2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽四川初賽模擬試卷附答案

2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽（四川初賽）模擬試卷（5月17日下午14:30——16:30）得分評卷人、單項(xiàng)選擇題（本大題共得分評卷人、單項(xiàng)選擇題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）1、已知n為正整數(shù)，二項(xiàng)式（1、已知n為正整數(shù)，二項(xiàng)式（x2 的展開式|xA、4 B、5 C、2、 在厶ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為的大小為兀A、一B、一C、643、已知二】面角-■-1--的大小為300，則由平面心率為6 D、7a，b，c，右b c 則/a則一AcosA2cosB3cosC【】5■:- D、312x7項(xiàng)，則n的最小值為 【 】上的圓在平面1上的正射影得到的橢圓的離題目-一--二二三總成績13141516得分評卷人復(fù)核人考生注意：1、本試卷共三大題（16個小題），全卷滿分140分.2、用黑（藍(lán)）色圓珠筆或鋼筆作答 ?3、計算器、通訊工具不準(zhǔn)帶入考場4 、解題書寫不要超過密封線.B、CB、4、記函數(shù)f（x）=.2-x?3x?12的最大值為M，最小值為m，則M的值為mB、 25、已知正三棱錐P-ABC的底面ABC是正三角形，該三棱錐的外接球的球心 O滿足OA?OB?OC=0，則二面角A-PB-C的余弦值為 【】C、&設(shè)質(zhì)數(shù)p，滿足存在正整數(shù)x，y使得pT=2x2,p2T=2y2，則符合條件的質(zhì)數(shù)p的個數(shù)

得分評卷人、填空題(本大題共6個小題，每小題5分，共30、填空題(本大題共6個小題，每小題5分，共30分)A、17、 i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=4〔2i，貝yz= .8、 若4^6^9c，則--2 .abc9、 已知點(diǎn)P(x,y)滿足x+y蘭2，則到x軸的距離d<1的點(diǎn)P的概率是 10、設(shè)xsinxcos-1=0,2cosy-2y亠亠4=0，貝Usin(2x-y)的值是 11、在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P為矩形ABCD所在平面上一點(diǎn)，滿足PA=2,PC=21,貝UPBPD= .12、對任意正整數(shù)n，定義函數(shù)叫n)如下：叫1)=1,且當(dāng)n=^：1p/2……pk^-2時，(―1)g=g=?…=OL=1巴n)=」(1),10否則 t1，其中tX1,p1,「Pk是不同的質(zhì)數(shù).k若記A二｛x1，X2「,Xk｝為12的全部不同正因數(shù)的集合，貝U'，以)= 得分評卷人im三、解答題(本大題共4個小題，每小題20分，共80分)313、已知數(shù)列｛an｝滿足：31,321,a3成等差數(shù)列，且對任意的正整數(shù)n,均有Sn=-and-2n-2成立，其中Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.(1)求a1,a2,a3; (2)求數(shù)列佝｝的通項(xiàng)公式.14、已知f(x)=sin4x.記g(x)=f(x)f(2求f( )f(2)180180--x)，求g(x)在匚，主］上的最大值和最小值;683兀 88花 89兀砧居f()…?f( )f( )的值?180 180 180215、過雙曲線x-- 1的右支上任意一點(diǎn)P(xo,yo)作一直線I與兩條漸近線交于A、B,若P4是AB的中點(diǎn).求證：直線I與雙曲線只有一個交點(diǎn);求證：△OAB的面積為定值.16、已知a為實(shí)常數(shù)，函數(shù)f(x)=e「inxax,x二［0,2二］.記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)，求g(x)在［0,2:］上的單調(diào)區(qū)間;a的取值范圍.若f(x)在(a的取值范圍.參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明*K評閱試卷時F請依據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)?選擇題蒯填空題只設(shè)5分和0分兩檔t其它各題的評閱，謂嚴(yán)格按關(guān)評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分，不要再增加其它中間檔次.2.如果考生的解答題方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評閱時可鑫希本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分”5分一個檔次，不要再增加其它中間箱次*一、選擇題〔本大理共&個小題，每小題5分，共粕分)1.C 2.B 3、13 4,D 5.C 6.A二填空題〔本大題共6個小題，毎小題嚀分.共列分)譏3 K.0 9\- Hh-I II.0 12.04三、解答題(本大題共4個小題”每小題跡分.共曲分〉13.i2知數(shù)列佃」?jié)M足t叫，他+1,務(wù)成等差數(shù)列，11對任意的正整數(shù)z均有sn=丄粘廠廳+2成立.直屮sn是致列｛%｝的前川頂和.22(1)求坷宀4的值a⑵求敵列｛耳｝的通項(xiàng)公式.解】(1)山引角+1+碼成零總數(shù)列知*2｛礙+1)=礙+冬由S”=亍鋒“?2“+空?訛曲=1釦網(wǎng)二二聯(lián)茁①.聯(lián)茁①.②、③解得'場二-1.生二7.町10分⑵當(dāng)心⑵當(dāng)心2時.由-如?2兮%=蘇】-%=蘇】-如-肝f即%=3%+215分故気+i+2呵故気+i+2呵二孔礙+丫)于是*^n>2時”有陽+2"=（礙+"）?3心，H|J=又絢二一I也厲足耳=3小一2J所以*數(shù)列血｝的通頊公式為%=3所以*數(shù)列血｝的通頊公式為%=3心-2\-20分14、已知函?/(x)=sin4J.⑴記g(x)=/?+/(--x)f求gd)在14、已知函?/(x)=sin4J.⑴記g(x)=/?+/(--x)f求gd)在［-S—］上的捷大值與蜃小值;268(2)求/(—)+/(—)+/(—)+'■■+/(—)+/(—)的值■18(/71807 18(/ I8O771807解t(1)g(x)=sin\v+cos4a=(sin2jt+cos2x)2-2sin5xyo"h=1—sin22x,2 5分%咱訃g崎齊故T［弊］從叫*割2嗚.叱的昇］.所以.細(xì)在［彳，辛］上的就大位為g(y)=J?址小位為劉彳)=1210(2)注愆到/(—)+/(—)+/(—)+-+/(—)+ )180180180'18044jt. ”“45把、 )+sin( )180180180”『貳、店、 .二鞏面而卄…％15分4”=44-丄+sin2 +sin2(-^-)+--+血丫閔"21801801802180180133十卜22+扌133 20分15、過収曲統(tǒng)=1的右支上任怠」點(diǎn)Ptsra)作」克線J與兩條漸近線交丁點(diǎn)』、4E?若P崔朋的中點(diǎn).求證：f與雙冊線只有一個交點(diǎn):求證：^OAB的両積為宦｛ft?證明：(1)戲曲線兩鉄漸近線方榨為y=±2x.與”=0時?易得直統(tǒng)f的方程為尸皿此時/與雙曲線只有一個交點(diǎn).當(dāng)加#0時，顯然直線丿存在斜率.故可設(shè)直線/的方程為」-片=蚣円4與尸《2x聯(lián)立，解帶川點(diǎn)坐標(biāo)劃字申?今3)?斤一2 k-2與y—2x聯(lián)丄解得B點(diǎn)坐標(biāo)為｛毎二也.一蘭匸如).+2 k+2

