2022年全國卷Ⅰ高考數(shù)學理科模擬試題卷含答案(九)

2022年全國卷I高考數(shù)學理科模擬試題卷

班級：姓名：座號：

評卷人得分

一、選擇題(共12題，每題5分，共60分)

1.已知集合，除{川x>l},法{x|/+6>5x},則忙

A.⑶+8)B.(l,2)U⑶+8)c.(2,3)D.(1,2)

2.設i為虛數(shù)單位,則復數(shù)正里的虛部為

i

A.-2B.-iC.iD.-l

3.已知向量a,b的夾角為60。，且/a/=2/b/=2.在△/1比中,若荏=af,CA=a,則A的大小為

A.120°B.30°C.150°D.60°

(x-y+1<0,

4.若變量滿足條件y<l,則(x-2)2+y的最小值為

X>-1.

A.華B.陽C.之D.5

5.“才2”是“函數(shù)/'(*)=￥+2&『2在區(qū)間(-8,-2］上單調遞減”的

D.既不充分也不必

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件

要條件

6.定義在R上的奇函數(shù)/tr)連續(xù)且可導，若〈尸1恒成立(其中/(必為/'5)的

導函數(shù))，則

A.f'(0)<1B./(-1)+/,(-1X0

c.AiXAoXA-DD.A-iXAOXf(i)

7.正三棱柱的正視圖的面積是8(如圖所示)，則側視圖的面積為

A.4B.4、eC.8D.2V3

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，已知輸出的［0,4］,若輸入的tG［圾山，則實數(shù)mm的最大

值為

A.1B.2C.3D.4

9.設等差數(shù)列｛a｝的前n項和為S,且2的-團產(chǎn)4,則W=

A.15B.20C.25D.30

10.已知定義域為(0,Q)的單調函數(shù)/Xx),若對任意的(0,Q),都有Mx)+logp)=3,

則方程f(x)=2-『的解的個數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

11.將函數(shù)/'(X)=V3sin2x-cos2x的圖象向左平移t(t>0)個單位后，得到函數(shù)0(x)的圖象,

若鼠功=以￡-乃，則實數(shù)t的最小值為

A.史B.?C.史D.三

24241215

12.勿,〃,/是三條不同的直線，￡是兩個不同的平面，則下列判斷正確的是

A.若。_L￡,a08=叫勿_1_〃，則nL￡

B.若in//。，〃u。，則m//n

C.若m,/?,1兩兩相交,且交于同一點，則/〃,n,1共面

D.若R_L%刀_LB,m//〃，則?！ā?/p>

第U卷（非選擇題）

請點擊修改第n卷的文字說明

評卷人得分

二、填空題（共4題，每題5分，共20分）

13.已知/27=（cosx,1）,爐（sinx,0）,函數(shù)f（x）=m-m?n,則f（x）取得最小值時x的取值構成

的集合為.

14.已知向量肝（乂+1,1）,比（，+2,2）,若（〃切）〃（0-〃），則/=.

15.已知數(shù)列尻｝各項均為正整數(shù)，且滿足心』言』為偶數(shù)’"GN*.若北+您=3,則為所有

lx-+Lx”為奇豹，

可能取值的集合為.

16.設aCR,直線ax-產(chǎn)2=0和圓『=8sg（〃為參數(shù)）相切則@的值為.

（v=1+2sin9------------

評卷人得分

三、解答題（共7題，共70分）

17.已知在中，角4氏C的對邊分別為&6,c,衣也向量灰（1,-1）,爐（cos氏osC,sin

Z?sinC~—*?）,且mX.n.

（1）求角/的大小；

（2）當sin/cos（華生）取得最大值時，求角6的大小和△47C的面積.

18.如圖，已知在三棱柱4吐484中，44=2四=24e2,/胡玲90°,/物4=120°.

⑴證明：48L平面留C;

（2）求四棱錐的體積.

