數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-微分中值定理的證明及應(yīng)用及數(shù)學(xué)分析中反例的應(yīng)用-數(shù)學(xué)系畢業(yè)論文

PAGEPAGE3學(xué)年論文題目：微分中值定理的證明及應(yīng)用學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)生姓名：***學(xué)號：*************指導(dǎo)教師：***

微分中值定理的證明及應(yīng)用***摘要：微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中很重要的基本定理,在數(shù)學(xué)分析中有著廣泛的應(yīng)用.它是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點的局部性質(zhì)和在某個區(qū)間上的整體性質(zhì)的重要工具.利用微分中值定理可以論證方程的根的存在問題、方程根的個數(shù)問題以及根的存在區(qū)間問題，也經(jīng)常用于證明一些含有導(dǎo)數(shù)的等式.微分中值定理是羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理的統(tǒng)稱，它是微分中值定理學(xué)中重要的理論基礎(chǔ).拉格朗日中值定理可視為中心定理，以它為中心展開，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個特值，而柯西中值定理可視為拉格朗日中值定理在應(yīng)用上的推廣.關(guān)鍵詞：羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理證明應(yīng)用

Abstract:thedifferentialmeanvaluetheoreminmathematicalanalysisisveryimportantbasictheoreminthemathematicalanalysis,iswidelyused.Itisacommunicationbridgebetweenafunctionanditsderivative,istheapplicationofderivativeoffunctionatacertainpointofthelocalnatureandinacertainintervalontheoverallpropertiesoftheimportanttools.Theuseofdifferentialmeanvaluetheoremcanbeprovedequationfortherootoftheproblem,theproblemofthenumberofrootsofequationsandexistenceofrootintervalproblems,arealsofrequentlyusedtoprovesomecontainingderivativeequation.ThedifferentialmeanvaluetheoremistheRollemeanvaluetheorem,Lagrangemeanvaluetheorem,Cauchymeanvaluetheoremofdifferentialmeanvaluetheoremcollectively,itisofimportanttheoreticalbasis.Lagrangemeanvaluetheoremcanberegardedasthecenterinthecenterofitsexpansiontheorem,Rollemeanvaluetheorem,Lagrangemeanvaluetheoremisaspecialvalue,andtheCauchymeanvaluetheoremcanberegardedastheLagrangemeanvaluetheoreminapplicationpromotion.Keywords:RollemeanvaluetheoremLagrangemeanvaluetheoremCauchymeanvaluetheoremProveApplication

微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中很重要的定理，它是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的統(tǒng)稱，微分中值定理在數(shù)學(xué)分析中有廣泛的應(yīng)用.一般教科書中都是通過構(gòu)造輔助函數(shù)，利用羅爾定理來證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的.下面我將利用不同于教科書的方法來證明這三個中值定理，并列舉每個中值定理的應(yīng)用.一羅爾中值定理的證明和應(yīng)用1羅爾中值定理若函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間內(nèi)(a,b)可導(dǎo)；(iii)，則在（a,b）內(nèi)至少存在一點，使得.2羅爾中值定理的證明（1）預(yù)備知識和兩個引理定義1閉區(qū)間[a,b]的閉子區(qū)間族S稱為[a,b]的一個完全覆蓋,是指對任意x∈[a,b],存在δx>0,使得[a,b]的每個含有x且長度小于δx的閉子區(qū)間都屬于S.引理1若S是閉區(qū)間[a,b]的一個完全覆蓋,則S包含[a,b]的一個劃分,即存在a=x0<xk<?<xn=b,使每個閉區(qū)間[xk-1,xk](i=1,2,?,n)都屬于S.證明:用反證法.