基于po模型和garch1,1模型的var和es的度量

基于po模型和garch1,1模型的var和es的度量

1var的缺陷風險值是通過統(tǒng)計方法衡量市場風險的測量方法。引用離散風險的著名定義（1996）：“var是指在市場正常波動下，在一定前提下，某些投資組合在一定前提下，并在很長一段時間內造成的最糟糕的預測損失?！睌?shù)學定義如下。定義1(風險值(VaR))設隨機變量ZT(W)表示投資一定數(shù)額的資產W后,在未來某一持有期T內的損益,則滿足Ρ{ΖΤ(W)≤-VaR(Ζ)}=α(1)的正數(shù)VaR(Z)(為了與習慣一致,風險值VaR取正值)稱為該資產組合在未來持有期T內置信度為1-α的風險值.如果已知該投資組合在[0,T]時期內的損益率X=ZT/W的分布FX(x),則投資組合損益率分布的α分位數(shù)xα=sup{x|Ρ{X≤x}≤α}?(2)顯然有VaR(Z)=-x0W.(3)VaR把各種市場風險具體化為一個可以和其它經(jīng)營值相比較的數(shù)字,而且與傳統(tǒng)的風險管理相比,VaR能夠更加科學地反應風險狀況,因此自20世紀90年代起,VaR已被國外金融機構廣泛采納,但在使用中人們逐漸發(fā)現(xiàn),VaR具有概念上的缺陷,主要概括為兩點:(1)VaR只能度量資產組合在一定置信度下可能損失的分位數(shù),而忽略了越過這個分位數(shù)的損失會達到何種程度;(2)VaR不具有次可加性,因此不能對組成投資組合的各資產風險值相加計算.針對缺點(1),Artzner在1997年首先提出了另一種衡量市場風險的測度.定義2(尾部條件期望(TailConditionalExpectation,簡稱TCE)設隨機變量Z表示投資一定數(shù)額的資產W后,在未來某一持有期T內的損益,則ΤCE(Ζ)=-E{Ζ|Ζ≤-VaR}(4)稱為該投資組合在持有期T內置信度為1-α的尾部條件期望,TCE表示越過VaR值的損失的均值.Delbaen在1998年指出了TCE一般仍不具有次可加性,只有當損益分布連續(xù)時它才具有這一特性.次可加性在金融管理是非常重要的,是風險度量最重要的特征之一.為此,Acebi在2001年首先提出了另一種即具有次可加性又易于計算的市場風險測度,并從離散的情形推導出以下定義.定義3(期望損失(ExpectedShortfall),簡稱ES)設Z表示某投資組合在給定的時間T內和置信度1-α下的損益,則ES(Ζ)=-1α(E[ΖΙ{Ζ≤zα}]-zα(Ρ{Ζ≤zα}-α))(5)稱為期望損失.當損益為連續(xù)分布時,由于P{Z≤zα}=α,則有ES(Z)=TCE(Z),容易得到VaR、TCE和ES三者之間的下述關系:ES(Ζ)=-1α(E[ΖΙ{Ζ≤zα}]-zα(Ρ{Ζ≤zα}-α))=-1αΡ{Ζ≤zα}Ρ{Ζ≤zα}(E[ΖΙ{Ζ≤zα}]-zα(Ρ{Ζ≤zα}-α))=Ρ{Ζ≤zα}αΤCE+zααΡ{Ζ≤zα}-zα=γΤCE(Ζ)-(γ-1)VaR(Ζ)?(6)其中,γ=Ρ{Ζ≤zα}α≤1.當γ=1時,ES(Z)=TCE(Z).2最優(yōu)風險的險尾部風險是風險管理者最關心的問題之一,當某一投資組合的實際取值于損益分布的尾部時,就說明該投資組合具有極大的市場風險.我們說VaR具有尾部風險是指:由于忽略了投資組合的厚尾性和極大損失發(fā)生的可能性,導致可能發(fā)生的最大損失額較大的投資組合的VaR值反而小,就認為VaR有尾部風險.例如兩投資組合A和B,在置信度為95%下,VaR(A)>VaR(B),但A可能發(fā)生的最大損失為150萬美元,B的最大損失為200萬美元,這時候就認為VaR有尾部風險.