《工程力學(xué)》（答案）

思考題與練習(xí)題答案《工程力學(xué)》《工程力學(xué)》第一篇靜力學(xué)第1章靜力學(xué)基礎(chǔ)思考題1-1說明下面兩個(gè)式子的意義。（1）；（2）。解：（1）式中F表示力矢量，因此表示力和大小相等、方向相同。（2）式中F表示力的大小，因此表示力和的大小相等。1-2能否說合力一定比分力大，為什么？解：不一定。例如，大小相等、方向相反，且作用在同一直線上的兩個(gè)力的合力為零。1-3二力平衡公理和作用力與反作用公理有何異同？解：二力平衡公理是指：作用在剛體上的兩個(gè)力，使剛體保持平衡的充要條件是：這兩個(gè)力的大小相等、方向相反，且作用在同一直線上。作用力與反作用公理是指：任何兩個(gè)物體間的作用，總是大小相等、方向相反、沿同一作用線分別作用在兩個(gè)物體上?？梢钥闯觯ζ胶夤砻枋龅氖?，兩個(gè)不同的力作用在同一個(gè)物體上的情況；作用力與反作用力公理描述的是兩個(gè)不同物體之間相互作用的情況。但它們有一個(gè)相同點(diǎn)，即上述兩種情況下的一對(duì)力均滿足大小相等、方向相反。1-4約束反力的方向和主動(dòng)力的方向有無關(guān)系？解：約束反力的方向總是與約束所能限制物體位移的方向相反。對(duì)于有些約束類型，如具有光滑接觸表面的約束，其約束反力必然作用在接觸點(diǎn)處，作用線沿著接觸面的公法線方向，且指向被約束物體；又如繩索類柔性約束，其約束反力只能是沿柔性體的軸線而背離被約束物體的拉力。而對(duì)于圓柱鉸鏈約束等，其約束反力的作用點(diǎn)位置（即接觸點(diǎn)位置）、方向和大小由構(gòu)件所受主動(dòng)力確定。因此，約束反力的方向是否和主動(dòng)力的方向有關(guān)，取決于約束類型。1-5什么是二力構(gòu)件？分析二力構(gòu)件受力時(shí)與構(gòu)件的形狀有無關(guān)系？思考題1-5圖解二力構(gòu)件受力時(shí)，二力大小相等、方向相反，且都沿兩作用點(diǎn)的連線方向；與構(gòu)件的形狀無關(guān)。（a）（b）（c）圖1-18解：圖1-18（b）所示受力圖錯(cuò)誤，正確的受力圖所圖1-18（c）所示。練習(xí)題題1-1畫出圖1-19中各物體的受力圖。假定所有接觸均為光滑接觸，且除有特殊說明外，物體的重力忽略不計(jì)。（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）（h）圖1-19解：各物體的受力圖如練習(xí)題1-1圖解所示。（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）（h）練習(xí)題1-1圖解題1-2改正圖1-20中各物體受力圖的錯(cuò)誤。（a）（b）（c）圖1-20解：正確的受力圖如練習(xí)題1-2圖解所示。（a）（b）（c）練習(xí)題1-2圖解第2章平面基本力系思考題2-1已知力，，，的作用線匯交于一點(diǎn)，其力多邊形如圖2-16所示，試問這兩種力多邊形的意義有何不同？（a）（b）圖2-16解：圖2-16（a）中，力多邊形自行閉合，合力為零。圖2-16（b）所示的力多邊形中，，，的合力；因此該力多邊形中，，，，的合力為。2-2用解析法求平面匯交力系的合力時(shí)，若取不同的直角坐標(biāo)軸，所求得的合力是否相同？2-3力的分力與投影這兩個(gè)概念之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？試結(jié)合圖2-17進(jìn)行說明。（a）（b）圖2-17解：分力仍然是一個(gè)力，是矢量；力在某軸上的投影是標(biāo)量。如圖2-17（a）所示，力F沿x，y軸的分力分別為力F在x，y軸上的投影分別為圖2-17（b）中，力F沿x，y軸的分力分別為力F在x，y軸上的投影分別為因此，力在兩正交軸上的分力的大小，分別等于力在對(duì)應(yīng)軸上的投影。2-4比較力矩和力偶矩的異同。解：力矩是力使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，其大小與矩心位置有關(guān)；而力偶矩是力偶使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，其大小與矩心位置無關(guān)。力矩和力偶矩都是代數(shù)量，其符號(hào)“”表示轉(zhuǎn)向，力（或力偶）使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)；力矩和力偶矩的單位都是或。練習(xí)題題2-1如圖2-18（a）所示，等邊三角形的邊長(zhǎng)為l，現(xiàn)在其三個(gè)頂點(diǎn)上沿三條邊分別作用一個(gè)大小相等的力F，試求此力系向B點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果。（a）（b）圖2-18解：（1）如圖2-18（b）所示，建立直角坐標(biāo)系xBy。（2）分別求出A，B，C各點(diǎn)處受力在x，y軸上的分力（3）求出各分力在B點(diǎn)處的合力和合力偶因此，該力系的簡(jiǎn)化結(jié)果為一個(gè)力偶矩，逆時(shí)針方向。題2-2如圖2-19（a）所示，在鋼架的B點(diǎn)作用有水平力F，鋼架重力忽略不計(jì)。試求支座A，D的約束反力。（a）（b）圖2-19解：（1）以鋼架為研究對(duì)象。（2）分析鋼架受力情況。鋼架受到力F以及約束反力，和的作用而處于平衡狀態(tài)。由力偶系平衡條件知，約束反力與力F構(gòu)成一個(gè)力偶，，且由此可以確定的方向?yàn)樗较蜃?；約束反力與構(gòu)成一個(gè)力偶，，假設(shè)方向如圖2-19（b）所示。上述2個(gè)力偶應(yīng)滿足力偶系平衡條件。（3）根據(jù)力偶系平衡條件列出方程，并求解未知量可解得。求得結(jié)果為正，說明和的方向與假設(shè)方向相同。題2-3如圖2-20（a）所示，水平梁上作用有兩個(gè)力偶，分別為，，已知，試求A，B兩處支座的約束反力。（a）（b）圖2-20解：（1）以梁AB為研究對(duì)象。（2）分析梁AB受力情況。梁AB受到兩個(gè)力偶和，以及兩個(gè)約束反力和的作用而處于平衡狀態(tài)。由力偶系平衡條件知，支座A和B對(duì)梁AB的約束反力和應(yīng)構(gòu)成一個(gè)力偶，且與原合力偶平衡，又因?yàn)榈姆轿淮怪庇跐L動(dòng)支座支承面，指向假設(shè)如圖2-20（b）所示，從而可以確定的方向。即有，且滿足力偶系平衡條件。（3）根據(jù)力偶系平衡條件列出方程，并求解未知量將題中條件代入后，可解得求得結(jié)果為負(fù)，說明和的方向與假設(shè)方向相反。題2-4已知，其余尺寸如圖2-21（a）所示，試求A，B兩處支座的約束反力。（a）（b）圖2-21解：（1）以圖示支架ACB為研究對(duì)象。（2）分析支架受力情況。支架受到力F、力偶M，以及3個(gè)約束反力，和的作用而處于平衡狀態(tài)。由力偶系平衡條件可知，F(xiàn)與應(yīng)構(gòu)成一個(gè)力偶，的方向水平向右；和應(yīng)構(gòu)成另一個(gè)力偶，假設(shè)和的方向如下圖2-21（b）所示。上述力偶系應(yīng)滿足力偶系平衡條件。（3）根據(jù)力偶系平衡條件列出方程，并求解未知量，得可解得結(jié)果為正，說明和的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同，如圖2-21（b）所示。第3章平面任意力系思考題3-1什么叫力系的主矢？它與合力有什么區(qū)別和聯(lián)系？主矢與簡(jiǎn)化中心的位置有沒有關(guān)系？解：平面任意力系中所有各力的矢量和，稱為該力系的主矢；主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)。平面任意力系的合成結(jié)果為一個(gè)主矢和一個(gè)主矩；當(dāng)主矩為零時(shí)，平面任意力系的主矢就是合力。3-2什么叫力系的主矩？它是否就是力偶系的合力偶矩？主矩與簡(jiǎn)化中心的位置有沒有關(guān)系？解：平面任意力系中所有各力對(duì)任選簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和，稱為該力系的主矩。主矩一般與簡(jiǎn)化中心有關(guān)。合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。在平面力偶系中，各分力偶的合力偶矩等于該力系的主矩。3-3如果已知一平面任意力系可以簡(jiǎn)化為一個(gè)合力，能否通過選擇適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化中心，把力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶？反之，如果已知力系可以簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶，能否通過選擇適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化中心，把力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力？為什么？3-4什么是超靜定問題？如何判斷問題是靜定還是超靜定？請(qǐng)說明圖3-12中哪些是靜定問題，哪些是超靜定問題？（a）（b）（c）圖3-12解：當(dāng)整個(gè)物系平衡時(shí)，物系內(nèi)各個(gè)剛體也處于平衡狀態(tài)。因此對(duì)每個(gè)受平面任意力系作用的剛體，都可以列出3個(gè)獨(dú)立的平衡方程。那么對(duì)由n個(gè)剛體組成的物系來說，獨(dú)立平衡方程的數(shù)目為3n。如果物系中未知量的總數(shù)等于或小于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，則所有的未知量都可以由平衡方程求出，這樣的問題稱為靜定問題。如果物系中未知量的總數(shù)大于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，則未知量不能全部由平衡方程求出，而只能求出其中的一部分未知量，這樣的問題稱為超靜定問題。圖3-12（a）中剛體的數(shù)目為1個(gè)，可列出3個(gè)獨(dú)立的平衡方程，而A，B點(diǎn)處共有4個(gè)約束反力，無法完全求解，屬于超靜定問題。圖3-12（b）中剛體的數(shù)目為2個(gè)，可列出6個(gè)獨(dú)立的平衡方程，而A，B及中間鉸接點(diǎn)處共有6個(gè)約束反力，可以完全求解，屬于靜定問題。圖3-12（c）中剛體的數(shù)目為2個(gè)，可列出6個(gè)獨(dú)立的平衡方程，而A，B點(diǎn)處共有7個(gè)約束反力，無法完全求解，屬于超靜定問題。練習(xí)題題3-1如圖3-13所示，半徑為r的圓盤上，以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為r的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上分別作用著力，，，。已知，該力系對(duì)點(diǎn)O的主矩為。問該力系對(duì)點(diǎn)O′的主矩為何值？與之間有何關(guān)系？為什么是這種關(guān)系？圖3-13解：該力系的主矢為因?yàn)橹魇笧榱悖ο岛?jiǎn)化為一個(gè)合力偶。這種情況下，力系的主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)，因此有題3-2如圖3-14（a）所示，已知，，分別作用在點(diǎn)C，O，B點(diǎn)上，四邊形OABC是一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)為a（單位為m），，，，。求該力系的最終簡(jiǎn)化結(jié)果。（a）（b）圖3-14解：（1）如圖3-14（b）所示，建立直角坐標(biāo)系Oxy。