設(shè)S不包含[a,b]的任何劃分,則通過對[a,b]重復(fù)使用二等分法可得[a,b]的閉子區(qū)間列{In},使得InIn+k(n=1,2,?),|In|→0(n→∞),且S不包含任何一個In的任何一個劃分,其中|In|代表區(qū)間In的長度.由閉區(qū)間套定理,存在唯一的x∈In(n=1,2,?)若δx如定義1所述,則因|In|→0(n→∞),故存在自然數(shù)n0,使得In0<δx,從而In0∈S,于是,S中含有In0的一個劃分,矛盾.引理2若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)可內(nèi)微,且對x∈(a,b),f′(x)≠0,則δx>0,使得(x-δx,x+δx)<(a,b),且函數(shù)f(x)在(x-δx,x+δx)上嚴格單調(diào).（2）羅爾定理的證明證明:假設(shè)結(jié)論不成立,即對x∈(a,b),,,則,令,于是,由假設(shè)對.令S={I|I是的閉子區(qū)間,且函數(shù)f(x)在閉區(qū)間I嚴格單調(diào)}于是S是的一個完全覆蓋.由假設(shè)引理2知,對,δx>0,使得(x-δx,x+δx)<x,且函數(shù)f(x)在(x-δx,x+δx)上嚴格單調(diào).設(shè)I是含有x且長度小于δx的的任一閉子區(qū)間,則I<(x-δx,x+δx),所以函數(shù)f(x)在I上的嚴格單調(diào),即I∈S.由引理1,在S中必存在的一個劃分I1,I2,?,Im,不妨設(shè)這些小區(qū)間是按自左到右順序編號的.于是對k∈{1,2,?,m},函數(shù)f(x)在Ik上嚴格單調(diào).不妨設(shè)函數(shù)f(x)在I1上嚴格增加,若I1的右端點為μ1,則μ1為I2的左端點,而對于μ1∈,必存在某個I∈S,使得μ1∈I且(IⅠI1)-{μ1}與(IⅠI2)-{μ1}都非空,于是,根據(jù)函數(shù)f(x)在Ⅰ1嚴格增加就會得到函數(shù)f(x)在I2上也嚴格增加,依次類推函數(shù)f(x)在I3、I4、?、Im上嚴格增加,即函數(shù)f(x)在每個Ik(k=1,2,?,m)都嚴格增加,因此函數(shù)f(x)在上嚴格增加,對于γ、η∈,且γ<η,有:一方面,f(an)<f(γ)<f(η)<f(bn),另一方面,函數(shù)f(x)在x=a右連續(xù),在x=b左連續(xù),故有從而有：即f(a)<f(b),這與已知f(a)=f(b)矛盾,故有∈(a,b),使得.3羅爾中值定理的應(yīng)用例1（根的存在性的證明）設(shè)a,b,c為三個實數(shù)，證明：方程的根不超過三個.證明：令,則，，.用反證法.設(shè)原方程的根超過3個，那么F（x）至少有4個零點，不妨設(shè)為x1<x2<x3<x4,那么有羅爾定理，存在x1<1<x2<2<x3<3<x4，使.用羅爾定理，存在，使=0.再用羅爾定理，存在,使，因為，所以.矛盾，所以命題得證！二拉格朗日中值定理的證明及應(yīng)用1拉格朗日中值定理若函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間內(nèi)(a,b)可導(dǎo)；則在（a,b）內(nèi)至少存在一點，使得.2拉格朗日中值定理的證明（1）兩個引理引理1設(shè)f(x)在[c,d]上連續(xù)，則在[c,d]上必存在兩點α與β，使得β-d=(d-c)/2,.證明：設(shè)函數(shù),由Ψ（x）在[c,(c+d)/2]上應(yīng)用連續(xù)函數(shù)根存在性定理有x＇∈[c,(c+d)/2]使得.取即可.證畢！引理2設(shè)（i）f(x)在區(qū)間I的內(nèi)點x可微；（ii）數(shù)列{αn}與{βn}滿足：αn≤x≤βn,αn<βn且，則.（2）拉格朗日中值定理的證明證明：（平行弦逼近法）不斷地運用引理1可得到[a,b]的子區(qū)間序列{[αn,βn]}(α0=a,β0=b),使得（i）βn-αn=(b-a)/2n；(ii)；（iii）[αn+1,βn+1][αn,βn],這里說明[α2,β2]的選取規(guī)則；若確定[α1,β1]=[a,(a+b)/2]后，有，則規(guī)定為[α2,β2].從而，顯然{αn}與{βn}有相同的極限ξ，并使得αn≤ξ≤βn（n=1,2…）再由[α2,β2]的取法知ξ∈（a,b）。從而由引理2推出.證畢！3拉格朗日中值定理的應(yīng)用例1、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1.證明：對任意的正實數(shù)a,b,在（0,1）內(nèi)存在兩個不同的點ξ、η使得.證明：因為a>0,b>0,所以0<a/(a+b)<1,根據(jù)介值定理，至少存在一點x0∈(0,1),使得，在（0，x0）上根據(jù)Lagrange中值定理，存在ξ∈（0,x0）,使得。又由于f(0)=0,所以=x0（1）.從而在（x0,1）上，根據(jù)Lagrange中值定理，存在η∈（x0,1）,使得。又由于f(1)=1,所以（2），（1）式加（2）式得（3）.再將代入（3）式即得.三柯西中值定理的證明及應(yīng)用1柯西中值定理設(shè)函數(shù)和g滿足（i）在[a,b]上都連續(xù)；(ii)在(a,b)內(nèi)都可導(dǎo)；（iii）f＇(x)和g＇(x)不同時為零；（iv）g(a)≠g(b).則存在ξ∈（a,b），使得.2、柯西中值定理的證明（1）三個引理引理1設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義，且在x0∈（a,b）處可導(dǎo)，由{[α2,β2]}為一閉區(qū)間套，且，則.引理2設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則存在[a1,b1][a,b],且,使得.