清華版矩陣位移法課件

第九章矩陣位移法第九章矩陣位移法1§9-1概述

矩陣位移法是以結(jié)構(gòu)位移為基本未知量，借助矩陣進行分析，并用計算機解決各種桿系結(jié)構(gòu)受力、變形等計算的方法。

理論基礎(chǔ)：位移法分析工具：矩陣計算手段：計算機

矩陣位移法的基本步驟是：（1）結(jié)構(gòu)的離散化；（2）單元分析；（3）整體分析。§9-1概述矩陣位移法是以結(jié)構(gòu)位移為基2基本思想:化整為零

------結(jié)構(gòu)離散化將結(jié)構(gòu)拆成桿件,桿件稱作單元.單元的連接點稱作結(jié)點.單元分析

對單元和結(jié)點編碼.634512135642e單元桿端力集零為整------整體分析單元桿端力結(jié)點外力單元桿端位移結(jié)點外力單元桿端位移(桿端位移=結(jié)點位移)結(jié)點外力結(jié)點位移基本未知量:結(jié)點位移基本思想:化整為零------結(jié)構(gòu)離散化3§9-2單元剛度矩陣（局部坐標(biāo)系）E,A,I12l

e1.一般單元1212§9-2單元剛度矩陣（局部坐標(biāo)系）E,A,I12l4單元剛度方程：即由方程。加約束：發(fā)生位移：

12e單元剛度方程：即由方程。加約束：發(fā)生位移5eee單元剛度方程的矩陣表示形式：可記為：eee局部座標(biāo)系的單元剛度矩陣eee單元剛度方程的矩陣表示形式：可記為：eee局部座標(biāo)系的62.單元剛度矩陣的性質(zhì)（1）單元剛度系數(shù)的意義e—代表單元桿端第j個位移分量等于1時所引起的第i個桿端力分量。（2）單元剛度矩陣是對稱矩陣，即。（3）一般單元的剛度矩陣是奇異矩陣。ee2.單元剛度矩陣的性質(zhì)（1）單元剛度系數(shù)的意義e—代表單元桿73.特殊單元e例：12e某一個或幾個位移已知為零，其剛度方程是一般單元剛度方程的特例。3.特殊單元e例：12e某一個或幾個位移已知為零，其剛度方程8eeeeeeeeeeeeeeee9

exyX1Y1X2Y2§9-3單元剛度矩陣（整體坐標(biāo)系）1.單元座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣eeeeeeeeeeeeeeeeexyX1Y1X2Y2§9-3單元剛度矩陣（整體坐標(biāo)系10eeeee單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣???t???yü???????íìúúúúúúú?ùêêêêêêê?é--=???t???yü???????íì2221112221111000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosMYXMYXMYXMYXaaaaaaaa[T]-1=[T]Teeee??eeeee單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣???t???yü???????í11eee整體座標(biāo)系中(a)eee{F}=[k]{}(b)e{F}

=[T]T[T]{}ee(d)k[T]{F}=e[T]{}(c)eke[k]=[T]T

ke[T]e(e)[k]e的性質(zhì)與ek一樣。2.整體座標(biāo)系中的單元剛度矩陣（a）式兩邊前乘[T]T比較式(b)和(d)：局部座標(biāo)系中eee整體座標(biāo)系中(a)eee{F}=[k]{}(12例1.試求圖示剛架中各單元在整體座標(biāo)系中的剛度矩陣[k]。設(shè)和桿的桿長和截面尺寸相同。1l=5ml=5m2xyl=5m，b

h=0.5m1m,A=0.5m2,I=m4,124解:局部座標(biāo)系中的單元剛度矩陣ke12k=

k

例1.試求圖示剛架中各單元在整體座標(biāo)系中1l=5ml13單元2：=90，單元座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為[k]=[T]T

k[T](2)整體座標(biāo)系中的單元剛度矩陣e[k]單元1：=0，[T]=[I]k1=1[k]單元2：=90，單元座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為[k]=[T14清華版矩陣位移法課件15§9-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣按傳統(tǒng)位移法i1i212

14i1

12i1

10i1i212

22i1

22i2

2(4i1+4i2)

2i1i212

302i2

34i2

3每個結(jié)點位移對{F}的單獨貢獻§9-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣按傳統(tǒng)位移法i1i212116F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2

1

2

3={F}=[K]{}

根據(jù)每個結(jié)點位移對附加約束上的約束力{F}的貢獻大小進行疊加而計算所得。傳統(tǒng)位移法F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i2171.單元集成法的力學(xué)模型和基本概念分別考慮每個單元的貢獻，整剛由單元直接集成i1i212

1

2

3F3{F}1=[F11F211]TF11F21F31令i2=0，則F31=0[k]=4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i1