（2）將題述力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化，得，由于該力系的主矢、主矩都不等于零，即力系簡(jiǎn)化的結(jié)果為一個(gè)力和一個(gè)力偶，根據(jù)力的平移定理的逆定理可知，主矢和主矩可合成為一個(gè)合力。該合力矢量等于主矢，作用線在O點(diǎn)右下方過點(diǎn)的直線，且簡(jiǎn)化中心O到合力作用線的距離為題3-3無重水平梁的支承和載荷如圖3-15（a）所示，已知力F、力偶矩M和強(qiáng)度為q的均勻載荷。求支座A和B處的約束反力。（a）（b）圖3-15解：（1）以梁為研究對(duì)象，受力情況如圖3-15（b）所示。（2）建立直角坐標(biāo)系，列出平面任意力系的平衡方程，并求解未知量，得可解得，，。該題的求解步驟已更新。因?yàn)槭歉墓骄庉嬈骼锩娴膬?nèi)容，修訂模式顯示不出來改了什么該題的求解步驟已更新。因?yàn)槭歉墓骄庉嬈骼锩娴膬?nèi)容，修訂模式顯示不出來改了什么題3-4如圖3-16（a）所示，起重機(jī)重為，可繞垂直軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)，起重機(jī)的吊鉤上掛一重為的重物，起重機(jī)的重心C到垂直軸的距離為1.5m，其他尺寸如圖所示。試求在止推軸承A和軸承B處的約束反力。（a）（b）圖3-16解：（1）以起重機(jī)為研究對(duì)象，受力情況如圖3-16（b）所示。（2）建立直角坐標(biāo)系，列出平面任意力系的平衡方程，并求解未知量，得可解得，，。為負(fù)，說明假設(shè)方向與實(shí)際方向相反，即應(yīng)水平向左。第4章摩擦思考題4-1什么是靜滑動(dòng)摩擦力？其方向是如何確定的？有人說摩擦力的方向永遠(yuǎn)與物體的運(yùn)動(dòng)方向相反，對(duì)嗎？試舉例說明。解：兩個(gè)表面粗糙且相互接觸的物體之間，有相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)，在接觸面上產(chǎn)生與相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)相反的阻力，稱為靜滑動(dòng)摩擦力。摩擦力的方向與物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反，而不是與物體的運(yùn)動(dòng)方向相反。如思考題4-1圖解所示為一個(gè)傳送機(jī)構(gòu)，在圖（a）所示上料過程中，物塊的運(yùn)動(dòng)方向與靜摩擦力的方向均向上，二者方向相同；而在圖（b）所示的下料過程中，物塊的運(yùn)動(dòng)方向沿傳送帶向下，靜摩擦力方向沿傳送帶向上，二者方向相反。因此，靜摩擦力的方向一定與相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反，但不一定與運(yùn)動(dòng)方向相反。（a）（b）思考題4-1圖解4-2什么是最大靜滑動(dòng)摩擦力？它與靜滑動(dòng)摩擦力有什么區(qū)別和聯(lián)系？解：最大靜滑動(dòng)摩擦力是靜滑動(dòng)摩擦力的一個(gè)臨界值。超越該臨界值后，物體將發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，此時(shí)靜滑動(dòng)摩擦力就被動(dòng)滑動(dòng)摩擦力所取代。4-3如圖4-7所示，已知，靜摩擦系數(shù)，求此時(shí)物體所受的摩擦力。圖4-7解：由題意知，首先計(jì)算出墻面能夠提供給物塊的最大靜摩擦力為由于因此，物體將處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)物體所受的摩擦力為鉛直向上的靜摩擦力，且有4-4如圖4-8（a）所示，重力為P的物體置于斜面上，已知靜摩擦系數(shù)為，且有，問此物體能否下滑？如果增加物體的重量或在物體上再加一重力為的物體，問能否達(dá)到下滑的目的？為什么？（a）（b）圖4-8解：如圖4-8（b）所示，假設(shè)物體不下滑，則物體受到沿斜面向上的靜摩擦力，由靜力平衡方程可知而斜面能夠提供給物體的最大靜摩擦力的大小為由于斜面能夠提供給物體的最大靜摩擦力大于維持物體不下滑所需要的摩擦力，因此物體不下滑。同理可證，增加物體的重量或在物體上再加一重量為的物體，不能達(dá)到下滑的目的。4-5什么是自鎖現(xiàn)象？試舉例說明。解：定義全約束反力與接觸線法線的夾角為φ，其達(dá)到最大值時(shí)，稱為摩擦角。如果作用在物體上的全部主動(dòng)力的合力的作用線在摩擦角之內(nèi)，則無論這個(gè)力多么大，物體必然保持平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。在工程中，自鎖現(xiàn)象有廣泛的應(yīng)用。例如，機(jī)床夾具、固定或鎖緊螺絲、壓榨機(jī)、千斤頂?shù)?，自鎖現(xiàn)象可以使它們始終保持在平衡狀態(tài)下工作。4-6如圖4-9所示，重為P的物體置于水平面上，力F作用在摩擦角之外，已知，摩擦角。問物體能否被推動(dòng)？為什么？圖4-9解：若要推動(dòng)物體，力F在水平方向上的分力必須克服地面提供給物體的最大靜摩擦力。而本題中由于，故有因此，無法推動(dòng)物體。練習(xí)題題4-1如圖4-10所示，已知物體重，與水平面的靜摩擦系數(shù)為，動(dòng)摩擦系數(shù)為。試問下列三種情況下，物體受到的摩擦力分別為多少？（1）； （2）； （3）。圖4-10解：物體受到的最大靜摩擦力為（1），物體靜止，；（2），物體處于臨界狀態(tài)，；（3），物體運(yùn)動(dòng)，題4-2判斷圖4-11中的物體能否靜止？并求這兩個(gè)物體所受摩擦力的大小和方向。已知：（1）圖4-11（a）中，物體重，拉力，，；（2）圖4-11（b）中，物體重，壓力，，。（a）（b）圖4-11解：（1）圖4-11（a）中，，物體靜止，；靜摩擦力方向水平向左。（2）圖4-10（b）中，，物體運(yùn)動(dòng)，，動(dòng)摩擦力方向豎直向上。題4-3如圖4-12（a）所示，物塊與傳送帶之間的靜摩擦系數(shù)。試問傳送帶的最大傾角θ為多大？（a）（b）圖4-12解：以物體為研究對(duì)象，受力情況如圖4-12（b）所示，由平面匯交力系的平衡方程，可知由臨界狀態(tài)下的補(bǔ)充方程，可知臨界狀態(tài)下有，從而有題4-4如圖4-13（a）所示，圓柱重，半徑，圓柱與V形槽間的摩擦系數(shù)。試求轉(zhuǎn)動(dòng)圓柱的最小力偶矩。（a）（b）圖4-13解：（1）以圓柱為研究對(duì)象，并考慮臨界狀態(tài)，受力情況如圖4-13（b）所示。（2）建立圖示直角坐標(biāo)系，列出平面任意力系的平衡方程，及臨界狀態(tài)下的補(bǔ)充方程為可解得，，。題4-5如圖4-14（a）所示，兩根相同的均質(zhì)桿AB和BC，在端點(diǎn)B處用光滑鉸鏈連接，A，C端放在不光滑的水平面上，當(dāng)ABC構(gòu)成等邊三角形時(shí)，物系在垂直面內(nèi)處于臨界平衡狀態(tài)。求桿端與水平面間的摩擦系數(shù)。（a）（b）（c）圖4-14解：（1）先以AB，BC桿整體為研究對(duì)象，設(shè)桿重均為P，桿長(zhǎng)均為l，受力圖如圖4-14（b）所示。由對(duì)稱性原理及平面任意力系的平衡條件可知（2）以AB為研究對(duì)象，受力圖如圖4-14（c）所示。由平面任意力系的平衡條件，對(duì)于B點(diǎn)，有將，代入上式，可解得第5章空間力系思考題5-1用矢量積計(jì)算力F對(duì)點(diǎn)O之矩，當(dāng)力沿其作用線移動(dòng)，改變了力作用點(diǎn)的坐標(biāo)x，y，z時(shí)，其計(jì)算結(jié)果是否變化？解：如下圖所示，力F的作用線沿AB，O點(diǎn)為矩心，則力對(duì)該點(diǎn)之矩，稱為力矩矢，用表示。力矩矢的模（即大?。┑扔诹與力臂d的乘積，方向垂直于力F與矩心O所決定的平面，指向可用右手法則來確定。即有當(dāng)力沿其作用線移動(dòng)時(shí)，的面積保持不變，力矩矢的大小和方位保持不變，因此計(jì)算結(jié)果沒有變化。思考題5-1圖解5-2力對(duì)軸之矩的意義是什么？如何計(jì)算？如何確定其正負(fù)號(hào)？哪些情況下力對(duì)軸之矩等于零？解：力對(duì)軸之矩用于度量力對(duì)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。如果將力F對(duì)z軸之矩用表示，則有其中，正負(fù)號(hào)用于表示轉(zhuǎn)向。從z軸的正向看去，若力使物體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，取正號(hào)；反之，取負(fù)號(hào)?；蛴糜沂址▌t來確定：即以右手四指表示力使物體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的方向，若拇指的指向與z軸的正向相同，取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào)。當(dāng)力與轉(zhuǎn)軸平行時(shí)，此力在垂直于該軸平面上的分力為零，此時(shí)力對(duì)該軸之矩為零。此外，當(dāng)力與轉(zhuǎn)軸相交時(shí)，力對(duì)該軸之矩也為零。5-3對(duì)于任意物體，如果它具有對(duì)稱面，則該物體的重心是否一定在對(duì)稱面上？為什么？解：對(duì)于均質(zhì)物體來說，如果它具有對(duì)稱面，則該物體的重心一定在對(duì)稱面上。而對(duì)于非均質(zhì)物體，則不一定。5-4均質(zhì)等截面直桿的重心在哪里？若把它彎成半圓形，重心位置如何變化？解：均質(zhì)等截面直桿的重心位于桿的中心處。若把它彎成半圓形，重心位置變?yōu)椋缦聢D所示。思考題5-4圖解5-5計(jì)算同一物體的重心，如果選擇兩個(gè)不同的坐標(biāo)系，則在這兩個(gè)坐標(biāo)系中計(jì)算出來的重心坐標(biāo)是否相同？如果不相同，是否意味著物體重心的相對(duì)位置隨坐標(biāo)系的不同而發(fā)生變化呢？解：計(jì)算同一物體的重心，如選兩個(gè)不同的坐標(biāo)系，則對(duì)于這兩個(gè)坐標(biāo)系計(jì)算出來的重心坐標(biāo)會(huì)有所不同，這說明物體重心的坐標(biāo)隨坐標(biāo)系的選擇不同而變化，但物體的重心相對(duì)位置是不變的。物體重心所在的位置，與該物體在空間的位置無關(guān)。練習(xí)題題5-1如圖5-20所示空間力系，已知，求力系對(duì)y軸之矩。圖5-20解：首先求出力在x，y軸上的分力，分別為，方向沿x軸負(fù)方向；，方向沿y軸正方向。由合力矩定理可得到力F對(duì)y軸之矩為沿y軸正端往負(fù)端看為順時(shí)針方向。題5-2如圖5-21所示，已知，求力F對(duì)z軸之矩。圖5-21解：首先求出力F在x，y軸上的分力，分別為由合力矩定理可得到力F對(duì)z軸之矩為從z軸正端向負(fù)端看為順時(shí)針轉(zhuǎn)向。圖5-22解：力F在三個(gè)軸上的分力分別為由合力矩定理可得到力F對(duì)x，y，z軸之矩題5-4如圖5-23（a）所示，力F作用在長(zhǎng)方體上，力的作用線位置如圖所示。試計(jì)算：（1）力F在y軸上的投影；（2）力F在z軸上的投影；（3）力F對(duì)AB軸之矩。（a）（b）圖5-23解：（1）設(shè)F與水平面的夾角為θ，力在水平面上的投影為，與y軸的夾角為β，如圖5-23（b）所示。由二次投影定理得（2）力F在z軸上的投影為（3）力F對(duì)AB軸之矩為，從A看向B為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向。題5-5如圖5-24所示，已知鏜刀桿刀頭上受切削力，徑向力，軸向力，刀尖位于Oxy平面內(nèi)，其坐標(biāo)為，。試求被切削工件左端O處的約束反力。圖5-24解：由空間任意力系的平衡方程得可解得；。題5-6如圖5-25（a）所示，平面圖形內(nèi)每一方格的邊長(zhǎng)為20mm。試求圖中所示圖形的重心位置。（a）（b）圖5-25解：本題可采用負(fù)面積法求解。