引理3（引理2的推廣）設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a,b]上連續(xù),且g(x)是單射，則存在[a1,b1][a,b]，且，使.（2）柯西中值定理的證明證明：當(dāng)α，β∈[a,b]，且α≠β時，有g(shù)(α)≠g(β).若g(α)=g(β)，由引理2，存在[α1,β1][α,β]，且，使，從而g(β1)=g(α1).在[α1,β1]上再次應(yīng)用引理2有，存在[α2,β2][α,β]，且，使，從而又有g(shù)(β2)=g(α2).反復(fù)利用引理2，最終可得一個閉區(qū)間套{[αn,βn]},滿足，且g(βn)=g(αn),由閉區(qū)間套定理，存在ξ∈[α,β][a,b]，使.由引理1得：，這與條件g＇(x)≠0(x∈（a,b）)相矛盾.再根據(jù)引理3有，存在[a1,b1][a,b]，且，使.反復(fù)利用引理3，類似于前面的證明，可得閉區(qū)間套{[αn,βn]},滿足，且.由閉區(qū)間套定理存在c∈[a,b]，使.再由引理1有：.3柯西中值定理的應(yīng)用例1（用柯西中值定理證明不等式）若0<x1<x2<л/2，求證.證明：實際上只需證即可.設(shè)f(t)=et,g(t)=cost,則f(t)、g(t)在[x1,x2]上，滿足柯西中值定理條件，所以，c∈(x1,x2).即.例2（用柯西中值定理證明等式）設(shè)函數(shù)f(x)∈c[a,b]且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),證明:c∈(a,b),使得2c[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f＇(c)，其中a>0.證明：只需證.令g(x)=x2,則f(x)、g(x)滿足柯西中值定理條件,所以c∈(a,b)，使，即.四總結(jié)通過以上內(nèi)容，說明微分中值定理有很多證法并且三個中值定理之間有內(nèi)在聯(lián)系，而且每個中值定理都有極其廣泛的應(yīng)用.所以學(xué)好微分中值定理對數(shù)學(xué)分析及其他學(xué)科的學(xué)習(xí)有很大幫助.五參考文獻[1]吳澤禮.Lagrange中值定理的兩個新證法[J].韓山師專學(xué)報.1991(03).[2]李國輝.崔媛.Lagrange中值定理的一個應(yīng)用[J].高等職業(yè)教育—天津職業(yè)大學(xué)學(xué)報.2005(06).[3]李萬軍.Rolle中值定理的一個新證明[J].宜賓學(xué)院學(xué)報.2004(03).[4]荊天.柯西中值定理及其應(yīng)用[J].高校理科研究.2008.[5]余后強.微分學(xué)中值定理的證明及其應(yīng)用[J].咸寧學(xué)院學(xué)報.2006(06).[6]黃德麗.用五種方法證明柯西中值定理[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報.2003.aganemploymenttribunalclaiEmloymenttribunalssortoutdisagreementsbetweenemployersandemployees.Youmayneedtomakeaclaimtoanemploymenttribunalif:youdon'tagreewiththedisciplinaryactionyouremployerhastakenagainstyouyouremployerdismissesyouandyouthinkthatyouhavebeendismissedunfairly.Formoreinformu,takeadvicefromoneoftheorganisationslistedunder

Furtherhelp.Employmenttribunalsarelessformalthansomeothercourts,butitisstillalegalprocessandyouwillneedtogiveevidenceunderanoathoraffirmation.Mostpeoplefindmakingaclaimtoanemploymenttribunalchallenging.Ifyouarethinkingaboutmakingaclaimtoanemploymenttribunal,youshouldgethelpstraightawayfromoneoftheorganisationslistedunder

Furtherhelp.ationaboutdismissalandunfairdismissal,see

Dismissal.Youcanmakeaclaimtoanemploymenttribunal,evenifyouhaven't

appealed

againstthedisciplinaryactionyouremployerhastakenagainstyou.However,ifyouwinyourcase,thetribunalmayreduceanycompensationawardedtoyouasaresultofyourfailuretoappeal.Rememberthatinmostcasesyoumustmakeanapplicationtoanemploymenttribunalwithinthreemonthsofthedatewhentheeventyouarecomplainingabouthappened.Ifyourapplicationisreceivedafterthistimelimit,thetribunalwillnotusuallyaccepti.IfyouareworriedabouthowthetimelimitsapplytoyouIfyouarebeingrepresentedbyasolicitoratthetribunal,theymayaskyoutosignanagreementwhereyoupaytheirfeeoutofyourcompensationifyouwinthecase.Thisisknownasa