19.中央政府為了應對因人口老齡化而造成的勞動力短缺問題，擬定出臺“延遲退休年齡政

策”.為了了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責成人社部進行調研.人社部從網(wǎng)上年

齡在15名5歲的人群中隨機調查100人,調查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的

人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結果如下：

年齡[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]

支持“延遲退休”

155152817

的人數(shù)

(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫2X2列聯(lián)表,并判斷是否有95綁J把握認為以45歲為分界點的不同

人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異.

45歲以45歲及45歲

合計

下以上

支持

不支持

合計

(2)若以45歲為分界點，從不支持“延遲退休年齡政策”的人中按分層抽樣的方法抽取8人

參加某項活動.現(xiàn)從這8人中隨機抽2人.

⑴抽到1人是45歲以下時，求抽到的另一人是45歲及45歲以上的概率；

(ii)記抽到45歲及45歲以上的人數(shù)為％求隨機變量￥的分布列及數(shù)學期望.

參考數(shù)據(jù)：

0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

20.己知橢圓。的離心率為W一個焦點和拋物線產(chǎn)="x的焦點重合.

⑴求橢圓a的方程；

(2)若在橢圓捻9l(a>6>0)上的點(的,㈤處的橢圓的切線方程是震*1.

①過直線上；4上的點M引橢圓Q的兩條切線,切點分別是A,B,最證直線恒過定點C-

②是否存在實數(shù)才使得〃。+/比7=/〃。?/%/,若存在，求出力的值;若不存在,說明理

由.

21.已知函數(shù)f(x)=x(ln尸ax-l),aGR.

(1)設函數(shù)g(x)=f'(x)(x)為f(>的導函數(shù))，求g(x)的零點個數(shù);

(2)若f(x)的最大值是0,求實數(shù)a的值.

請考生在第22、23三題中任選二道做答，注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按

所做的第一個題目計分。

22.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系x0y中，曲線G過點P(a,1),其參數(shù)方程為卜=°+b(t為參數(shù),aS

ly=1+V2t

以0為極點,X軸非負半軸為極軸,建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為0cos28+4COS

，-0=0.

(D求曲線G的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)已知曲線G與曲線&交于46兩點，且!川=2|陽，求實數(shù)a的值.

23.設函數(shù)/'(")=|尸21+2尸3,記A%)WT的解集為M.

⑴求M

(2)當X€"時，證明:x[f(x)]f(x)W0.

參考答案

1.B

【解析】解法一￥+6>5x即『-5戶6>0,即(『2)(尸3)>0,解得K2或x>3,所以

法(-8,2)U(3,+8).故始法(1,2)U(3,+8),故選B.

解法二當產(chǎn)5時,52+6>5X5成立,所以5巳"n人排除C,D兩項；當x=-^,(-)2+6>5X￡成立,

555

所以至"0人排除A.故選B.

5

【備注】無

2.D

【解析】本題主要考查復數(shù)的運算與概念.

,??班但2=-i,...z的虛部為-1,故選D.

1

【備注】無

3.C

【解析】由題意知，/Z/=2,所以/近/J/a也?b+[bM-2X2X1X

cos600+1=3,阮yJ/正■^產(chǎn)二,/b-2aJ"=13,所以cosA=

■「呼士辰Fj+tia一匹.又0°3<180°,所以4=150°.

2mbi14cl2XV3X22

【備注】無

4.D

【解析】如圖，作出不等式組所表示的可行域(陰影部分).

第5頁

x=-l

由圖像可知，C,。兩點間的距離最小，此時z最小，

由卜一/+:=0可啜”即以?？?/p>

所以益n=(0-2)2+/=4+l=5.

【備注】無

5.A

【解析】充分性:當才2時，F(xiàn)(X)=『+4X-2=(X+2)2-6,易知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-=,-2］上單調

遞減.

必要性:若F(x)=『+2a『2=(^a)2-a2-2在區(qū)間(-嗎-2］上單調遞減,則需-a22,即aW2,故

“爐2”是“函數(shù)/("=￥+2打k2在區(qū)間(-8,-2］上單調遞減”的充分不必要條件.