1

2（a）（b）1.單元集成法的力學(xué)模型和基本概念分別考慮每個單元的貢獻，整18F11F21F31=4i12i14i12i100000

1

2

31[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i100000單元1的貢獻矩陣記為：稱為：[K]=24i12i14i12i100000同理得到單元2的貢獻矩陣F11F21F31=4i12i14i12i1000001191[K]{}{F}=12[K]{}{F}=2i1i2121212[K]=（[K]+[K]）=12ee[k][K][K]ee{F}={F}+{F}=（[K]+[K]）{}12{F}=[K]{}整體剛度矩陣為：求整剛矩陣步驟：得整體剛度方程：1[K]{}{F}=12[K]{}{F}20[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12i14i12i100000[k]=4i22i24i22i22[K]=24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2[K]=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12212.按照單元定位向量由[k]求

e[K]e(1)整體分析總碼。(2)單元分析局部碼。連續(xù)梁121231(1)(2)2(1)(2)位移統(tǒng)一編碼，總碼確定中的元素在中的位置。[k]

e[K]e位移單獨編碼局部碼2.按照單元定位向量由[k]求e[K]e(1)整體分析22單元12對應(yīng)關(guān)系局部碼總碼單元定位向量e(1)1(2)21=(1)2(2)32=由單元的結(jié)點位移總碼組成的向量單元定位向量:總碼、局部碼之間的對應(yīng)關(guān)系。也稱為“單元換碼向量”。單元12對應(yīng)關(guān)系局部碼總碼單元定位向量e(1)1(2)23（3）單剛[k]

e[K]e和單元貢獻中元素的對應(yīng)關(guān)系單元

單元

[k]=4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=[K]=11230000000004i12i12i14i1123[k]=4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2)2=[K]=20000000004i22i24i22i2123123（3）單剛[k]e[K]e和單元貢獻中元素的對應(yīng)關(guān)系單元243.單元集成法的實施（定位累加）（1）將[K]置零，得[K]=[0]；（2）將[k]

的元素在[K]中按{

}

定位并進行累加，得[K]=[K]

；（3）將[k]

的元素在[K]中按{

}

定位并進行累加，得[K]=[K]

+[K]

；按此作法

對所有單元循環(huán)一遍，最后即得整體剛度矩陣[K]。3.單元集成法的實施（定位累加）（1）將[K]置零25[K]123123000000000[k]110000000004i12i12i14i1123123[k]224i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123[K]123123000000000[k]11000002612i1i2i331230

1

2

3

0=0（1）結(jié)點位移分量總碼1=2=3=例.求連續(xù)梁的整體剛度矩陣。（2）單元定位向量12i1i2i3312301230=0（1）結(jié)點位27（3）單元集成過程[k]=4i12i14i12i111221[k]=4i22i24i22i222332[k]=4i32i34i32i330330[K]=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2（3）單元集成過程[k]=4i12i14i12i1112284.整體剛度矩陣[K]的性質(zhì)（1）整體剛度系數(shù)的意義:Kij表示

j=1(其余

=0)時產(chǎn)生的結(jié)點力Fi（2）[K]是對稱矩陣（3）對幾何不變體系，[K]是可逆矩陣，如連續(xù)梁i1i2

1

2

3F1F2F3{F}=[K]{}{

}=[K]-1{F}4.整體剛度矩陣[K]的性質(zhì)（1）整體剛度系數(shù)的意義:29（4）[K]是稀疏矩陣和帶狀矩陣，如連續(xù)梁

1

2

3F1F2F3123n

nFn

n+1Fn+10000000000000000000000000000000000004i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in（4）[K]是稀疏矩陣和帶狀矩陣，如連續(xù)梁123F1F301、用矩陣位移法計算連續(xù)梁時無需對單元剛度矩陣作坐標(biāo)變換。（）

2、組裝結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣之前，必須對單元剛度矩陣進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。（）3、結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣與結(jié)點位移編號方式無關(guān)。（）4、如單元定位向量中的第i個元素為0，說明單元第i個桿端位移分量對應(yīng)剛性支座。（）1、用矩陣位移法計算連續(xù)梁時無需對單元剛度矩陣作坐標(biāo)變換。（315、單元定位向量是有單元（）組成的向量。A.局部坐標(biāo)桿端位移編碼B.所在結(jié)點編號C.所在結(jié)點位移總碼D.整體坐標(biāo)桿端位移分量編碼6、圖示單元變形情況所產(chǎn)生的六個桿端力組成了單元剛度矩陣的第（）元素.A．3列B.6行C.1列D.6列1245635、單元定位向量是有單元（）組成的向量。12456332§9-5剛架的整體剛度矩陣