同樣可以定義ES的尾部風險.下面介紹由極值理論和正態(tài)GARCH(1,1)模型組成的結合方法來比較VaR和ES的尾部風險.2.1廣義帕雷托分布函數(shù)先來介紹極值理論,極值理論主要包括兩類模型:即傳統(tǒng)的分塊樣本極大值模型和新興的POT(PeaksoverThreshold)模型,由于這種模型往往需要大量的數(shù)據(jù),應用起來比較困難,所以一般用POT模型研究極值問題.POT模型是對樣本中超過某一足夠大閾值的所有觀測值進行建模.定義4(超額數(shù)分布)設隨機變量Z的分布函數(shù)為FZ(z),θ表示一充分大的閾值(θ>0),則超額數(shù)的分布函數(shù)為:Fθ(x)=Ρ{Ζ-θ≤x|Ζ>θ}=FΖ(x+θ)-FΖ(θ)1-FΖ(θ).(7)定義5(廣義帕雷托分布函數(shù))非負隨機變量的分布函數(shù)Gξ?β(x)={1-(1+ξxβ)-1ξ?ξ≠0；1-exp(-xβ)?ξ=0(8)稱為廣義帕雷托分布函數(shù),其中尺度參數(shù)β>0.對于形狀參數(shù)ξ,若ξ>0,Gξ,β(x)是重新參數(shù)化的普通帕雷托分布;若ξ=0是指數(shù)分布;若ξ<0,則是帕雷托Ⅱ型分布.ξ>0時,廣義帕雷托分布是厚尾的,與風險度量最相關,因此在這里只考慮ξ>0的情況.ξ越大,表明分布尾部越厚.Pickands-Balkama-deHaan定理令z0=sup{x∈R|FZ(x)<1}≤∞,則對于?ξ∈R有l(wèi)imθ→z0sup0≤x≤z0-θ|Fθ(x)-Gξ,β(x)|=0.(9)由(7)～(9),令超過閾值的概率為p=1-FZ(θ),得FΖ(x)≈(1-FΖ(θ))Gξ,β(x-θ)+FΖ(θ)=1-p(1+ξx-θβ)-1ξ?x≥θ.(10)當VaR值超過閾值θ時,即當p>α時,該結論可用于求VaR和ES.由(1)式得1-α≈1-p(1+ξVaR(Ζ)-θβ)-1ξ?(11)VaR≈θ+βξ((pα)ξ-1).(12)在θ1=θ2=θ的情況下,不妨設ξ1<ξ2,ξ2表示的尾部分布更厚,當兩分布在尾部相交,如果滿足VaR(Ζ1)>VaR(Ζ2)?(13)我們說VaR有尾部風險.為了簡化,令p1=p2=p,由(12)和(13)得:β1β2>ξ1ξ2{(pα)ξ2-1(pα)ξ1-1}=α?(14)令Y=-Z,尾部條件期望可改寫為ΤCE(Y)=E{Y|Y≥VaR}=VaR+E{Y-VaR|Y≥VaR}=VaR+β+ξ(VaR-θ)1-ξ≈θ+β1-ξ(1+1ξ((pα)ξ-1))?(15)其中,0<ξ<1.由(10)知:近似損益分布為連續(xù)分布,故ES=TCE.因此在0<ξ1<ξ2<1的條件下,如果滿足ES(Ζ1)>ES(Ζ2)?(16)則ES有尾部風險.由(15)和(16)得β1β2>1-ξ11-ξ2{1+((pα)ξ2-1)/ξ21+((pα)ξ1-1)/ξ1}=b?(17)用分析方法(見附錄引理)易證在0<ξ1<ξ2<1的條件下,有不等式b>a.這說明與VaR相比當且僅當β1和β2相差較大時,ES才有尾部風險.于是,我們有:結論1采用(10)式近似地表示損益分布,當p>α時,在0<ξ1<ξ2<1的條件下,若β1β2∈(a,b),則VaR有尾部風險.2.2最優(yōu)模型的驗證以上表明,當p>α時,用極值理論中的POT模型是有效的.一般當置信度1-α≤95%時,用常規(guī)方法估計出的風險值,其準確性要遠遠好于極值理論方法.又因為收益率具有變易率聚類的特點,即變易率不僅隨時間t變化,還在某一時段連續(xù)出現(xiàn)偏高或偏低的情況,所以人們常用GARCH模型來擬合收益率.