【備注】無

6.D

【解析】是定義在R上的奇函數(shù)，???F(0)=0.構造函數(shù)式%)=色2則g'(x)心西2當

exex

xQ(0,1］時,/(王)=儂3>上20,，g(x)在(0,1］上單調遞

exex

增，⑴=膽>&(0)=0,⑴>o,f(-D=-f(D<o,.?"(T)"(o)"(D,故D正確,c錯誤.在

e

f(x)-f'(x)〈『i中,令x=o,得Ao)-r(ox-i,結合f(o)=o,可知r(o)>i,故A錯誤.在

第6頁

f(x)-F'(x)〈x-l中，令下1,得1'⑴<0,故B

錯誤,選D.

【備注】可導奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，但導函數(shù)為偶函數(shù)的原函數(shù)不一定是奇函數(shù).

7.B

【解析】本題考查空間幾何體的結構特征與三視圖.等邊三角形的邊長與底邊的高之比為曰:;

V3

由題意得招=浮所以5=竺5正=4V3.選B.

【備注】無

8.D

【解析】本題考查程序框圖、分段函數(shù)及一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象等知識,考查數(shù)形結合

思想.

由程序框圖得U<1,,作出s的圖象如圖所示.若輸入的te[網(wǎng)〃],輸出的SG[0,4],

則由圖象得/r0的最大值為4,故選D.

【備注】無

9.B

【解析】通解設等差數(shù)列｛&｝的公差為〃則由已知可得2(包+64-(a+104=團+2加4,所以

￡=5d+芋小5⑵+24=5義4=20.故選B.

優(yōu)解由等差數(shù)列的性質可知237-^1=33=4,所以￡=隨誓=5匈=20.故選B.

【備注】無

第7頁

10.B

【解析】根據(jù)題意,對任意的xR(0,Q),都有Mx)Hogp)二3,即A/a)-log2^)=3,又由

F(x)是定義在(0,抬°)上的單調函數(shù)，則F(x)Tog2X為定值.設t=f{x)-log2x,則

/、(x)=log2X",又由At)=3,即log2”夕3,解得片2,則F(x)=log2*2.在同一直角坐標系內分

別作出函數(shù)片10g2x+2與函數(shù)尸2-J的圖像,

如圖，由圖像可得方程F(x)=2-『的解的個數(shù)是1.

【備注】無

11.B

【解析】無

【備注】無

12.D

(解析】對于選項A,若成立還需要添加條件m。，故A不正確;對于選項B,由必〃a,ga,

還可能得到0,〃是異面直線，故B不正確;對于選項C,可舉反例,如三棱錐同一頂點出發(fā)的三

條棱，故C不正確;對于選項D,'."ml.a,m//n,a,又〃_L，a〃￡，故D正確.

【備注】無

13.{x|產(chǎn)An+工AWZ}

8

第8頁

【解析】依題意知，/-/〃?/7=cos';rH-sinxcos產(chǎn)出?三-jsin2x+l=：cos2『：sin

2x+工立COS(2A^)+3當2戶三2"+x、kGZ,即尸0+%,AeZ時，F(xiàn)(x)取得最小值*,所

2242482

以f(x)取得最小值時X的取值構成的集合為51戶女兀+%,4WZ}.

8

【備注】無

14.0

【解析】因為"廿(2A+3,3),zz/-^=(-l,-1),又(m+ri)//(。-〃)，所以(24+3)X(-1)=3X(-1),

解得4=0.

【備注】無

15.{1,2,3,4,8}

【解析】由題意得彳3二1,&=2或四=2,留=1.當/3=1吐*2=2,從而由二1或4;當%3=2時，&二1

或4,因此當x2=l時，xi=2,當&二4時,為=8或3.綜上，擊所有可能取值的集合為{1,2,3,4,8}.

【備注】無

16.-

4

【解析】本題主要考查圓的參數(shù)方程、直線與圓的位置關系，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.

由已知條件可得圓的直角坐標方程為(『2)2〃廠1)2=4,其圓心為(2,1),半徑為2,由直線和

圓相切可得半篝2,解得d

2

va+l4

【備注】【方法總結】直線與圓的位置關系問題通?？梢越柚鷶?shù)形結合思想,利用圓心到直

線的距離與半徑的關系進行求解.