（2）各單元已形成了整體座標(biāo)系下的單元剛度矩陣；（1）各

經(jīng)由e[k]e{}進行累加集成[K]。與連續(xù)梁相比：(1)各單元考慮軸向變形；(2)每個剛結(jié)點有三個位移；(3)要采用整體座標(biāo)；(4)要處理非剛結(jié)點的特殊情況。思路要點：

§9-5剛架的整體剛度矩陣（1）各經(jīng)由331.結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼——總碼ABCxy123004000結(jié)點位移總碼{}=[1

2

3

4]T規(guī)定：對于已知為零的結(jié)點位移分量，其總碼均編為零。=[uA

vA

A

C]T整體結(jié)構(gòu)結(jié)點位移向量：結(jié)點力向量為：=[XA

YA

MA

MC]T{F}=[F1

F2

F3

F4]T①②1.結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼——總碼ABCxy12300434x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6)單元結(jié)點位移分量局部碼2、單元定位向量①②ABCxy12300400結(jié)點位移總碼②①0(4)(1)(4)x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6)35單元

單元

局部碼

總碼局部碼

總碼（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）4（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）0

單元單元局部碼總碼局部碼總碼（1）1（1）361[k]=0000000000000000000000000000000000001112131415162122232425263132333435364142434445465152535455566162636465661230041230042[k]123000123000111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566=3、單元集成過程1[k]=0000000000000000000000000371234[K]=1234000000000000000011121321222331323361626366162636111213212223313233[K]求單元常數(shù){}[T]單元剛度矩陣程序設(shè)計框圖1234[K]=1234000000000000000011384、鉸結(jié)點的處理1122剛結(jié)點：變形連續(xù)，截面1和截面2具有相同的結(jié)點位移。鉸結(jié)點：部分變形連續(xù)，截面1和截面2具有相同的結(jié)點線位移；而其角位移不相等。4、鉸結(jié)點的處理1122剛結(jié)點：變形連續(xù)，截面1和截面2具有39123ABDxy000123456C1C2457000123結(jié)點位移分量總碼結(jié)點C1[456]結(jié)點C2[457]單元定位向量123ABDxy000123456C1C24570001234000000000000000000000000000000000000000000000000001[k]=1234561234562[k]=1230001230003[k]=457000457000[K]=1234567123456700000000000000000000000000000041§9-6等效結(jié)點荷載{F}=[K]{}……………(1)結(jié)構(gòu)體系剛度方程：1、位移法基本方程[K]{}+{FP}={0}…………...………(2){F}+{FP}={0}…………....(3)將(1)式代入(2)式：基本體系在荷載單獨作用下產(chǎn)生的結(jié)點約束力。基本體系在結(jié)點位移單獨作用下產(chǎn)生的結(jié)點約束力。§9-6等效結(jié)點荷載{F}=[K]{}……………(422、等效結(jié)點荷載的概念結(jié)點結(jié)束力——{FP}結(jié)點結(jié)束力——{FP}等效結(jié)點荷載{P}原荷載{P}=–{FP}………解決了計算等效結(jié)點荷載的問題等效原則是兩種荷載在基本體系中產(chǎn)生相同的結(jié)點約束力2、等效結(jié)點荷載的概念結(jié)點結(jié)束力——{FP}結(jié)點結(jié)束力——433、按單元集成法求整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載{P}(1)局部座標(biāo)單元的等效結(jié)點荷載{P}exee{P}ee3、按單元集成法求整體結(jié)構(gòu)的等效(1)局部座標(biāo)單元的等效結(jié)點44(2)整體座標(biāo)單元的等效結(jié)點荷載{P}eee(3)

結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載{P}xy(2)整體座標(biāo)單元的等效結(jié)點荷載{P}eee(3)結(jié)構(gòu)的等451112xy12348kN4.8kN/mABC5m2.5m2.5m單元1:單元2:121112xy12348kN4.8kN/mABC5m2.5m246112121210-10+4+0-5222112121210-10+4+0-522247[K]求單元常數(shù){}[T]{P}原始數(shù)據(jù)、局部碼、總碼解方程[K]{}={P}求出結(jié)點位移{}開始單元剛度矩陣ke單元固端力e結(jié)束§9-7計算步驟和算例[K]{}={F}{FP}+=程序設(shè)計框圖求桿端力eeee[K]求單元常數(shù){}[T]{P}原始數(shù)據(jù)、局部碼、總碼解48例.求圖示剛架的內(nèi)力。設(shè)各桿為矩形截面，橫梁b2×h2=0.5m×1.26m，立柱b1×h1=0.5m×1m。（1）原始數(shù)據(jù)、局部碼