因此,當p≤α時,我們用正態(tài)分布GARCH(1,1)模型比較VaR和ES的尾部風險.該模型由條件均值方程和條件方差方程組成:{rt=μ+εt?εt=htet,et～Ν(0?1)；ht=α0+ρ1ht-1+α1εt-12?α0>0,0≤ρ1?α<1?}(18)其中,rt表示收益率,μ是無條件均值,常用樣本均值來估計,擾動項εt是定義在t-1時刻的信息集Ωt-1上具有零均值的隨機變量,信息集Ωt-1包括t-1及其以前各時刻的所有信息,ht為εt在Ωt-1下的條件異方差.首先推出VaR(rt)和TCE(rt)的計算公式:VaR(rt)=-(μ+Φ-1(α)ht)?(19)ΤCE(rt)=-E{rt|rt≤xα}=-1α∫-∞xαrt12πhte-(rt-μ)22htdrt=-1α∫-∞xα-μht12π(μ+htet)e-et22det=-1α[μα-ht2πe-et22]|∞xα-μht=htα2πe-[Φ-1(α)]22-μ?(20)其中,Φ-1(α)表示標準正態(tài)分布的α分位數(shù),再由(6)、(19)和(20)得ES(rt)=γΤCE(rt)-(γ-1)VaR(rt)=VaR(rt)+(1α2πe-[Φ-1(α)]22+Φ-1(α))γht?(21)設ht1<ht2,ht2表示的分布尾部更厚,當兩分布在尾部相交,如滿足Var(rt1)>VaR(rt2)=c?(22)就說VaR(rt)有尾部風險.在相同條件下,如果ES(rt1)>ES(rt2)?(23)就說ES(rt)有尾部風險.因正態(tài)分布為連續(xù)分布,則γ=1,由(21)和(23)得:VaR(rt1)>VaR(rt2)+(1α2πe-[Φ-1(α)]22+Φ-1(α))(ht2-ht1)=d?(24)其中,0.05<α≤0.1.結論2采用正態(tài)GARCH(1,1)模型擬合收益率,設ht1<ht2,若VaR(rt)∈(c,d),則VaR有尾部風險,而ES沒有尾部風險.下面以實例驗證這一結論.我們以上證所1999年1月至2002年10月天目藥業(yè)和上海汽車每工作日收盤指數(shù)共894個交易日為樣本,利用正態(tài)GARCH(1,1)模擬收益率,由經(jīng)濟計量軟件包pcgive9.3計算,所得結果以及VaR和ES的比較如下:天目藥業(yè):rt=-(4.08E-05)+ε,ht=(2.53E-05)+0.823603ht-1+0.146782εt-12,ht的均值=0.000713.上海汽車:rt=-0.000293+εt,ht=(8.68E-05)+0.791168ht+0.051841εt-12,ht的均值=0.000547.通過計算得知:天目藥業(yè)ht的均值>上海汽車ht的均值,在置信度90%下,TCE(天目藥業(yè)收益率)>TCE(上海汽車收益率),而VaR(天目藥業(yè))<VaR(上海汽車).實例說明:在置信度90%下,ES沒有尾部風險,VaR有尾部風險.最后用Kupiec的回溯(Back-test)法檢驗正態(tài)GARCH(1,1)模型計算VaR的有效性,見表2.其中,n表示評價樣本的大小,N為評價樣本中損失值大于VaR的個數(shù).關于天目藥業(yè)和上海汽車的損失值大于VaR的個數(shù)計算結果列于表3.由此可知,用正態(tài)分布GARCH(1,1)模型擬合兩者收益率來計算VaR效果都較好,因此該模型是有效的.3模型擬合具有極值理論分析本文運用結合方法比較VaR和ES的尾部風險,當閾值θ→sup{x∈R|F(x)<1}且尾部概率p>α時,運用極值理論中的POT模型計算;當p≤α時,用