如圖5-25（b）所示，該圖形可看成是大矩形ABCD去除2個(gè)小矩形以及1個(gè)圓后剩余的部分，各部分的面積和重心坐標(biāo)分別為剩余部分的重心坐標(biāo)為題5-7求圖5-26中工字鋼截面的重心，尺寸如圖所示（單位為mm）。圖5-26解：本題可采用分割法求解。圖示工字鋼截面可看成是由3個(gè)小矩形組合而成的，各部分的面積和重心坐標(biāo)分別為因此，截面重心坐標(biāo)為第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)第6章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和剛體的基本運(yùn)動(dòng)思考題6-1什么是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程？什么是點(diǎn)的軌跡方程？二者有什么區(qū)別和聯(lián)系？能否由點(diǎn)的軌跡方程確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程？解：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，是描述動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)隨時(shí)間變化的方程；點(diǎn)的軌跡方程，是描述動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的空間曲線方程。在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程中，消去參變量時(shí)間t，則可以得到點(diǎn)的軌跡方程；但無法由點(diǎn)的軌跡方程確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。6-2和，和有何異同？解：用于描述點(diǎn)的速度矢量隨時(shí)間的變化，即為點(diǎn)的加速度，它是一個(gè)矢量；而則用于描述點(diǎn)的速度大小隨時(shí)間的變化，即點(diǎn)的切向加速度大小，它是一個(gè)標(biāo)量。用于描述點(diǎn)的速度，包含大小和方向，是一個(gè)矢量；是指點(diǎn)的速度大小，是一個(gè)標(biāo)量。6-3若動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的加速度為零，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的速度是否也一定為零？反之，若動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的速度為零，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的加速度是否也一定為零？解：動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的加速度為零，說明在該瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的速度變化為零，但此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的速度不一定為零；反之，若動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的速度為零，但其速度變化不一定為零，即此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的加速度也不一定為零。6-4如圖6-15所示，點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的加速度a為恒矢量。問這種情況下點(diǎn)是否做勻變速運(yùn)動(dòng)？圖6-15解：勻變速運(yùn)動(dòng)的特征是動(dòng)點(diǎn)的角加速度α為常數(shù)，在圖示中雖然點(diǎn)的加速度a為恒矢量，但其角加速度α卻非常數(shù)，因此這種情況下點(diǎn)并不做勻變速運(yùn)動(dòng)。6-5點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷下列說法是否正確。（1）若切向加速度為正，則點(diǎn)做加速運(yùn)動(dòng)；（2）若切向加速度和速度符號(hào)相同，則點(diǎn)做加速運(yùn)動(dòng)；（3）若切向加速度為零，則速度為常矢量。解：（1）錯(cuò)誤；（2）正確；（3）錯(cuò)誤。6-6各點(diǎn)都做圓周運(yùn)動(dòng)的剛體一定是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。這種說法是否正確？解：上述說法不正確。6-7剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡一定是圓周嗎？6-8手表的時(shí)針、分針和秒針的角速度各是多少？解：時(shí)針、分針和秒針的角速度分別為，和。練習(xí)題題6-1已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為試求點(diǎn)M的軌跡方程、速度及加速度。解：點(diǎn)的軌跡方程為點(diǎn)的速度為點(diǎn)的加速度為題6-2如圖6-16所示機(jī)構(gòu)，已知，，輪按規(guī)律運(yùn)動(dòng)。試求時(shí)，點(diǎn)M的速度和加速度。圖6-16解：由題意，是平行四邊形，點(diǎn)A和點(diǎn)B做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)，AB桿做平動(dòng)。根據(jù)平動(dòng)特性，桿上各點(diǎn)的速度、加速度都相同，因此求出點(diǎn)A的速度和加速度，也就求出了M點(diǎn)的速度和加速度。首先確定AB桿的位置。時(shí)，。該瞬時(shí)桿AB位于最下方。輪O1做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度為故A點(diǎn)的速度為由于角速度為常量，因此A點(diǎn)的切向加速度為零，只有法向加速度，即進(jìn)而可以求出AB桿上M點(diǎn)的速度和加速度分別為，方向水平向右；，方向豎直向上。題6-3如圖6-17（a）所示機(jī)構(gòu)，其中剛體的角速度和角加速度分別為ω和α。試求點(diǎn)A和點(diǎn)M的速度、切向加速度及法向加速度的大小和方向。（a）（b）圖6-17解：剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其上所有點(diǎn)均做以O(shè)為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，故A，M兩點(diǎn)的速度、加速度的方向分別如圖6-17（b）所示。下面求A，M兩點(diǎn)的速度、加速度的大小。（1）對(duì)點(diǎn)A，可以得出（2）對(duì)點(diǎn)M，可以得出第7章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)思考題7-1試舉出幾個(gè)工程實(shí)際中合成運(yùn)動(dòng)的實(shí)例。解：如乘客在行進(jìn)中的公交車上行走時(shí)，公交車相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)為牽連運(yùn)動(dòng)，乘客相對(duì)于公交車的運(yùn)動(dòng)為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而乘客相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)則為合成運(yùn)動(dòng)。7-2什么是牽連速度？有人說動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)是牽連運(yùn)動(dòng)，因此動(dòng)系的速度就是牽連速度，這種說法是否正確？為什么？解：牽連速度，是指牽連點(diǎn)的速度，即某瞬時(shí)動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的點(diǎn)相對(duì)于定系的速度。一般來說，動(dòng)點(diǎn)是對(duì)動(dòng)參考系有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)；牽連點(diǎn)是動(dòng)參考系上的幾何點(diǎn)，它們是兩個(gè)不同的點(diǎn)。但在運(yùn)動(dòng)的同一瞬時(shí)，它們是重合的。在不同瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)坐標(biāo)系上不同的點(diǎn)重合，就有不同的點(diǎn)成為新的牽連點(diǎn)。因此，“動(dòng)坐標(biāo)系的速度就是牽連速度”的說法是不正確的。解：點(diǎn)的速度合成定理，指在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度等于牽連速度和相對(duì)速度的矢量和。牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的速度合成定理的實(shí)質(zhì)并無區(qū)別。7-4簡(jiǎn)述利用點(diǎn)的速度合成定理解題的一般步驟。解：利用點(diǎn)的速度合成定理求解問題的一般步驟如下。（1）根據(jù)題意選取動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和定系。其中，動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系應(yīng)分別選在兩個(gè)不同的剛體上，這樣才能分解點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。（3）應(yīng)用點(diǎn)的速度合成定理求解。列出矢量方程，利用矢量的平行四邊形法則或投影方程進(jìn)行計(jì)算求解。練習(xí)題題7-1如圖7-7（a）所示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，曲柄OA繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊A可在滑槽DE內(nèi)滑動(dòng)，并帶動(dòng)桿BC在水平方向上往復(fù)運(yùn)動(dòng)。設(shè)曲柄OA以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，。試求圖示位置時(shí)桿BC的速度。（a）（b）圖7-7解：由于桿BC做平移運(yùn)動(dòng)，故BC桿以及滑槽DE上所有點(diǎn)的速度相同。選曲柄端A為動(dòng)點(diǎn)，桿BC為動(dòng)系。動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是以O(shè)點(diǎn)為中心的圓周運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)速度方向沿圓周的切線；A點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿滑槽DE的直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度方向豎直向上或向下；牽連運(yùn)動(dòng)為BC桿水平向左或向右的直線運(yùn)動(dòng)。由速度合成定理，可作出速度平行四邊形，如圖7-7（b）所示。由圖中三角關(guān)系可求得BC桿的速度為題7-2如圖7-8（a）所示，半徑為R、偏心距為e的凸輪，以角速度ω繞軸O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，桿AB可在滑槽內(nèi)上下移動(dòng)，端點(diǎn)A始終與凸輪接觸，且OAB成一條直線。