湍流知識(shí)筆記

湍流基礎(chǔ)知識(shí)0引言Reynolds在1883年在圓管流動(dòng)中發(fā)現(xiàn)了自然界中兩種不同的流動(dòng)狀態(tài)，第一種為流體運(yùn)動(dòng)比較規(guī)則，各層之間不會(huì)發(fā)生摻混，稱為層流；第二種為流體運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)高度不規(guī)則狀態(tài)，流體運(yùn)動(dòng)過程中各層之間發(fā)生摻混，稱之為湍流。在湍流流動(dòng)中，物理量呈現(xiàn)高頻的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，每個(gè)物理量都是隨機(jī)函數(shù)，這種隨機(jī)性主要具有兩方面特點(diǎn)：1）在相同實(shí)驗(yàn)，或者外界條件相同的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，空間中某點(diǎn)物理量隨時(shí)間的變化關(guān)系不具有重復(fù)性；2）在相同試驗(yàn)，或者外界條件相同的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，取出足夠多樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，所得到的平均量與樣本無關(guān)。在實(shí)際問題中，與高頻無規(guī)則而且無法充分的脈動(dòng)相比，人們更關(guān)系湍流流動(dòng)中可重復(fù)的平均量的變化。在實(shí)際應(yīng)用中主要存在三種平均方法：1）樣本平均：取出足夠多樣本進(jìn)行平均；2）時(shí)間平均：在一次實(shí)驗(yàn)中，取物理量在某時(shí)間段隨時(shí)間變化關(guān)系，并對(duì)其進(jìn)行時(shí)間平均，上述時(shí)間段應(yīng)該是遠(yuǎn)大于脈動(dòng)時(shí)間尺度，而又遠(yuǎn)小于平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間尺度的物理量，由于在湍流運(yùn)動(dòng)中，平均運(yùn)動(dòng)和脈動(dòng)的時(shí)間尺度通常相差較大，因此該值在理論上存在；時(shí)間平均方法適用于定常流動(dòng)情況，例如湍流邊界層流動(dòng)；3）空間平均：在一次實(shí)驗(yàn)中，取物理量在某空間范圍的變化關(guān)系，并對(duì)其進(jìn)行空間平均，上述區(qū)域應(yīng)該是遠(yuǎn)大于湍流脈動(dòng)的空間尺度，并且遠(yuǎn)小于平均運(yùn)動(dòng)的空間尺度；空間平均適用于均勻流動(dòng)情況，如管流。各態(tài)歷經(jīng)假設(shè)：假定在多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的所有可能狀態(tài)，在一次實(shí)驗(yàn)中（時(shí)間足夠長(zhǎng)或空間范圍足夠大）即可以相同概率出現(xiàn)，那么采用一次實(shí)驗(yàn)即可完成湍流統(tǒng)計(jì)平均量的研究，這樣就大大減少了實(shí)驗(yàn)次數(shù)。采用上述平均方法，那么湍流變量就可以分解為平均量與脈動(dòng)量?jī)刹糠郑覀冴P(guān)系的是平均量的演化關(guān)系，而脈動(dòng)量則需要更關(guān)系其平均值，實(shí)際上這種平均方法就可以知道，單一脈動(dòng)量的平均值為0，不過脈動(dòng)量之間的乘積的平均量就不為0，而且，這些值還會(huì)對(duì)平均量的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響，從而使得湍流運(yùn)動(dòng)與層流運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生本質(zhì)不同，那么這種不同到底是什么原因呢，雷諾通過將NS方程進(jìn)行時(shí)間平均的方式進(jìn)行了說明，并由此開始了湍流的研究。雷諾平均方程雷諾認(rèn)為，湍流脈動(dòng)只不過是時(shí)間尺度和空間尺度與通常所關(guān)注的尺度要小得多，其時(shí)間尺度和空間尺度還沒有達(dá)到分子自由運(yùn)動(dòng)的程度。因此，湍流運(yùn)動(dòng)仍然滿足NS方程，于是就可以采用將NS方程平均的方式進(jìn)行湍流脈動(dòng)量影響的研究。例如，對(duì)于不可壓縮流動(dòng)得分NS方程為，V-v=0—（pv）+V-（pvv）=-Vp+V-T+pfdt采用時(shí)間平均方式進(jìn)行變量平均：一u=n+u'--iiip=p+p'代入控制方程，并對(duì)控制方程進(jìn)行平均可得：