damages-basedagreement.InEnglandandWales,yoursolicitorcan'tchargeyoumorethan35%ofyourcompensation

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Employmenttribunals.The(lackof)airupthereWatchmCaymanIslands-basedWebb,theheadofFifa'santi-racismtaskforce,isinLondonfortheFootballAssociation's150thanniversarycelebrationsandwillattendCity'sPremierLeaguematchatChelseaonSunday."IamgoingtobeatthematchtomorrowandIhaveaskedtomeetYayaToure,"hetoldBBCSport."Formeit'sabouthowhefeltandIwouldliketospeaktohimfirsttofindoutwhathisexperiencewas."Uefahas

openeddisciplinaryproceedingsagainstCSKA

forthe"racistbehaviouroftheirfans"during

City's2-1win.MichelPlatini,presidentofEuropeanfootball'sgoverningbody,hasalsoorderedanimmediateinvestigationintothereferee'sactions.CSKAsaidtheywere"surprisedanddisappointed"byToure'scomplaint.InastatementtheRussiansideadded:"WefoundnoracistinsultsfromfansofCSKA."Agehasreachedtheendofthebeginningofaword.Maybeguiltyinhisseemstopassingalotofdifferentlifebecametheappearanceofthesameday;Maybebackinthepast,tooneselftheparanoidweirdbeliefdisillusionment,thesedays,mymindhasbeenverymessy,inmymindconstantly.Alwaysfeeloneselfshouldgotodosomething,orwritesomething.Twentyyearsoflifetrajectorydeeplyshallow,suddenlyfeelsomething,doit.一字開頭的年齡已經(jīng)到了尾聲?；蛟S是愧疚于自己似乎把轉(zhuǎn)瞬即逝的很多個不同的日子過成了同一天的樣子；或許是追溯過去，對自己那些近乎偏執(zhí)的怪異信念的醒悟，這些天以來，思緒一直很凌亂，在腦海中不斷糾纏?？傆X得自己似乎應(yīng)該去做點什么，或者寫點什么。二十年的人生軌跡深深淺淺，突然就感覺到有些事情，非做不可了。Theendofourlife,andcanmeetmanythingsreallydo?而窮盡我們的一生，又能遇到多少事情是真正地非做不可？Duringmychildhood,thinkluckymoneyandnewclothesarenecessaryforNewYear,butastheadvanceoftheage,willbemoreandmorefoundthatthosethingsareoptional;Juniorhighschool,thoughttohaveacrushonjustmeansthattherealgrowth,butoverthepastthreeyearslater,hiswritingofalumniinpeace,suddenlyfoundthatisn'treallygrowup,itseemsisnotsoimportant;Theninhighschool,thinkdon'twanttogiveventtooutyourinnervoicecanbeinthehighschoolchildrenofthefeelingsinaperiod,butwaseventuallyinfarctionwhengraduationpartyinthethroat,lateragainstoodonthepitchhehassweatprofusely,lookedathisthrownabasketballhoops,suddenlyfoundhimselfhasalreadycan'trememberhisappearance.Baumgartnerthedisappointingnews:Missionaborted.rplaysanimportantroleinthismission.Startingattheground,conditionshavetobeverycalm--windslessthan2mph,withnoprecipitationorhumidityandlimitedcloudcover.Theballoon,withcapsuleattached,willmovethroughthelowerleveloftheatmosphere(thetroposphere)whereourday-to-dayweatherlives.ItwillclimbhigherthanthetipofMountEverest(5.5miles/8.85kilometers),driftingevenhigherthanthecruisingaltitudeofcommercialairliners(5.6miles/9.17kilometers)andintothestratosphere.Ashecrossestheboundarylayer(calledthetropopause),ecanexpectalotofturbulence.Weoftencloseourselvesoffwhentraumaticeventshappeninourlives;insteadoflettingtheworldsoftenus,weletitdriveusdeeperintoourselves.Wetrytodeflectthehurtandpainbypretendingitdoesn’texist,butalthoughwecantrythisallwewant,intheend,wecan’thidefromourselves.Weneedtolearntoopenourheartstothepotentialsoflifeandlettheworldsoftenus.生活發(fā)生不幸時，我們常常會關(guān)上心門；世界不僅沒能慰藉我們，反倒使我們更加消沉。我們假裝一切仿佛都不曾發(fā)生，以此試圖忘卻傷痛，可就算隱藏得再好，最終也還是騙不了自己。既然如此，何不嘗試打開心門，擁抱生活中的各種可能，讓世界感化我們呢？Wheneverwestarttoletourfearsandseriousnessgetthebestofus,weshouldtakeastepbackandre-evaluateourbehavior.Theitemslistedbelowaresixwaysyoucanopenyourheartmorefullyandcompletely.當(dāng)恐懼與焦慮來襲時，我們應(yīng)該退后一步，重新反思自己的言行。下面六個方法有助于你更完滿透徹地敞開心扉。Wheneverapainfulsituationarisesinyourlife,trytoembraceitinsteadofrunningawayortryingtomaskthehurt.Whenthesadnessstrikes,takeadeepbreathandleanintoit.Whenwerunawayfromsadnessthat’sunfoldinginourlives,itgetsstrongerandmorereal.Wetakeanemotionthat’sfleetingandmakeitasolidevent,insteadofsomethingthatpassesthroughus.當(dāng)生活中出現(xiàn)痛苦的事情時，別再逃跑或隱藏痛苦，試著擁抱它吧；當(dāng)悲傷來襲時，試著深呼吸，然后直面它。如果我們一味逃避生活中的悲傷，悲傷只會變得更強烈更真實——悲傷原本只是稍縱即逝的情緒，我們卻固執(zhí)地耿耿于懷Byutilizingourbreathwesoftenourexperiences.Ifwedamthemup,ourliveswillstagnate,butwhenwekeepthemflowing,weallowmorenewnessandgreaterexperiencestoblossom.深呼吸能減緩我們的感受。屏住呼吸，生活停滯；呼出呼吸，更多新奇與經(jīng)歷又將拉開序幕。學(xué)號：本科畢業(yè)論文論文題目：數(shù)學(xué)分析中反例的應(yīng)用學(xué)院：系：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)系專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級：一班姓名：指導(dǎo)教師：河北理工大學(xué)畢業(yè)論文數(shù)學(xué)分析中反例的應(yīng)用TheApplicationofCounter-examplesinMathematicalAnalysis學(xué)院：理學(xué)院系：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)系專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級：一班姓名：指導(dǎo)教師：XXXX數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文目錄目錄摘要 IAbstract II一、前言 1二、數(shù)學(xué)分析中反例的應(yīng)用 1（一）應(yīng)用反例透徹理解定義定理的條件 1（二）應(yīng)用反例準(zhǔn)確把握概念間的關(guān)系 6（三）應(yīng)用反例揭示概念的內(nèi)涵 10（四）應(yīng)用反例糾正研究學(xué)習(xí)中的錯誤 11三、數(shù)學(xué)分析中幾個特殊的反例 17（一）洛必達法則失效的極限 17（二）魏爾斯特拉斯著名反例 18（三）函數(shù)在極值點的形態(tài) 18四、應(yīng)用反例應(yīng)注意的問題 19五、“反例教學(xué)法”在教學(xué)中的重要意義 19（一）“反例教學(xué)法”的實施過程 20（二）“反例教學(xué)法”在教學(xué)中的重要意義 21謝辭 23參考文獻 24附錄 25XXXX數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文摘要02信息與計算科學(xué)專業(yè)畢業(yè)設(shè)計（論文）摘要摘要本文的主要內(nèi)容是對數(shù)學(xué)分析中反例的應(yīng)用進行概括總結(jié)，以清晰介紹反例這種數(shù)學(xué)方法為目的，通過具體實例來說明。