（6）相等向量具有傳遞性，即如果a＝b，且b＝c，那么a＝c．典例剖析例1如下圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形．（1）寫出與向量相等的向量；（2）若｜｜＝3，求向量的模．解析：根據(jù)已知條件，觀察圖形，凡是與向量ED長度相等且方向相同的向量，就是其相等向量．利用向量證明E、D、C三點共線，就可以將向量EC的模轉(zhuǎn)化為線段EC的長度．答案（1）∵四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形，∴ABDC，從而AB＝ED，AB＝DC∴ED＝DC．故與向量ED相等的向量是AB、DC．（2）∵AB＝ED，AB＝DC，∴ED＝DC．∴ED與DC方向相同，從而E、D、C三點共線．∴｜EC｜＝｜ED｜+｜DC｜＝2｜AB｜＝6．規(guī)律總結(jié)：（1）在圖形背景下找相等向量，只要根據(jù)相等向量的定義，觀察圖形可直觀得出結(jié)論．在邏輯分析中，要注意相等的傳遞性．（2）一般地，｜AB｜+｜BC｜≥｜AC｜，當且僅當AB與BC同向時取等號．變式訓練1如圖下，B、C是線段AD的兩個三等分點，在以圖中各點為起點和終點的向量中，最多可以寫出多少個互不相等的非零向量？并舉例說明．答案：設(shè)線段AD的長度為3，那么模為1的向量有6個，模為2的向量有4個，模為3的向量有2個，∴共有12個向量．在模為1的向量中，AB＝BC＝CD，BA＝CB＝DC，∴不同的向量只能寫2個；在模為2的向量中，AC＝BD，CA＝DB，∴不同的向量也只能寫2個；模為3的向量是AD和DA，它們不相等．故最多可以寫出6個互不相等的非零向量，例如AB、BA、AC、CA、AD、DA．知識點二共線向量知識點歸納任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫做共線向量．疑似點提示：（1）平行向量與共線向量是等價的同一個概念，只是名稱不同而已．（2）兩個共線向量并不一定要在同一條直線上，只要兩個向量的方向相同或相反，就是共線向量．（3）兩個共線向量a、b所在直線，可能平行或重合，但不能相交．（4）兩個非零共線向量也包括以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不相等；方向相反且模相等；方向相反且模不相等．因此，共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量．典例剖析例2判斷下列命題的真假：（1）若兩個單位向量共線，則這兩個單位向量相等；（2）不相等的兩個向量一定不共線；（3）若非零向量AB與CD是共線向量，則A、B、C、D四點共線；（4）若a為非零向量，則與a相等的向量必與a共線；（5）起點相同而終點不同的兩條有向線段所表示的向量一定不共線；（6）在四邊形ABCD中，若AB與CD共線，則該四邊形為梯形．答案：（1）假命題，兩個單位向量共線，它們的方向可以相反，從而不一定相等；（2）假命題，不相等的兩個向量有可能其模不相等，但方向相同或相反，從而不相等的兩個向量有可能個共線；（3）假命題，AB與CD共線，有可能直線AB與直線CD平行，從而A、B、C、D四點不一定共線；（4）真命題，相等向量其方向相同，從而一定是共線向量；（5）假命題，起點相同而終點不同的兩條有向線段的方向可以相同或相反，從而所表示的向量有可能共線；（6）假命題，若AB與CD共線，有可能｜AB｜＝｜CD｜，此時，四邊形ABCD為平行四邊形．感悟規(guī)律：判斷與共線向量有關(guān)的命題的真假，要依據(jù)共線向量或平行向量的定義，并結(jié)合圖形，列舉反例等進行評判．只要有一個反例與命題不符，則命題不正確，同時要注意零向量與任何向量共線這一特例．變式訓練3如下圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，在向量AO，AC，OC，BO，DO