17.(1)因為R_LA,所以cosBcosOsin夕sin0g0,即cos(分。=-￡

因為/+班右n,所以cos(研C)=-cosA,

第9頁

所以cos/!=—,

又力為△/配的內角，所以力旺

4

⑵因為片三所以史-B,

44

sin作cos（e口）=sinZ^-cos（―-^-―）=sin^-cos（//--）—sin班立cos代TJsin（毋2）.

12412622*6

因為人￡（0,空），所以當sin班cos（小馬取得最大值時，斤三.

4123

又，一=上=2,所以片

sin4sins

所以△/8C的面積為匕床in0漁sinU+為=注3

22434

【解析】本題主要考查向量、三角形內角和定理、三角恒等變換、正弦定理、三角形的面積

等.（1）根據(jù)向量垂直，利用兩角和的三角函數(shù)公式和三角形內角和定理化簡得cos然

后結合角4的取值范圍求角｛的大小；（2）根據(jù)角力的大小得到角氏。的關系，將sin

班cos（廿三）化簡為關于角6的三角函數(shù),通過角6的取值范圍求出sin4cos（小口）取得最

1212

大值時角6的大小,再利用正弦定理求出6的值,即可利用三角形的面積公式求解三角形的面

積.

【備注】解三角形與三角函數(shù)是高考的必考點，解決此類題目的關鍵是靈活運用正、余弦定

理實現(xiàn)三角形邊、角之間的相互轉化,另外在解決三角函數(shù)問題時,要將函數(shù)化為一角一函數(shù)

的形式.在解決解三角形問題時,要注意三角形內角的取值范圍,不要出現(xiàn)增解.

18.（1）因為/加尸120°,所以/4%i=60°.

在△/微中，力后1,倒=/4=2,

由余弦定理得AB；=A#+BB；TAB?BB\?cos//圈=3,所以即產(chǎn)渥+AB：,所以/曲J?那.

第10頁

又/胡華90。，所以AC^AB,

又AC^AB^A,所以4員L平面481c.

(2)依題意，四棱錐61T4GC的體積

片匕SC-4B1J%1-4BC=閂以BC-AMCi=-XV3x-X］義1=-^.

【解析】本題以三棱柱為載體,主要考查空間線面位置關系以及幾何體體積的計算,考查考生

的空間想象能力、推理論證能力.(1)要證明線面垂直，可以利用線面垂直的判定定理證明；⑵

求四棱錐AT4GC的體積可以由三棱柱的體積減去三棱錐的體積得到.

【備注】尋找立體幾何的解題思路要把握好以下幾點:一是要有轉化與化歸的意識,即將線

線、線面、面面之間的位置關系進行相互轉化;二是要有平面化的思想,即將空間問題轉化為

平面問題;三是要有割補的意識,將原幾何體進行分割或補形,得到新的規(guī)則幾何體.

19.(1)

45歲以45歲及45

合計

下歲以上

支持354580

不支

15520

持

合計5050100

因為^100X(35X5-45X15)^25>3841)

50X50X80X20

所以有95舶勺把握認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差

異.

(2)從不支持“延遲退休年齡政策”的人中抽取8人,則45歲以下的應抽6人,45歲及45歲

以上的應抽2人.

(i)抽到1人是45歲以下的概率為2=3抽到1人是45歲以下且另一人是45歲及45歲以

84

上的概率為萼■=a.

髭7

第11頁

故所求概率為!■=：

4

(ii)開的所有可能取值為0,1,2.

戶(加0)=與=二

尸(.)=警=/三,

以#2）第=上.

C|28

故隨機變量I的分布列為

才012

1531

P

28728

E(X)=0X—+1X-+2X—=

2S7282

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖及表格易列出2X2列聯(lián)表,求出了的觀測值判斷即

可.(2)(i)利用條件概率計算公式求解即可；(ii)確定，的所有可能取值及所對應的概率，

可得f的分布列與數(shù)學期望.