V-V=0It(pv)+V-p(V+v')(V+v')二—Vp+V-f+pV-V=0It(pv)+其中，V-p(V+v')(V+v')=V-pVV+pv'v'，匸=Xe8+2。因此，進(jìn)一步可得TOC\o"1-5"\h\zijijij—?—?—?—?RANS方程為：??”V-V=0+V-(pVV)=—Vp+V-(t+Tt)+pfTt=—pu'U'ijij由此可見，與層流流動(dòng)相比，湍流時(shí)均量?jī)H在方程中增加了一項(xiàng)應(yīng)力項(xiàng)，稱之為雷諾應(yīng)力。該項(xiàng)由脈動(dòng)速度組成，表征了脈動(dòng)速度對(duì)于時(shí)均量的作用效果，為應(yīng)力量綱。在方程中引入雷諾應(yīng)力以后，我們知道，方程中增加了三個(gè)方向的脈動(dòng)速度，已經(jīng)不再封閉，為了對(duì)方程進(jìn)行求解，就必須對(duì)湍流應(yīng)力進(jìn)行模擬。湍流的數(shù)值模擬工作主要是對(duì)雷諾應(yīng)力項(xiàng)的模擬，該模擬方法的不同，也對(duì)應(yīng)了不同的湍流模擬方法，例如零方程（代數(shù)方程）模型，一方程模型，兩方程模型，雷諾應(yīng)力模擬等等。雷諾應(yīng)力的物理含義根據(jù)上述推導(dǎo)過程，我們知道雷諾應(yīng)力是脈動(dòng)量對(duì)于時(shí)均量的影響，但是這種影響機(jī)制是什么，暫時(shí)還不得而知，其物理含義如何也不得而知。在平板湍流邊界層流動(dòng)中，我們可以對(duì)雷諾應(yīng)力增加一些直觀認(rèn)識(shí)。根據(jù)不可壓縮湍流邊界層實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們知道邊界層內(nèi)的流動(dòng)速度從壁板開始逐漸增加，一直增加到邊界層外層。湍流邊界層可以分為內(nèi)層和外層兩部分：內(nèi)層通常占據(jù)整個(gè)邊界層的20%，其速度會(huì)恢復(fù)為來流速度的70%，內(nèi)層分為粘性底層，該層粘性應(yīng)力占據(jù)主__uu*yIt導(dǎo)地位，y+在5?8以內(nèi)，該層內(nèi)u=y+,u=,y+=,u*=w；對(duì)數(shù)率層，該層湍u*vYp流應(yīng)力占據(jù)主導(dǎo)地位，y+在30~50以外，y+為1000或20%邊界層厚度以內(nèi)，該層速度分布為：u=；lny++C。兩者之間還存在過渡層，稱之為緩沖層。外層也可以分為兩個(gè)部分,k尾跡率層，該層湍流應(yīng)力已經(jīng)開始減弱，流動(dòng)開始偏離對(duì)數(shù)率，但仍然為全湍流狀態(tài)，該層u—u1為20%到40%邊界層厚度之間，速度分布為：r=-「Iny++2.35；粘性頂層：該層u*k厚度之間，速度分布為：u*顯著特征是流動(dòng)出現(xiàn)間歇性，非湍流的流動(dòng)會(huì)間歇性地嵌入邊界層內(nèi)部區(qū)域，湍流與非湍流之間發(fā)生摻混，使湍流強(qiáng)度減弱，其邊界是犬牙結(jié)構(gòu)很不規(guī)則，該層位于40%到1厚度之間，速度分布為：u*根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果[吳子牛:空氣動(dòng)力學(xué)P404],可以得到一些半經(jīng)驗(yàn)公式。當(dāng)雷諾數(shù)小于10八7時(shí)，整個(gè)不可壓湍流邊界層的速度分布可以近似描述為：邊界層厚度可以表示為：壁面摩擦系數(shù)為：ryH1/7邊界層厚度可以表示為：壁面摩擦系數(shù)為：ryH1/7§(、0.37x§(x)-Re1/5xo.o576C=Re1/5x根據(jù)邊界層流動(dòng)特征，均勻流的縱向梯度值遠(yuǎn)大于橫向梯度值，橫向速度遠(yuǎn)大于縱向速度。根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，對(duì)RANS方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得：dd、Q()(Pu2)+(puv)=T—puVQxQyQy方程與層流運(yùn)動(dòng)相比增加了雷諾應(yīng)力一項(xiàng)，方程中左邊為對(duì)流項(xiàng)，對(duì)流項(xiàng)中表達(dá)了慣性力對(duì)流動(dòng)的影響，根據(jù)連續(xù)性方程并對(duì)其進(jìn)行量級(jí)分析，可知慣性力的量級(jí)為—ypVU=pU斗，此處delta并非是邊界層厚度，而是與壁面的距離。粘性應(yīng)力的量級(jí)為L(zhǎng)T二卩-，湍流粘性應(yīng)力的量級(jí)為Tt二p[UV]，因此可知，在非常靠近壁面位置，慣性力y與粘性力的比值為：Uy2ULy2Uy2ULy2ULU(y)2」4§vUPU2—/口——eLyL2vLvUe2Re=O.14Reo.6L2LLryH2.14，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，湍流邊界層速度型滿足1/7果可知，湍流邊界層速度型滿足1/7次冪定律，U-=y，并且湍流邊界層厚度反比于0.37L雷諾數(shù)的1/5,§—。因此，可知:Re1/5ryryH2.141)慣性力與粘性力的比值量級(jí)為：O.14Reo.61)L2)湍流應(yīng)力與粘性力量比值量級(jí)為：3)prU7V']/2)湍流應(yīng)力與粘性力量比值量級(jí)為：3)prU7V']/uU=y[u'v']=y[u'v']p[uv]/卩yvUvU(y/§刃7e湍流應(yīng)力與慣性力的比值量級(jí)為：T2