求圖示位置時(shí)桿AB的速度。（a）（b）圖7-8解：桿AB做平移運(yùn)動(dòng)，桿上各點(diǎn)的速度相同。選取桿AB的端點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系隨凸輪一起繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。A點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)速度方向沿AB直線；相對(duì)運(yùn)動(dòng)是以凸輪中心C為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度方向沿凸輪圓周的切線；牽連運(yùn)動(dòng)為凸輪繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，牽連速度為凸輪上與桿端A點(diǎn)重合的點(diǎn)的速度，垂直于OA，其大小為。由速度合成定理，可作出速度平行四邊形，如圖7-8（b）所示。由圖中三角關(guān)系可求得桿AB的速度為題7-3如圖7-9（a）和圖7-9（b）所示的兩種機(jī)構(gòu)中，已知，。求圖示位置時(shí)桿的角速度。（a）（b）（c）（d）圖7-9解：根據(jù)題意和圖示可以求得，。（1）對(duì)于圖7-9（a）所示機(jī)構(gòu)，以桿上的點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，以桿為動(dòng)系。點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為以為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)速度方向沿圓周的切線；點(diǎn)A的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度方向沿直線；牽連運(yùn)動(dòng)為以為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，牽連速度方向沿圓周的切線。由速度合成定理，可作出速度平行四邊形，如圖7-9（c）所示。故桿的角速度為A點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為以為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)速度方向沿圓周的切線；A點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度方向沿直線；牽連運(yùn)動(dòng)為以為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，牽連速度方向沿圓周的切線。由速度合成定理，可作出速度平行四邊形，如圖7-9（d）所示。故桿的角速度為題7-4如圖7-10（a）所示的搖桿機(jī)構(gòu)中，滑桿AB以速度v向上勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)開始時(shí)桿OC水平，且已知搖桿長(zhǎng)，距離。求當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的速度大小。（a）（b）圖7-10解：以AB桿上的端點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)C桿為動(dòng)系。A點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿直線AB的直線運(yùn)動(dòng)；A點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿直線OC的直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)為以O(shè)為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，牽連速度方向沿圓周的切線。由速度合成定理，可作出速度平行四邊形，如圖7-10（b）所示。A點(diǎn)的絕對(duì)速度為故牽連速度為OA桿的角速度為OA桿上點(diǎn)C的速度為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的速度為第8章剛體的平面運(yùn)動(dòng)思考題8-1什么是剛體的平面運(yùn)動(dòng)？試舉例說明。解：剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體上任一點(diǎn)都與某一固定平面始終保持相等的距離，這類運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)。8-2剛體的平面運(yùn)動(dòng)與剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？解：剛體的平面運(yùn)動(dòng)，可分成隨同基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，都是剛體平面運(yùn)動(dòng)的特殊情況。8-3車輛在水平直線軌道上運(yùn)行時(shí)，車廂和車輪是否做平面運(yùn)動(dòng)？解：車輛在水平直線軌道上運(yùn)行時(shí)，車廂和車輪均做平面運(yùn)動(dòng)。其中，車廂的運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，是平面運(yùn)動(dòng)的特殊情況。8-4剛體的平面運(yùn)動(dòng)如何分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)？基點(diǎn)位置的選擇對(duì)圖形的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)效果有無影響？解：剛體的平面運(yùn)動(dòng)，可分成隨同基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。其中，平面圖形隨基點(diǎn)的平動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而平面圖形繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇無關(guān)。8-5求平面圖形上各點(diǎn)速度的方法有哪幾種？各種方法的要點(diǎn)是什么？解：求平面圖形上各點(diǎn)速度的方法主要有基點(diǎn)法和瞬心法。在利用基點(diǎn)法求解時(shí)，首先需要選取基點(diǎn)，然后可根據(jù)點(diǎn)的速度合成定理求解，即平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和。在利用瞬心法求解時(shí)，首先需要確定速度瞬心位置，然后可將平面圖形的運(yùn)動(dòng)看成繞速度瞬心的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)來求解。8-6剛體做平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度能否任意給定？如圖8-17所示，平面圖形上兩點(diǎn)的速度方向可能是這樣的嗎？為什么？（a）（b）圖8-17解：剛體做平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度不能任意給定，而必須滿足：同一平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影相等。因此，圖8-17（a）中的兩點(diǎn)速度是不合理的，而圖8-17（b）中的兩點(diǎn)速度是合理的。練習(xí)題圖8-18解：設(shè)OC桿與x軸的夾角為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可表示為假設(shè)初始時(shí)刻（），，則。于是，規(guī)尺AB的平面運(yùn)動(dòng)方程為題8-2如圖8-19（a）所示的曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，曲柄OA以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其中，。試求：當(dāng)曲柄OA與OB連線的夾角為時(shí)點(diǎn)B的速度。（a）（b）圖8-19解：連桿AB做平面運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)A為基點(diǎn)，則點(diǎn)B速度為其中方向與OA垂直，其大小為；沿AB方向；方向與AB垂直。作速度平行四邊形如圖8-19（b）所示。由于，因此當(dāng)曲柄OA與水平x軸的夾角時(shí)，OA與AB垂直，此時(shí)點(diǎn)B速度為題8-3如圖8-20（a）所示的四連桿機(jī)構(gòu)中，其中，，D為AB中點(diǎn)，桿OA以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。試求：當(dāng)桿OA與連線的夾角為時(shí)，桿AB的角速度及點(diǎn)B和點(diǎn)D的速度。（a）（b）圖8-20解：由題意，桿AB做平面運(yùn)動(dòng)，OA和分別繞點(diǎn)O、點(diǎn)做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)C是桿AB做平面運(yùn)動(dòng)的速度瞬心，如圖8-20（b）所示。由圖中幾何關(guān)系可知點(diǎn)A速度為于是桿AB的角速度為點(diǎn)B和點(diǎn)D的速度分別為題8-4如圖8-21（a）所示，桿AB的A端沿水平線以速度v勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)桿AB恒與半圓相切，半圓的半徑為R。試求：當(dāng)桿AB與水平線間夾角為時(shí)，桿AB的角速度。（a）（b）圖8-21解：桿AB做平面運(yùn)動(dòng)，桿AB與半圓的切點(diǎn)C的速度與圓周相切，沿AB方向；又知點(diǎn)A的速度方向?yàn)樗较蛴遥纱丝梢源_定桿AB的速度瞬心M，如圖8-21（b）所示。根據(jù)瞬心法，有上式中AM可由圖8-21（b）中幾何關(guān)系求出因此，桿AB的角速度為題8-5如圖8-22（a）所示的平面機(jī)構(gòu)中，桿AC在導(dǎo)軌中以速度v勻速運(yùn)動(dòng)，通過鉸鏈A帶動(dòng)桿AB沿導(dǎo)套O運(yùn)動(dòng)，其中導(dǎo)套O與桿AC的距離為l。試求：當(dāng)桿AB與桿AC間夾角為時(shí)桿AB的角速度。（a）（b）圖8-22解：以點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固連于導(dǎo)套O上。點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為以勻速v沿AC方向的運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)A的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿導(dǎo)套O的直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)為繞點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)，速度平行四邊形如圖8-22（b）所示。由速度合成定理，可知由于桿AB在導(dǎo)套O中滑動(dòng)，因此二者角速度相同，即題8-6如圖8-23（a）所示的行星輪系由半徑為R的固定輪、半徑為r的行星輪及曲柄OA組成。曲柄OA以角速度繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)帶動(dòng)行星輪沿固定輪做純滾動(dòng)。