關(guān)于定義、定理，各種教材表述很詳細，篇幅原因，本文不作過多冗雜介紹，僅以數(shù)個例子代表說明反例在其中所起作用，重點放在應(yīng)用反例準(zhǔn)確把握概念間的關(guān)系和糾正學(xué)習(xí)中的錯誤兩部分。因為數(shù)學(xué)分析中概念眾多，錯綜復(fù)雜，其關(guān)系的把握是難點也是重點，文中對收斂、有界、單調(diào)、可導(dǎo)、可積等各種重要概念均有涉及；另外，文中對于學(xué)習(xí)過程中常見的錯誤也進行了分類，經(jīng)過細心總結(jié)歸納，簡單分析了錯誤形成的原因和結(jié)果，力圖對數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)起到一定的參考意義。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；反例；應(yīng)用；概念；AbstractThemaincontentofthisthesisisasumupoftheapplicationsofcounter-examplesinthemathematicalanalysis,inordertointroducethismathematicalmethodclearlywithsomeconcreteexamples.Formanydefinitionsandtheoremshavebeenexpressedingreatdetailinavarietyofteachingmaterials,takingintoaccountofthelengthofthisthesis,thisthesisdoesnotgoingtogivetoomanymiscellaneousdescriptions,onlyafewwhichrepresentativelydescribedtheroleofcounter-caseswillbementioned.Certainlytheapplicationsofcounter-examplesinhelpingaccuratelygraspingtherelationshipbetweenconceptsandcorrectinglearningerrorswillbethemainpoints.Becausetherearesomanyconceptsinthemathematicalanalysisandtheyarecomplex,graspingtherelationshipsbetweenthemseemstobeadifficultbutalsoimportantwork,sointhisthesisconvergence,bounded,monotone,differentiable,integrableandmanyotherimportantconceptsareinvolved.Thepaperhasalsoclassifiedmanycommonmistakesinthelearningprocess,bycarefullysummarizeandsimpleanalysisthecausesandconsequencesoftheseformation,tryingtoformanyreferencevalueonthelearningofmathematicalanalysis.Keywords：MathematicalAnalysis;Counter-examples;Application;ConceptXXXX數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析中反例的應(yīng)用一、前言數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容包含一套抽象而且形式化的嚴謹?shù)睦碚擉w系，概念的本質(zhì)較為難以理解。學(xué)習(xí)過程中容易犯的一些想當(dāng)然的錯誤，最常見的，我們?nèi)菀讓⒁恍┖瘮?shù)的特殊性質(zhì)通過四則運算等運算引用到另一些函數(shù)上。反例是解決此類問題最有效的方法。更因為數(shù)學(xué)分析的嚴謹性，定義定理的給出以及一些常用結(jié)論一般都帶有一些不可忽視的限制條件，學(xué)習(xí)時難以牢記而且容易出現(xiàn)張冠李戴的現(xiàn)象，重視和恰當(dāng)?shù)厥褂梅蠢?，對于透徹理解定理的條件，準(zhǔn)確把握概念間的關(guān)系，可以起到一般證明過程所無法比擬的重要作用。此外，反例對于數(shù)學(xué)分析整個學(xué)科的理論發(fā)展和完善也起著重要作用。它猶如一把標(biāo)尺，用來衡量理論的正確與否。數(shù)學(xué)分析中的反例太多太多，篇幅有限，難以枚舉，鑒于反例在區(qū)分基礎(chǔ)概念、透視定理條件上的特殊作用，本文僅對數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)部分，即函數(shù)與極限、一元函數(shù)微積分中反例的應(yīng)用做相應(yīng)的介紹。同時為了語言表述上的習(xí)慣和方便，本文中的例題并非都是舉反例來駁斥某個假命題，很多是否定性真命題而以特例來印證其正確性，但其實質(zhì)都是一樣的，僅僅是表達方式上的不同而已。