yr2〕

L§J6/7§Re=0.37T2Reo.8LLyLrz〕L§J0.86ryryH1.86，其中，Ty表示y位置湍流度。p[wV]/pU2上—[u=VJL?2.70T2Re0.2LU2yyL對(duì)數(shù)率層的預(yù)測(cè)：根據(jù)慣性力與粘性力的比值，以及湍流應(yīng)力與粘性力的比值，可以知道：1）當(dāng)y遠(yuǎn)小于邊界層厚度時(shí)，慣性力與粘性力的比值也非常小。2）在粘性底層壁面很近區(qū)域，湍流應(yīng)力遠(yuǎn)小于慣性力，由于壁面附近速度很低，因此慣性力很小，于是可知湍流應(yīng)力很小，進(jìn)而知道湍流脈動(dòng)量很小，因此湍流度非常低，于是可以知道湍流應(yīng)力遠(yuǎn)小于粘性應(yīng)力。于是，在靠近壁面的粘性底層區(qū)域，慣性力遠(yuǎn)小于粘性力，同時(shí)湍流應(yīng)力也遠(yuǎn)小于粘性力。因此，在粘性底層，湍流運(yùn)動(dòng)中粘性起主要作用，方程中忽略其他兩項(xiàng)，可以知道，粘性底層的速度與距離壁面的距離成正比關(guān)系，這一關(guān)系在實(shí)驗(yàn)中也是存在的。隨著y逐漸增大，流體中脈動(dòng)增強(qiáng)，湍流度增大，慣性力和湍流應(yīng)力都開始增大，不過湍流應(yīng)力比慣性力增加的速度更快，因此必然存在一層流動(dòng)中，湍流應(yīng)力和粘性應(yīng)力達(dá)到平衡區(qū)域，這一區(qū)域?yàn)閷?duì)數(shù)率層，在這一層中，由于慣性力仍然很小，根據(jù)力的平衡關(guān)系可以知道，湍流應(yīng)力與壁面粘性應(yīng)力應(yīng)該是相等，于是得到：工=工t=-pu'v'。w根據(jù)分子動(dòng)力學(xué)理論，分子的粘性應(yīng)力是由于大量分子在進(jìn)行著無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)，在分子的兩次碰撞之間，分子的動(dòng)量保持不變，不過由于發(fā)生碰撞之后，分子之間的動(dòng)量發(fā)生了變化，因此產(chǎn)生了粘性，假定兩次碰撞之間的平均距離為1,稱之為分子自由程，那么粘性應(yīng)力應(yīng)該正比于單位時(shí)間通過單位面積的動(dòng)量，于是：卩~pa2t二pal。在標(biāo)準(zhǔn)狀況下，空氣的分子之間間距為3nm,分子平均自由程為60nm，因此，1值與常規(guī)關(guān)注的流體運(yùn)動(dòng)尺度要小得多，可以認(rèn)為宏觀的流體為連續(xù)介質(zhì)。普朗特認(rèn)為，湍流應(yīng)力與分子粘性力都是由尺度較小的流體微團(tuán)或分子之間進(jìn)行動(dòng)量交換所引起，因此二者之間存在一定的聯(lián)系。在邊界層流動(dòng)中，進(jìn)行動(dòng)量交換的為流體微團(tuán)，當(dāng)一個(gè)微團(tuán)存在縱向速度時(shí)，假定該速度為負(fù)值，那么該微團(tuán)就會(huì)將距離壁面較遠(yuǎn)的速度較高微團(tuán)帶到與壁面更近的距離，因此就會(huì)使距離壁面較近的微團(tuán)出現(xiàn)速度脈動(dòng)，該速度脈動(dòng)為正值，因此，壁面較近處的微團(tuán)所受到的壁面較遠(yuǎn)處微團(tuán)的湍流應(yīng)力為正值。如果湍流脈動(dòng)微團(tuán)之間進(jìn)行動(dòng)量交換的平均距離為10，微團(tuán)在10之前保持原來的動(dòng)量，之后則微團(tuán)之du間發(fā)生動(dòng)量交換，于是：u?/，對(duì)于各項(xiàng)同性湍流，v'和u'為相同量級(jí)，因此湍流應(yīng)dy普朗特進(jìn)步假定，微團(tuán)的尺度10與壁面距du普朗特進(jìn)步假定，微團(tuán)的尺度10與壁面距力可以表示為：Tt=-p八打⑺石1石離成正比，‘0二ky，因此可知粘性力和湍流應(yīng)力相平衡的這一層中:dudududu=p‘2（——）2=pk2y2（——）2=u2=