試求圖示點(diǎn)M的速度。（a）（b）圖8-23解：如圖8-23（b）所示，行星輪沿固定輪做純滾動(dòng)，接觸點(diǎn)P為速度瞬心；設(shè)行星輪角速度為，由瞬心法，可知點(diǎn)A的速度為行星輪的角速度為于是，可求得點(diǎn)M速度為點(diǎn)M速度方向如圖8-23（b）所示。題8-7如圖8-24（a）所示的四連桿機(jī)構(gòu)中，其中，，，桿OA以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，O，A，B三點(diǎn)共線，并且。試求此時(shí)桿及桿AB的角速度。（a）（b）圖8-24解：桿AB做平面運(yùn)動(dòng)，取點(diǎn)A為基點(diǎn)，速度分析如圖8-24（b）所示。由基點(diǎn)法，可知由于和均垂直于直線AB，因此，在AB直線上的投影為零，于是點(diǎn)B速度為零，因此桿AB的角速度為題8-8如圖8-25（a）所示，半徑為R的輪子沿水平面做純滾動(dòng)，輪子上圓柱部分的直徑為r。將線繞在圓柱上，線的B端以速度v沿水平方向運(yùn)動(dòng)。試求軸心O的速度。（a）（b）圖8-25解：如圖8-25（b）所示，輪子沿水平面做純滾動(dòng)，接觸點(diǎn)C為速度瞬心。由題意知，輪上點(diǎn)A的速度為v。根據(jù)瞬心法，可得因此，輪的軸心O的速度為第三篇?jiǎng)恿W(xué)第9章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程思考題9-1動(dòng)力學(xué)基本定律的內(nèi)容是什么？解：動(dòng)力學(xué)基本定律，又稱為牛頓定律。其中第一定律又稱為慣性定律，即不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將永遠(yuǎn)保持其靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。第二定律又稱為力與加速度關(guān)系定律，即質(zhì)點(diǎn)因受力作用而產(chǎn)生加速度，其大小與力的大小成正比，與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比，其方向與力的方向相同。第三定律又稱為作用與反作用定律，即兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。9-2質(zhì)量和重量有什么區(qū)別和聯(lián)系？解：質(zhì)量，是指物體中所含物質(zhì)的多少，是質(zhì)點(diǎn)慣性大小的度量；而重量則是指物體所受重力的大小，等于質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量與重力加速度的乘積。9-3試判斷以下兩種說法是否正確，為什么？（1）質(zhì)點(diǎn)要運(yùn)動(dòng)就必須有力的作用。（2）不受力作用的質(zhì)點(diǎn)必然靜止。（2）錯(cuò)誤。質(zhì)點(diǎn)不受力作用時(shí)，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變，將保持靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)。9-4當(dāng)突然剎車時(shí)，車?yán)锏娜藭?huì)向前傾倒。試?yán)门ｎD定律解釋這一現(xiàn)象。解：牛頓第一定律指出，物體有保持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的特性，這個(gè)特性稱為慣性。在車行進(jìn)時(shí)，車?yán)锏娜司哂邢蚯暗乃俣?，而?dāng)突然剎車時(shí)，由于慣性，車?yán)锏娜吮銜?huì)向前傾倒。9-5試比較圖9-6所示的兩種不同情況下重物B的加速度。其中，。（a）（b）圖9-6可解得（方向豎直向下）在圖9-6（b）所示情況下，設(shè)A，B間繩的拉力為T，分別以重物A，B為研究對(duì)象，由牛頓第二定律可知又由于，可解得（方向豎直向下）練習(xí)題題9-1如圖9-7（a）所示，質(zhì)量分別為和的物體A和B分別系于繩子的兩端，繩子跨過半徑為r的滑輪，開始時(shí)兩物體的高度差為h，且。求由靜止釋放后，兩物體到達(dá)相同高度所需的時(shí)間。（a）（b）圖9-7解：由題意，A物體將下降，B物體將上升，且A，B兩物體加速度的大小以及A，B兩物體所受拉力的大小均相等。A，B兩物體的受力分析和加速度分析如圖9-7（b）所示。由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程可解得由于兩物體初始時(shí)刻都靜止，且加速度大小相等，故在相同時(shí)間內(nèi)的位移大小相等。因此，為使兩物體達(dá)到相同高度，A物體需下降h/2，B物體需上升h/2。由此有可解得題9-2如圖9-8（a）所示，半徑為r、偏心距為e的偏心輪繞軸O以角速度順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，推動(dòng)挺桿AB沿垂直滑道滑動(dòng)，挺桿頂部放有一質(zhì)量為m的物體D。已知偏心輪開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，OC位于豎直線上。求任一瞬時(shí)挺桿對(duì)物體的壓力。（a）（b）圖9-8解：由題意，可選取物塊D為研究對(duì)象，其受力分析和運(yùn)動(dòng)分析如圖9-8（b）所示?？闪谐鑫飰KD的運(yùn)動(dòng)微分方程為建立物塊D的運(yùn)動(dòng)方程由此可以求出物塊D的加速度為于是，挺桿對(duì)物塊的壓力N為題9-3如圖9-9（a）所示，質(zhì)量為m的套筒A受繩子的牽連沿豎直桿向上滑動(dòng)，繩子的另一端繞過滑輪B而纏在鼓輪上。已知鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其邊緣上各點(diǎn)的速度大小為v，幾何關(guān)系如圖所示。求繩子拉力與距離x之間的關(guān)系。（a）（b）圖9-9解：建立如圖9-9（b）所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)初始時(shí)刻繩索AB的長(zhǎng)度為S，t時(shí)刻繩索AB的長(zhǎng)度為s，則應(yīng)有（1）對(duì)（1）式求時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)，可得（2）于是有（3）對(duì)（3）式繼續(xù)求時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，可得（4）由此，可以求出套筒A的加速度為（5）以套筒A為研究對(duì)象，其受力分析如圖9-9（b）所示。列出其在x軸方向上的直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程，可得（6）其中（7）將式（5）和式（7）代入式（6），可得（8）式（8）即為繩子拉力與距離x之間的關(guān)系式。圖9-10解：以飛船為研究對(duì)象，作用于飛船上的力只有萬有引力F，其大小為其中，分別為飛船質(zhì)量和地球質(zhì)量，r為飛船到地心的距離。又由于在地球表面時(shí)，飛船受到的引力等于物體重力，即由上式可解得于是，飛船所受地球的引力可進(jìn)一步表示為由飛船的運(yùn)動(dòng)微分方程上式可以簡(jiǎn)化為又因此，有對(duì)上式進(jìn)行積分，并注意利用初始條件：時(shí)，；以及飛船脫離地球引力進(jìn)行宇宙飛行的條件：時(shí)，，可最終解得題9-5如圖9-11所示，炮彈以初速度與水平面成α角發(fā)射，不計(jì)空氣阻力，求炮彈在重力作用下的運(yùn)動(dòng)方程。圖9-11解：以炮彈為研究對(duì)象，建立如圖9-11所示直角坐標(biāo)系，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為（1）式（1）可進(jìn)一步化為（2）對(duì)式（2）進(jìn)行一次積分，有（3）由初始條件：，可知（4）將式（4）代入式（3），可得（5）式（5）可表示為（6）對(duì)式（6）再進(jìn)行一次積分，可得（7）對(duì)于式（7）中的積分常數(shù)，由初始條件：，可知（8）將（8）式代入（7）式，可最終解得（9）（9）式即為炮彈在重力作用下的運(yùn)動(dòng)方程。第10章動(dòng)量定理思考題10-1什么是動(dòng)量，它的單位是什么？如何計(jì)算質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量？解：動(dòng)量是度量機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的物理量，不僅取決于它的速度，而且還取決于它的質(zhì)量。在國(guó)際單位制中，動(dòng)量的單位是或。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量等于物體的質(zhì)量與速度的乘積，用mv表示。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和，即10-2什么是力的沖量，它的單位是什么？如何計(jì)算常力和變力的沖量？解：沖量是度量力的作用的物理量，把作用在物體上的力與其作用時(shí)間的乘積稱為力的沖量。沖量的單位是，與動(dòng)量的單位一致。常力的沖量等于力與作用時(shí)間的乘積，即當(dāng)作用力F為變力時(shí)，其沖量為力對(duì)一定時(shí)間間隔的積分，即10-3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的內(nèi)容是什么？解：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理，是指在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在同一時(shí)間間隔內(nèi)的沖量。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，是指某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的變化量等于這段時(shí)間間隔內(nèi)作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力沖量的矢量和。10-4系統(tǒng)內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)量有無影響？對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)有無影響？解：系統(tǒng)內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)量以及質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)均無影響。10-5質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒的條件是什么？解：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒的條件是作用于質(zhì)點(diǎn)系上外力的矢量和恒等于零，即外力主矢恒為零。10-6什么是質(zhì)量中心？如何確定質(zhì)量中心？質(zhì)心和重心有無區(qū)別？解：質(zhì)量中心或稱質(zhì)心，指被認(rèn)為物體質(zhì)量集中于此的假想點(diǎn)。重心是重力的作用點(diǎn)。當(dāng)重力場(chǎng)均勻時(shí)，物體的質(zhì)心和重心重合。但質(zhì)心不一定要在有重力場(chǎng)的系統(tǒng)中，即無重力場(chǎng)作用時(shí)，質(zhì)心依然存在。