闔為尸是?銘的中點(diǎn).所以 ?故自.線/的的力F*為y—v0■=—(x一兀闔為尸是?銘的中點(diǎn).所以 ?與収曲線方桂聯(lián)證.僭4忙一血+二口一花用=4To10分即f-［尹『+4x0(xr10分,2乂因旳鬥師片)在奴Hll線*—二=1上，所以打—遲-=1?得=4x^-4?TOC\o"1-5"\h\z4 4所以方程①可化為4簾十-(4x0x-4)J=4對＞化簡得.-4jt2+Sa^x-4-^02=0?質(zhì)以A=64x^-16(44-yo1)=64x02-16v02-64-0.所以I與雙曲線只有一個交點(diǎn). 15分(2)軋皿嚴(yán)*KMIOQsinZM朋?戰(zhàn)只需證眄加|?|0創(chuàng)酣運(yùn)值即可.因?yàn)?H害曲牛許口曲曲k-2 k-2 4k+2 k+2 4T-C TiC20分所以|W|勺伽|「三（4打7心=三?20分16 ' 416.(2如”為實(shí)常敵?i^?(/(.v)=e'sin.r+ar(xe［0,2^］).⑴記fft)的導(dǎo)函數(shù)沖g(jr)?求g(x)在［0,Zr］上的單調(diào)Klfl：(2)若f{x)在(0.2幷)的極大值、極小值恰好齊有i個.求實(shí)敎口的収值范I札解：(1)f(x)=e~xsinx^ax,故gO=L/f(jr)=a-e_v(sin.v-cosjr)fjr3jr于是gX-T)=-2Qcos.r?[11『(丫)=0知工=亍或"5"；由g(x)<0W得.0<x<-!dc—<x<2/r：由gf(x)>0解得.-<x<—-2222所以.瞬數(shù)g（x）在［0,2tt］的單調(diào)遞］.22單調(diào)遞減區(qū)間為［0冷）?（￥，2刃.⑵由（1）毗⑴在“尹収彳臧血在“牛取53T 工 1.T乂因?yàn)間(0)=o+丨.￡(專)=口-廠?g(-^-)=a+ez?g(2/r)=?y\一方醞顯然g（0）＞一方醞顯然g（0）＞鞏弓）＞班2叭〉祇專）10分①若&冷）20?HiJ/U）＞0.故在（0,2/r）內(nèi)單調(diào)遞愉從而“0在（0,2^）內(nèi)Jh無極值.護(hù)盾！所以g（彳）cO.2②J?g（2/r）＜0.^gA＜0時，/⑴在（0,加）內(nèi)至多有一個極值點(diǎn).