【備注】無

20.⑴設橢圓方程為W寫1(a9>0).拋物線產(chǎn)=4r的焦點是(T,0),故片1,又￡=i所以

a2b2a2

<3=2,護7a。-C。=y/3-

所以所求的橢圓Q的方程為正出1.

43

(2)①設切點坐標分別為相由,%)，8(*2,度)，直線/上點M的坐標為(4,Z),則切線方程分別為

.3=1——1.又兩切線均過點也即為直力=1,也匯犬2=1,即點48的坐標都適合方程

434333

第12頁

垮尸1,又兩點確定唯一的一條直線,故直線四的方程是垮月，顯然對任意實數(shù)t,點《,。)

適合這個方程,故直線48恒過定點C(l,0).

②將直線四的方程產(chǎn)上“1代入橢圓方程得

3

3(上戶1)2“-12=0,即(-M)y-2ty-9=o,

33

■27

所以總產(chǎn)梟，力及二

^+12

不妨設71>0,姓〈0,

貝0M7=J(x「i)2+y；=J弓+l)y；=―%，同理，/%/=-守亥,

所以二―一_二

14cl\BC\

-Jyz-yi

"3+9>1X2

__ad

、1+9以力

3

v't2+927

-￡2+!2

1.V144^4-9X144

42+99

即!ACl+lBCe，AC卜［BCh

3

故存在實數(shù)4=士使得〃0+/比7=4/47/?/比7.

3

第13頁

【解析】(1)根據(jù)已知確定橢圓方程的系數(shù)，即可得出橢圓方程.(2)①設出切點坐標,根據(jù)給

出的切線方程即可得到在點A,6處的兩條切線方程，點"的坐標同時適合這兩條切線方程，

即可根據(jù)兩點確定唯一的一條直線得到直線^的方程,再根據(jù)點材在已知直線上,確定單參

數(shù)直線系四的方程,根據(jù)這個直線系方程與參數(shù)無關得到關于x,y的方程組，以這個方程組

的解為坐標的點就是直線所過的定點;②求出定點后,變換//。+/%7=A/AC/?為

兒=」---,問題即轉化為--是否是常數(shù)的問題,再根據(jù)點A,氏C的坐標和兩點間的距

14cl|BC|\AC\\BC\

離公式把這個式子轉化為點的坐標之間的關系.

【備注】無

21.解：⑴由題意得g(x)=f'(x)=lnx-2ax,令g(x)=O,

得2a=也，

X

設方(%)=吧,/>0,貝l]/(x)=i2學，

XX2

當x>e時"'(力<0;當0<Xe時，方'(x)>0.

函數(shù)爾x)的單調遞增區(qū)間是(0,e),單調遞減區(qū)間是(e,+8),

/?(%)max=力(e).

e

作出函數(shù)力5)的大致圖象如圖所示，

數(shù)形結合可知，當2aW0或2年匕即或產(chǎn)之時，函數(shù)g(x)有一1個零點；

e2e

當2aZ,即a>三時，函數(shù)g(x)沒有零點；

e2e

第14頁

當0〈2a心,即0〈a〈土時，函數(shù)g(x)有2個零點.

e2e

(2)由(1)可知f'(x)=x(/?(x)-2a),

①當a,土時，f(x)WO恒成立，Mx)在(0,+8)上單調遞減,無最大值;

2e

②當aWO②存在唯一的Abe(0,1],使得h(xj=2a,

當X>Xo時，F(xiàn)(A)>0,當O<XAO時，尸(x)<0,

???f(X)在(0,A0)上單調遞減,在(的+8)上單調遞增,無最大值；

③當0<水土時,存在X]￡(1,e),&￡(e,+8),使得③兩)二力(及)=28

2e

易得/G)在(0,汨)，(刈+8)上單調遞減,在(%,期)上單調遞增，

又當(0,1)時，f(x)=x(ln

f(x)=A^2)-X2(In上2一8&-1)二*2(lnX2一肛^?&T)=0,

max%

解得^=e2,

.?.布班=3