10-7什么是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理？在什么條件下質(zhì)心位置保持不變？解：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，是指質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的矢量和，即等于外力的主矢。如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力主矢恒等于零，且開始時(shí)靜止，則質(zhì)心位置始終保持不變。練習(xí)題題10-1如圖10-8所示，各均質(zhì)物體的質(zhì)量均為m。求圖中各物體的動(dòng)量。（a）（b）圖10-8解：圖10-8（a）中，物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其質(zhì)心速度為因此，該物體的動(dòng)量為圖10-8（b）中，物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其質(zhì)心速度為因此，該物體的動(dòng)量為題10-2如圖10-9所示，汽車以36km/h的速度在水平直道上行駛，駕駛員在發(fā)現(xiàn)前面有危險(xiǎn)時(shí)立即制動(dòng)，車輪同時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，6s后汽車停止。求車輪與地面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)。圖10-9上式中于是，得出即題10-3如圖10-10（a）所示，兩重物和由輕質(zhì)繩相連，輕質(zhì)繩繞過滑輪A。其中均質(zhì)輪A、重物及的重力分別為Q，，，設(shè)重物的加速度為a，θ角已知，不計(jì)摩擦。求滑輪對(duì)轉(zhuǎn)軸O的壓力。（a）（b）圖10-10解：先以整體為研究對(duì)象，建立直角坐標(biāo)系，受力分析和運(yùn)動(dòng)分析如圖10-10（b）所示。由題意，可知（1）（2）將式（1）和式（2）聯(lián)立，可解得圖10-11解：以重物和起重機(jī)組成的整體為研究對(duì)象。由題意，系統(tǒng)在水平方向上不受力，因此系統(tǒng)質(zhì)心在水平方向上守恒。設(shè)初始時(shí)刻和的質(zhì)心位置分別為和，則系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)為假設(shè)起重機(jī)水平向右的位移為，則重物水平向右的絕對(duì)位移為此時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)變?yōu)橛少|(zhì)心守恒定理可知即或可解得負(fù)號(hào)表示起重機(jī)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樗较蜃?。題10-5如圖10-12（a）所示，均質(zhì)桿AB長(zhǎng)為l，直立在光滑的水平面上。求它從豎直位置無初速度地倒下時(shí)，端點(diǎn)A相對(duì)于圖示坐標(biāo)系的軌跡。（a）（b）圖10-12解：由題意，桿AB在水平方向上不受力，且初始時(shí)刻靜止，因此桿的質(zhì)心在水平方向上的坐標(biāo)不變，即桿AB的質(zhì)心沿y軸向下運(yùn)動(dòng)，如圖10-12（b）所示。設(shè)任意時(shí)刻A點(diǎn)的坐標(biāo)為，桿與水平面的夾角為θ，則有消去上式中的參數(shù)θ，可得到端點(diǎn)A相對(duì)于圖示坐標(biāo)系的軌跡方程為即端點(diǎn)A相對(duì)于圖示坐標(biāo)系的軌跡為一個(gè)橢圓。圖10-13解：以物塊A和小球B為研究對(duì)象，系統(tǒng)在水平方向上不受力，因此沿水平方向動(dòng)量守恒。由題意，當(dāng)此時(shí)物塊有向右運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)速度，設(shè)為v，則小球的絕對(duì)速度為。由水平方向的動(dòng)量守恒定理可知可解得圖10-14解：設(shè)四棱柱水平向右運(yùn)動(dòng)了Δx，由于系統(tǒng)初始時(shí)刻靜止，且水平方向上不受力，因此系統(tǒng)質(zhì)心位置沿水平方向上守恒，即由題意可解得Δx為負(fù)，說明四棱柱的實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向是水平向左。第11章動(dòng)量矩定理思考題11-1什么是動(dòng)量矩，其單位是什么？如何計(jì)算質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩？解：質(zhì)點(diǎn)Q的動(dòng)量mv對(duì)于點(diǎn)O之矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩，即在國(guó)際單位制中，動(dòng)量矩的單位是。質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和，即11-2如何計(jì)算定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩？解：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)于其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩，等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積，即11-3質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理的內(nèi)容分別是什么？解：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)之矩。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和。11-4系統(tǒng)內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)量矩有無影響？為什么？解：系統(tǒng)內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)量矩沒有影響，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)相互作用的內(nèi)力總是大小相等，方向相反，成對(duì)出現(xiàn)，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)量矩的作用會(huì)相互抵消。11-5質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒的條件是什么？解：如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力對(duì)于定點(diǎn)（或定軸）之矩的矢量和（或力矩的代數(shù)和）等于零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于該點(diǎn)（或該軸）動(dòng)量矩保持不變。11-6動(dòng)量守恒和動(dòng)量矩守恒有無區(qū)別？動(dòng)量守恒時(shí)，動(dòng)量矩是否一定守恒？反之是否成立？并分別說明其原因。解：動(dòng)量守恒和動(dòng)量矩守恒有區(qū)別。動(dòng)量守恒的條件是作用于質(zhì)點(diǎn)系上外力的矢量和恒等于零；而動(dòng)量矩守恒的條件是作用于質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力對(duì)定點(diǎn)（或定軸）之矩的矢量和（或力矩的代數(shù)和）等于零。因此，動(dòng)量守恒時(shí)，動(dòng)量矩一定守恒，反之則不成立。11-7什么是剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？其物理意義是什么？如何計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？解：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量，其大小不僅與剛體質(zhì)量大小有關(guān)，而且還與質(zhì)量的分布情況有關(guān)。物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于該物體的質(zhì)量與其回轉(zhuǎn)半徑的乘積。11-8什么是剛體對(duì)已知軸的回轉(zhuǎn)半徑？均質(zhì)圓盤的回轉(zhuǎn)半徑是否等于其半徑？解：如果把剛體的質(zhì)量全部集中于一點(diǎn)，并令該質(zhì)點(diǎn)對(duì)于已知軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則質(zhì)點(diǎn)到已知軸的垂直距離就是回轉(zhuǎn)半徑。半徑為R的勻質(zhì)圓盤的回轉(zhuǎn)半徑為。11-9什么是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理？解：平行移軸定理：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過質(zhì)心，并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。解：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，即定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用在剛體上的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩的代數(shù)和。它與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程在形式上是相同的。練習(xí)題題11-1如圖11-12所示，質(zhì)量分別為m和的兩物塊A和B由不計(jì)質(zhì)量的繩子連接，并繞過質(zhì)量為2m、半徑為R的均質(zhì)圓盤，物塊A的速度為v，。求該系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸O的動(dòng)量矩。圖11-12解：系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸O的動(dòng)量矩，等于物塊A，B以及圓盤對(duì)轉(zhuǎn)軸O的動(dòng)量矩的代數(shù)和，即（1）并且由題意，可知（2）將式（2）代入式（1）后可解得題11-2如圖11-13所示，質(zhì)量分別為和的兩物塊A和B由滑輪裝置連接，已知均質(zhì)滑輪D和E的質(zhì)量分別為和，物塊B沿斜面下滑的速度為v，斜面傾角。求該系統(tǒng)對(duì)軸D的動(dòng)量矩。圖11-13解：系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸D的動(dòng)量矩，等于物塊A，B以及勻質(zhì)滑輪D和E對(duì)轉(zhuǎn)軸D的動(dòng)量矩的代數(shù)和。取逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎瑒t有（1）并且由題意，可知（2）將式（2）代入式（1）后可解得式中負(fù)號(hào)表示實(shí)際動(dòng)量矩為順時(shí)針方向。題11-3如圖11-14所示，質(zhì)量為m的均質(zhì)空心圓柱體外徑為，內(nèi)徑為。