0dydy*dududyuk2y2（一）2nu*=kyn=d一dydykyu*于是可得：u1yu*=一lnu*kv因此可以知道，該層的速度型具有對(duì)數(shù)率關(guān)系，因此稱之為對(duì)數(shù)率層。其中u*為基于壁面摩擦應(yīng)力得到的特征速度，利用該速度對(duì)層內(nèi)速度和距離進(jìn)行無量綱化之后可以得到無量綱化之后的速度型關(guān)系為：

u=1lny++C,u=邑,y+=竺。

ku*v實(shí)驗(yàn)中測(cè)得，k=0.4?0.41,C=5.0?5.5。隨著距離增大，慣性力和湍流應(yīng)力所占比重繼續(xù)增大，一定會(huì)存在慣性力和湍流應(yīng)力相平衡的一層，即為尾跡率層。不過隨著壁面距離繼續(xù)增大，湍流脈動(dòng)減弱，湍流度降低，流動(dòng)進(jìn)入粘性頂層時(shí)，非湍流的外層流動(dòng)會(huì)不規(guī)則地進(jìn)入邊界層內(nèi)，形成犬牙狀的邊界。湍流的各種尺度在1941年Kolmogorov提出K41理論，認(rèn)為湍流中存在各種不同的尺度，動(dòng)能從主流中首先傳給最大尺度的湍流脈動(dòng)，隨著流動(dòng)演化，能量繼續(xù)向更小尺度的脈動(dòng)傳播，最終最小尺度的湍流脈動(dòng)受到粘性耗散的影響，以熱量形式將能量耗散。對(duì)于實(shí)際的流動(dòng)，包含了絕大多數(shù)湍流能量的尺度稱之為含能尺度，約為邊界層厚度20%，即l?0.26。湍流能量以熱量形式耗散時(shí)的尺度為Kolmogorov尺度，耳=—1—,Re，其中k為湍動(dòng)能，為脈動(dòng)速Re3/4TvT度平方-半，1為含能尺度。湍流耗散率為：“寧，湍流的脈動(dòng)速度-般不超過主流速度的10%。湍流的時(shí)間尺度可以估計(jì)為：T的10%。湍流的時(shí)間尺度可以估計(jì)為：T—=-，tk其中l(wèi)md為Taylor尺度,九—1。湍沁T流最小渦的時(shí)間尺度為：不同計(jì)算方法對(duì)于尺度的要求在DNS方法中，對(duì)于DNS模擬特征尺度為L(zhǎng)湍流問題：網(wǎng)格尺寸應(yīng)該小于湍流耗散尺度，因此網(wǎng)格尺寸和數(shù)目應(yīng)該滿足：△<耳△<耳,NyL1>—△耳?Re3/4T如果為三維問題，則網(wǎng)格數(shù)字至少為：N—NNN?Re9/4；計(jì)算推進(jìn)時(shí)間步長(zhǎng)應(yīng)該小于最

xyzT小湍流脈動(dòng)的時(shí)間尺度，即：△t小湍流脈動(dòng)的時(shí)間尺度，即：△t<x'k，總的時(shí)間推進(jìn)應(yīng)該至少達(dá)到湍流含能區(qū)的尺度，因此總步長(zhǎng)為：丄/4—-~Re3/4

vkkHt因此，DNS總的計(jì)算步數(shù)量級(jí)在ReT的3次幕。ReT的值與Re的比為：nRe?0.01Re4/5，TRekl61nRe?0.01Re4/5，TT——ReuLL6uRe1/5ee在實(shí)際問題中雷諾數(shù)約為10A7,因此ReT的量級(jí)為4k，于是DNS總計(jì)算量的量級(jí)為640億?？梢姺浅４?；在RANS方法中，需要把湍流含能尺度模擬出來。壁面垂直方向的含能尺度至少包含10個(gè)網(wǎng)格左右的量級(jí)，邊界層厚度大概為含能尺度的10倍，于是