如本文的“（三）、應(yīng)用反例揭示概念的內(nèi)涵”一節(jié)中，“并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期”，所舉狄利克雷函數(shù)是這一命題的正例，也即是“所有的周期函數(shù)都有最小正周期”的反例。反例的使用，貴在“巧妙”。反例是與正例相對立的，是教學(xué)中不可缺少的認識對象，也是學(xué)生認知建構(gòu)中常常出現(xiàn)的中間形態(tài)。我們不能單靠正面示范和反復(fù)練習(xí)糾正去避免學(xué)生的錯誤。沒有反例的襯托，正確的知識不易凸現(xiàn)，學(xué)生對知識的理解就不易到位。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)對于反例使用，貴在巧妙。只有巧妙使用，反例才能對學(xué)生的智力活動起到定向糾錯、提煉升華的作用?！扒伞庇梅蠢阑嘉慈?，能使學(xué)生激活思維，豁然開朗，形成鮮明的正確印象。二、數(shù)學(xué)分析中反例的應(yīng)用反例在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)研究中的應(yīng)用往往是多方面的，準(zhǔn)確分類有些困難。這里主要就應(yīng)用反例透徹理解定義、定理條件，準(zhǔn)確把握概念間的關(guān)系，揭示概念內(nèi)涵，糾正錯誤四個方面進行分類，力圖盡可能詳盡的將反例在數(shù)學(xué)分析中的重要應(yīng)用呈現(xiàn)出來。（一）、應(yīng)用反例透徹理解定義、定理的條件本節(jié)主要通過函數(shù)在一點極限的定義、數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則等幾個具體例子來說明反例在幫助理解定義、定理條件上的作用。另外，對定義、定理中常見的兩個限制條件“有限”和“閉區(qū)間”做簡單說明。1.關(guān)于一個重要定義定義：設(shè)函數(shù)在點的去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)，對于，，當(dāng)時，有，成立，則稱函數(shù)當(dāng)時存在極限，極限是，記為或.在此定義中，要求函數(shù)在點的去心鄰域內(nèi)有定義，說明函數(shù)在點的極限與在點的情況無關(guān)。在點沒定義，但在點的極限仍可能存在。例1函數(shù).分析：該函數(shù)在點沒定義，但。所以，函數(shù)在沒定義的點也可以有極限。例2設(shè)恒成立，但在某一點處有.分析：如。函數(shù)恒成立，但在處有：（）說明函數(shù)在點的極限與在點的情況無關(guān)。在學(xué)習(xí)一個新的定義時，通常不會死記硬背，而是努力去理解，在頭腦中形成一個印象。如果該定義的學(xué)習(xí)到此為止，則容易忽視掉定義的某些條件，如上例中的去心鄰域。應(yīng)該回過頭來仔細分析一下，為什么是去心鄰域而不是普通的呢？它們會造成什么樣的不同？舉出類似上述的例子，將會對定義的理解更加深入，而并不只是一些表面印象。關(guān)于兩個重要定理（1）數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則：數(shù)列收斂的充要條件是：，當(dāng)及一切，都有（）①：條件（）能否用下面的條件（）所代替？對，，當(dāng)時，有（）條件（）中的與無關(guān)，（）中的依賴于，顯然若滿足條件（），則必滿足條件（），但反之不真。例3解：固定自然數(shù)，要使只要，取=，當(dāng)時，有。所以滿足條件（）。但不論多么大，取，則所以，條件（）不滿足。因此條件（）較條件（）要弱，不能作為數(shù)列收斂的充分必要條件，這里舉出的數(shù)列雖然滿足條件（）但不收斂。②若條件（）改為：，當(dāng)時，，則數(shù)列不一定收斂。例4分析：，當(dāng)時，，但不存在。（2）積分第一中值定理：設(shè)函數(shù)，在上可積，且,，在上不變號，則存在使定理中“在上不變號”這個條件是重要的，若去掉此條件，結(jié)論不一定成立。例5，分析：它們均在上可積，且，在上可正可負，而，.可見不存在，使得.即，去掉“在上不變號”這個條件，結(jié)論不成立。關(guān)于無窮條件下的性質(zhì)無窮多個無窮小之和不一定為無窮小。例6，，，…分析：它們都是無窮小，但因此上式中無窮多個無窮小之和不是無窮小。《數(shù)學(xué)分析講義》中關(guān)于無窮小之和仍為無窮小有一個重要的條件，那就是有限項之和，當(dāng)無窮小的數(shù)目趨向無窮時，該結(jié)論不再成立。數(shù)學(xué)分析中很多定理、性質(zhì)涉及有限、可列等條件，必須注意。4.閉區(qū)間與開區(qū)間（1）設(shè)在上有定義，在內(nèi)連續(xù)，并且，不一定存在使得。例7分析：它在[0，1]上有定義，在（0，1）內(nèi)連續(xù)，并且，但不存在，使得。（2）若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有界。若改為非閉區(qū)間，結(jié)論不一定成立。例8①函數(shù)定義在無界區(qū)間顯然在上無界。②函數(shù)定義在有界非閉區(qū)間，顯然在內(nèi)連續(xù)，但在上無界。③若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則一定一致連續(xù)。若改為非閉區(qū)間，則結(jié)論不一定成立。例9分析：在上連續(xù)，但它在上不一致連續(xù)。此例也說明，若在某一區(qū)間上一致連續(xù)，一定在此區(qū)間上連續(xù)，但反之不真。只有在閉區(qū)間上反之才成立。