求該圓柱體對(duì)中心軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖11-14解：空心圓柱可以看成是由兩個(gè)半徑分別為和的實(shí)心圓柱組成，其中外圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，取正值；內(nèi)圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，取負(fù)值。即設(shè)，分別為外、內(nèi)圓柱的質(zhì)量，則有設(shè)圓柱的體密度為ρ，則有因此，該圓柱體對(duì)中心軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為題11-4如圖11-15所示，質(zhì)量為、半徑為的均質(zhì)圓盤與一個(gè)無重桿OA焊接在一起，桿OA以角速度繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。求圓盤對(duì)軸O的動(dòng)量矩。圖11-15解：均質(zhì)圓盤與無重桿OA焊接在一起，二者均以角速度繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，有題11-5如圖11-16（a）所示，飛輪重力為P，半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，以角速度繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。已知閘塊與飛輪之間的動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)為f，不計(jì)軸承的摩擦以及閘塊與滑槽之間的摩擦。求使飛輪經(jīng)過T秒后停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需在閘塊上施加的壓力Q的大小。（a）（b）圖11-16解：以飛輪為研究對(duì)象，其受力分析如圖11-16（b）所示。由剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程可知對(duì)上式積分，可得可解得于是，得出題11-6如圖11-17所示，A為離合器，開始時(shí)輪1的角速度為，輪2靜止。當(dāng)離合器接合后，在摩擦力的作用下，輪2啟動(dòng)。已知輪1和輪2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為和。求當(dāng)離合器接合后，兩輪共同的角速度。圖11-17解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，由于外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩都為零，因此系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒。初始時(shí)刻，系統(tǒng)的動(dòng)量矩為離合器接合后，輪1和輪2具有共同的角速度，設(shè)為，則有由動(dòng)量矩守恒定理，可知可解得正號(hào)說明的轉(zhuǎn)向與一致。題11-7如圖11-18（a）所示，半徑為r、重為P的均質(zhì)圓盤形滾輪沿水平直線做純滾動(dòng)。設(shè)滾輪對(duì)輪心C的回轉(zhuǎn)半徑為ρ，作用在其上的力偶矩為M。求輪心C的加速度。（a）（b）圖11-18解：取滾輪為研究對(duì)象，滾輪做平面運(yùn)動(dòng)，其受力如圖11-18（b）所示。取順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，列出平面運(yùn)動(dòng)微分方程（1）又因?yàn)椋?）將式（1）和式（2）聯(lián)立，可解得第12章動(dòng)能定理思考題12-1功的物理意義是什么？功與沖量有什么區(qū)別和聯(lián)系？解：功的物理意義是力對(duì)于路程的積累效應(yīng)，而沖量的物理意義是力對(duì)于時(shí)間的積累效應(yīng)。12-2試推導(dǎo)彈性力作功的表達(dá)式。解：彈簧的變形較小時(shí)，彈簧作用于質(zhì)點(diǎn)上的彈性力F的大小正比于彈簧的變形量δ，即當(dāng)質(zhì)點(diǎn)M由彈簧變形為處運(yùn)動(dòng)至變形為處時(shí)，彈性力的功為可解得12-3什么是動(dòng)能？如何計(jì)算質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能？解：動(dòng)能是指物體由于本身的運(yùn)動(dòng)而具有的能量，是度量物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度的物理量。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能等于它的質(zhì)量m與速度v平方的乘積的一半，即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)所具有動(dòng)能的代數(shù)和，即12-4動(dòng)能和動(dòng)量有什么區(qū)別和聯(lián)系？解：動(dòng)能和動(dòng)量都可以用于度量物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱程度。其中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能等于它的質(zhì)量與速度平方的乘積的一半，是一個(gè)標(biāo)量；而質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量等于物體的質(zhì)量與速度的乘積，是一個(gè)矢量。12-5試推導(dǎo)平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能表達(dá)式。解：剛體的平面運(yùn)動(dòng)，可視為繞瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，其動(dòng)能表達(dá)式為式中，為剛體對(duì)瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ω為剛體角速度。若剛體對(duì)通過質(zhì)心C且與瞬時(shí)軸平行的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，且有，則由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理，可得從而由于，于是得即平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨同質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和。12-6質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理的內(nèi)容是什么？解：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能在某一路程中的改變量，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在同一路程上所做的功。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能在某一路程中的改變量，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有力在同一路程上所做的功之和。練習(xí)題圖12-10解：取輪A，B及重物C組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。當(dāng)重物下降速度為v時(shí)，輪A，B的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度分別為輪B中心的速度為因此，系統(tǒng)的動(dòng)能為題12-2如圖12-11所示，在絞盤O作用下質(zhì)量為m的重物A以速度下降，設(shè)鋼繩的剛性系數(shù)為k，質(zhì)量不計(jì)。求當(dāng)鋼繩的上端突然被卡死時(shí)鋼繩的最大拉力。圖12-11解：繩上端被卡死后，重物做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)重物速度為零時(shí)，對(duì)應(yīng)為鋼繩處于最大拉力狀態(tài)。以重物為研究對(duì)象，對(duì)于繩剛卡死瞬時(shí)到重物速度為零的過程，由動(dòng)能定理可知其中，外力做功為式中，為繩未卡死前的靜伸長(zhǎng)量，為繩卡死后的最大伸長(zhǎng)量。由于，于是，得出又因?yàn)橐虼丝山獾萌≌?hào)，可得繩的最大張力為題12-3如圖12-12所示，行星輪系的曲柄在力矩M的作用下繞固定軸O以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)帶動(dòng)齒輪Ⅰ在固定齒輪Ⅱ上做純滾動(dòng)。已知曲柄長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，可視為均質(zhì)桿；齒輪Ⅰ的半徑為，質(zhì)量為，可視為均質(zhì)圓盤。求系統(tǒng)的動(dòng)能。圖12-12解：取整體為研究對(duì)象。曲柄和齒輪Ⅰ分別做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)，且二者的角速度滿足因此，系統(tǒng)的動(dòng)能為題12-4如圖12-13所示，車輪在地面上做純滾動(dòng)，車輪輪心作直線運(yùn)動(dòng)，速度為，車輪半徑為R，質(zhì)量為m，且其質(zhì)量均勻分布在輪緣上，不計(jì)輪輻質(zhì)量。求車輪的動(dòng)能。圖12-13解：由于做平面運(yùn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能，等于隨質(zhì)心平移的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和，因此有題12-5如圖12-14所示，長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿OA固定在球鉸鏈O處，并以角速度ω繞豎直線勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，已知桿OA與垂線的夾角為θ。求桿的動(dòng)能。圖12-14解：由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能，得桿的動(dòng)能為其中，，所以桿的動(dòng)能為題12-6如圖12-15所示為一個(gè)自動(dòng)彈射器，彈簧的自然長(zhǎng)度為200mm，彈簧的剛性系數(shù)為。若彈簧被壓縮至100mm，然后讓質(zhì)量為30g的小球自彈射器彈出，不計(jì)各處摩擦。求小球離開彈射器端口時(shí)的速度。圖12-15解：對(duì)于小球初始到小球離開筒的過程，有由動(dòng)能定理，可知將有關(guān)參量代入后，可解得題12-7如圖12-16所示為一個(gè)幾何可變結(jié)構(gòu)，桿AC和桿BC在C處鉸接。銷釘C上掛著質(zhì)量為m的重物D，剛性系數(shù)為k的彈簧兩端分別與桿AC和桿BC的中點(diǎn)連接。已知彈簧原長(zhǎng)為。求當(dāng)由變?yōu)闀r(shí)，重物D的重力和彈簧的彈性力所做的功。圖12-16解：（1）重力做功為（2）彈性力做功為第四篇材料力學(xué)第13章軸向拉伸與壓縮思考題13-1指出下列概念的區(qū)別。（1）內(nèi)力與應(yīng)力； （2）變形與應(yīng)變；（3）彈性變形與塑性變形； （4）極限應(yīng)力與許用應(yīng)力。解：略13-2胡克定律有幾種形式？分別是什么？解：胡克定律的常見形式有兩種。其中，用于描述絕對(duì)變形量與軸力之間關(guān)系的表達(dá)式為用于描述應(yīng)變與應(yīng)力之間關(guān)系的表達(dá)式為13-3低碳鋼拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線分為幾個(gè)階段？各有什么特點(diǎn)？解：低碳鋼的拉伸過程可分為四個(gè)階段，分別為彈性階段、屈服階段、強(qiáng)化階段和頸縮階段。其中，彈性階段的變形是彈性的，解除拉力后變形完全消失；此后三個(gè)階段的變形將主要是塑性變形，拉力解除后仍會(huì)有部分變形殘留。13-4兩個(gè)拉桿的軸力和橫截面面積相等，但截面形狀和桿件材料不同，它們的應(yīng)力是否相等？許用應(yīng)力是否相等？解：應(yīng)力相等，許用應(yīng)力不等。練習(xí)題題13-1如圖13-21所示為一個(gè)階梯直軸，已知橫截面積，，，軸上受力情況如圖中所示。試求各橫截面上的應(yīng)力。圖13-21解：首先分別求出各段的軸力為進(jìn)而計(jì)算出各段的應(yīng)力為AB段應(yīng)力：（拉應(yīng)力）BC段應(yīng)力：（壓應(yīng)力）CD段應(yīng)力：（拉應(yīng)力）DE段應(yīng)力：（壓應(yīng)力）題13-2如圖13-22所示的等直桿，在B，C，D，E處分別作用有外力，，，，且，，，。試畫出該桿件的軸力圖。圖13-22解：首先求出固定端的約束反力為進(jìn)而求出各段軸力為AB段：；BC段：CD段：；DE段：根據(jù)計(jì)算結(jié)果畫出軸力圖，如下圖所示。練習(xí)題13-2圖解題13-3如圖13-23所示為一個(gè)在中線處開槽的直桿，軸向載荷為，且已知，，。試求桿內(nèi)的最大正應(yīng)力。圖13-23解：由題意可知，最大正應(yīng)力出現(xiàn)在面積較小的橫截面上，即開槽段，其最大正應(yīng)力為負(fù)號(hào)表示最大正應(yīng)力為壓應(yīng)力。題13-4如圖13-24所示為一個(gè)階梯直軸，已知該軸所受的載荷分別為，，橫截面面積，，彈性模量。試求各段桿橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力，以及桿件的總變形。圖13-24解：由題意可求得A端的約束反力為進(jìn)而可以求出桿件各段軸力為AB段軸力：（壓力）BD段軸力：（拉力）各段應(yīng)力分別為AB段應(yīng)力：（壓應(yīng)力）BC段應(yīng)力：（拉應(yīng)力）CD段應(yīng)力：（拉應(yīng)力）由于桿件各段的面積和軸力不同，應(yīng)分段計(jì)算變形，然后求其代數(shù)和，即題13-5如圖13-25所示的三角架由木桿AB和鋼桿BC構(gòu)成，兩桿的橫截面積分別為，；兩桿的許用應(yīng)力分別為，。試求點(diǎn)B處可吊起的最大許可載荷F。圖13-25解：對(duì)三角架進(jìn)行受力分析，求得木桿AB和鋼桿BC的軸力分別為（壓力），（拉力）從而可以得到木桿AB的許用軸力為即保證木桿AB強(qiáng)度的許可載荷為同理，鋼桿BC的許用軸力為即保證鋼桿BC強(qiáng)度的許可載荷為因此，為保證整個(gè)結(jié)構(gòu)的安全，點(diǎn)B處的最大許可載荷應(yīng)為第14章剪切與擠壓思考題14-1簡(jiǎn)述剪切的受力特點(diǎn)和變形特點(diǎn)。解：剪切的受力特點(diǎn)是：作用在構(gòu)件兩側(cè)面上橫向外力的合力，大小相等，方向相反，作用線相距很近。其變形特點(diǎn)是：介于兩作用力之間的各截面，有沿著作用線方向相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的趨勢(shì)。14-2什么是擠壓應(yīng)力？擠壓應(yīng)力與軸向壓縮應(yīng)力有什么區(qū)別？解：擠壓應(yīng)力。是指在連接件和被連接件的接觸面上因相互壓緊而產(chǎn)生的應(yīng)力。擠壓應(yīng)力是相互擠壓的兩個(gè)接觸面之間出現(xiàn)的應(yīng)力，而軸向壓縮應(yīng)力是由于桿件兩端受壓力作用而出現(xiàn)的應(yīng)力。14-3擠壓面積和擠壓計(jì)算面積有什么區(qū)別和聯(lián)系？解：擠壓面積與擠壓計(jì)算面積之間的關(guān)系，應(yīng)視具體情況而定。當(dāng)接觸面為平面時(shí)，擠壓計(jì)算面積就等于擠壓面積；當(dāng)接觸面為曲面時(shí)，擠壓計(jì)算面積為實(shí)際接觸面在垂直于擠壓力方向的投影面積。14-4如何計(jì)算切應(yīng)力？剪切的強(qiáng)度校核準(zhǔn)則是什么？解：剪切應(yīng)力的計(jì)算公式為式中，為剪切面上的剪力；A為受剪切的面積。剪切的強(qiáng)度校核準(zhǔn)則為式中，[τ]為材料的許用剪應(yīng)力。14-5如何計(jì)算擠壓應(yīng)力？擠壓的強(qiáng)度校核準(zhǔn)則是什么？解：在擠壓實(shí)用計(jì)算中，常假設(shè)擠壓面上的應(yīng)力分布是均勻的，此時(shí)有式中，為接觸面上的擠壓力，為擠壓計(jì)算面積。擠壓強(qiáng)度條件為式中，為材料的許用擠壓應(yīng)力練習(xí)題題14-1試畫出如圖14-5所示的受拉圓桿的剪切面和擠壓面。圖14-5解：受拉圓桿的剪切面和擠壓面如練習(xí)題14-4圖解所示。練習(xí)題14-1圖解題14-2如圖14-6所示為下料機(jī)構(gòu)裝置，已知棒料直徑，其抗剪強(qiáng)度。試計(jì)算最小切斷力。圖14-6解：由題意，最小切斷力應(yīng)滿足解得題14-3如圖14-7所示的拉桿，通過四個(gè)直徑相同的鉚釘固定在格板上，拉桿與格板的材料及厚度均相同。已知拉桿所受載荷，寬度，厚度，鉚釘直徑，許用切應(yīng)力，許用擠壓應(yīng)力。試校核鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度和擠壓強(qiáng)度。圖14-7解：由題意，各鉚釘?shù)牟牧虾椭睆骄嗤?，且外力作用線通過鉚釘群剪切面的形心，因此可以認(rèn)為各鉚釘剪切面上的剪力相同，則根據(jù)剪切實(shí)用計(jì)算的強(qiáng)度條件，校核剪切強(qiáng)度為因此，剪切強(qiáng)度足夠。鉚釘所受擠壓力等于鉚釘剪切面上的剪力，因此根據(jù)擠壓實(shí)用計(jì)算的強(qiáng)度條件，校核擠壓強(qiáng)度為因此，擠壓強(qiáng)度足夠。題14-4如圖14-8所示的連接，已知，，，，許用切應(yīng)力，許用擠壓應(yīng)力。試校核該構(gòu)件的剪切強(qiáng)度和擠壓強(qiáng)度。圖14-8解：由于構(gòu)件左右兩部分的受力情況相同，可以右半部分為研究對(duì)象，其剪切面和擠壓面位置如練習(xí)題14-4圖解所示。練習(xí)題14-4圖解根據(jù)剪切實(shí)用計(jì)算的強(qiáng)度條件，校核剪切強(qiáng)度為因此，剪切強(qiáng)度足夠。根據(jù)擠壓實(shí)用計(jì)算的強(qiáng)度條件，校核擠壓強(qiáng)度為因此，擠壓強(qiáng)度足夠。第15章扭轉(zhuǎn)思考題解：扭轉(zhuǎn)是指桿件受到外力偶的作用，且力偶的作用平面垂直于桿件的軸線時(shí)，桿件橫截面繞軸線發(fā)生的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。扭矩的正負(fù)規(guī)定如下：采用右手螺旋法則，拇指向著橫截面的外法線方向，扭矩轉(zhuǎn)向與四指握向一致時(shí)，轉(zhuǎn)矩為正；反之為負(fù)。在外力偶矩已知的情況下，可利用截面法通過平衡方程計(jì)算扭矩。當(dāng)軸上作用有多個(gè)外力偶時(shí)，需以外力偶所在的截面將軸分成數(shù)段，然后逐段求出其扭矩。在繪制扭矩圖時(shí)，以橫坐標(biāo)表示各橫截面的位置，縱坐標(biāo)表示扭矩。15-2在什么類型的載荷作用下，圓軸會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形？解：圓軸的兩端施加一對(duì)大小相等、方向相反的力偶矩，且力偶的作用平面垂直于桿件的軸線。15-3在外力偶矩的計(jì)算公式中，功率的單位是什么？外力偶矩的單位是什么？外力偶矩與功率及轉(zhuǎn)速之間是什么關(guān)系？解：在外力偶矩的計(jì)算公式中，功率的單位是kW，外力偶矩的單位是，外力偶矩與功率以及轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系為15-4扭轉(zhuǎn)變形產(chǎn)生何種應(yīng)力？其分布規(guī)律是什么？解：扭轉(zhuǎn)變形產(chǎn)生切應(yīng)力。對(duì)于確定的橫截面，切應(yīng)力的大小與所求點(diǎn)到圓心的距離成正比，切應(yīng)力的方向與橫截面扭矩方向一致，且與半徑垂直。15-5判斷如圖15-11所示的切應(yīng)力分布圖是否正確。（a）（b）（c）圖15-11解：（a）正確；（b）錯(cuò)誤；（c）錯(cuò)誤。15-6圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，距圓心相等的各點(diǎn)的應(yīng)力是否相等？解：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，距圓心相等的各點(diǎn)處的應(yīng)力大小相等，但方向不同。練習(xí)題題15-1如圖15-12所示為一個(gè)直徑為D的圓軸，已知極慣性矩的定義式為。試推導(dǎo)該圓軸的極慣性矩及抗扭截面系數(shù)的表達(dá)式。圖15-12解：由題意，圖中圓環(huán)形微面積為從而可得實(shí)心圓截面的極慣性矩為抗扭截面系數(shù)為題15-2傳動(dòng)軸的受力情況如圖15-13所示。已知轉(zhuǎn)速，主動(dòng)輪的功率為，三個(gè)從動(dòng)輪的功率分別為，，。試?yán)L制出該軸的扭矩圖。圖15-13解：首先，計(jì)算主動(dòng)輪和各從動(dòng)輪的外力偶矩得，，然后，采用截面法分別計(jì)算出各軸段的扭矩為BC段：CA段：AD段：則該傳動(dòng)軸的扭矩圖如練習(xí)題15-2圖解所示。練習(xí)題15-2圖解題15-3如圖15-14所示的階梯軸，已知，，，材料的許用切應(yīng)力，其余尺寸如圖所示，單位為mm。試校核該軸的強(qiáng)度。圖15-14解：首先，求解出AB，BC軸段的扭矩為，然后，分別校核兩軸段的強(qiáng)度，具體如下。對(duì)AB段：對(duì)BC段：因此，AB軸段的強(qiáng)度是安全的，但BC軸段的強(qiáng)度不夠。綜上所述，階梯軸的強(qiáng)度不能滿足強(qiáng)度條件的要求。題15-4如圖15-15所示的階梯軸，已知AB段直徑，BC段直徑；扭轉(zhuǎn)力偶矩，，；材料的許用切應(yīng)力。試校核該軸的強(qiáng)度。圖15-15解：首先，求解出AB，BC段的扭矩為，然后分別校核兩軸段的強(qiáng)度。對(duì)AB段：對(duì)BC段：因此，該軸滿足強(qiáng)度條件要求。題15-5如圖15-16所示，右端實(shí)心軸與左端空心軸通過離合器連接。兩軸的材料相同，已知，傳遞功率，軸的許用切應(yīng)力，空心軸的內(nèi)、外徑之比為。試求：（1）實(shí)心軸的直徑；（2）空心軸的內(nèi)徑d和外徑D；（3）兩軸的截面面積之比。圖15-16解：首先，計(jì)算出外力偶矩為然后，計(jì)算出扭矩為（1）根據(jù)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度設(shè)計(jì)實(shí)心軸的直徑?？山獾?，可取。（2）根據(jù)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度設(shè)計(jì)空心軸的直徑D?？山獾?，故可取，。（3）兩軸的截面面積之比為題15-6傳動(dòng)軸的受力情況如圖15-17所示。已知，主動(dòng)輪的功率為，三個(gè)從動(dòng)輪的功率分別為，，，軸的許用切應(yīng)力，不計(jì)摩擦。試根據(jù)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條