非閉區(qū)間包含有界非閉區(qū)間和無界非閉區(qū)間，無界區(qū)間與閉區(qū)間的性質(zhì)相差很大自不必說，即使是有界非閉區(qū)間，由于邊界處無限趨近于該區(qū)間的邊界，在此無限的條件下，函數(shù)性質(zhì)也會變化很大。（二）、應(yīng)用反例準(zhǔn)確把握概念間的關(guān)系1.關(guān)于函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（1）在學(xué)習(xí)過程中，對于反函數(shù)最深的印象是：其圖像與其原函數(shù)關(guān)于直線對稱，不經(jīng)意間就畫出一對單調(diào)的連續(xù)曲線，這僅僅是幫助理解，并不是反函數(shù)必須遵守的規(guī)則。本小節(jié)以兩個例子來簡述單調(diào)與反函數(shù)之間的關(guān)系。①任何嚴格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，但單調(diào)函數(shù)不一定有反函數(shù)。例10函數(shù)分析：該函數(shù)在上單調(diào)遞增，而非嚴格單調(diào)增函數(shù)，故，此函數(shù)沒有反函數(shù)。這一條例子比較好理解，因為該函數(shù)有無窮個對應(yīng)函數(shù)值1，求反函數(shù)時導(dǎo)致一個自變量值可以對應(yīng)無窮個因變量，不符合函數(shù)的定義。②非單調(diào)函數(shù)卻有單值的反函數(shù)。例11函數(shù)分析：很明顯，該函數(shù)在區(qū)間（）上不單調(diào)，但它為單值的，其反函數(shù)為此函數(shù)本身。從以上兩個例子可以輕松看出函數(shù)有反函數(shù)與單調(diào)以及嚴格單調(diào)之間的關(guān)系，即嚴格單調(diào)是函數(shù)有反函數(shù)的充分不必要條件，單調(diào)是函數(shù)有反函數(shù)的不充分也不必要條件，反函數(shù)的存在僅依賴于原函數(shù)是否為一一對應(yīng)。③不連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)卻是連續(xù)的。例12，其中解：的反函數(shù)為：，在其定義域上是連續(xù)的。所以，不連續(xù)的函數(shù)反函數(shù)可以連續(xù)。（2）數(shù)列、函數(shù)的有界無界性質(zhì)與其收斂、無窮之間的關(guān)系是學(xué)習(xí)函數(shù)極限部分時必須注意的，利用反例幫助學(xué)習(xí)可以將他們清楚地區(qū)分，而且，特例的提出更加深印象，牢記不忘。①收斂數(shù)列必有界，但反之不真。例13分析：顯然是有界的，但不存在。所以，有界數(shù)列不一定收斂。有界是數(shù)列收斂的必要不充分條件，但要注意，函數(shù)收斂的性質(zhì)與之有所不同，函數(shù)收斂僅僅能推出函數(shù)在該收斂點的鄰域內(nèi)局部有界，因為，在數(shù)列收斂的條件中，確定之后，對于局部有界，同時，的取值個數(shù)是有限的，可以找出其中的最大值，而普通函數(shù)有界的局部之外，取值個數(shù)仍為無窮個，無法找出極值。②無窮大量必?zé)o界，但反之不真。例14分析：是無界的，但。所以，無界量不一定為無窮大。③趨向正無窮大的數(shù)列必上方無界。但反之不真。例15分析：上方無界，但不存在。所以，上方無界的數(shù)列不一定趨向正無窮。上述兩個例子引用的是相同的數(shù)列，它們表明，無窮大量的限制條件要強于無界量，要求函數(shù)的極限是無窮大，這樣，函數(shù)要么趨向于正無窮大要么趨向于負無窮大，而無界的成立條件僅需該函數(shù)的值可以取到無窮。2.關(guān)于導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)連續(xù)性之間的關(guān)系較難理解，應(yīng)用反例可以比較方便地學(xué)習(xí)它。①在一點可導(dǎo)必在該點連續(xù)，但反之不真。例16分析：該函數(shù)處處連續(xù)，但在點不可導(dǎo)(在該點左右導(dǎo)數(shù)不相同)。所以，函數(shù)在一點連續(xù)不一定在該點可導(dǎo)。函數(shù)在點，極限為，與其函數(shù)值相等，所以函數(shù)在該點連續(xù)；導(dǎo)數(shù)的意義是函數(shù)在該點的平均變化率的極限值，但，中，分子永遠大于零，分母在左側(cè)小于零，右側(cè)大于零，左右導(dǎo)數(shù)一正一負，所以導(dǎo)數(shù)不存在。自變量趨近點時，趨近于零，導(dǎo)數(shù)存在，則同時是趨近于零的，（因為其比值的極限為常數(shù)，它們?yōu)橥A無窮?。?，即，時，，正是函數(shù)在一點連續(xù)的定義。（2）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值之間的關(guān)系①若對于任意，有，則函數(shù)在內(nèi)嚴格增加。但反之不真。例17，分析：在上嚴格增加，但存在一點，使得，即不恒成立。所以，嚴格增加不能得到導(dǎo)函數(shù)恒大于零。該點僅為孤立點，函數(shù)仍然嚴格增加，函數(shù)遞增遞減是定義在一個區(qū)間上的整體性質(zhì)，在某孤立點上導(dǎo)數(shù)等于零，也不會有在該點函數(shù)值不變的結(jié)論，只要在其兩側(cè)仍然有導(dǎo)數(shù)大于零，就一定有該函數(shù)嚴格增加。②就上升函數(shù)來說，若，則一定嚴格單調(diào)上升；但若，則可能單調(diào)上升，也可能嚴格單調(diào)上升。例18，解：，。當(dāng)時，，但在上是嚴格單調(diào)上升的。此例與其前面的例題所說明的問題類似，表述方式上差別較大而已，在此列出進一步說明一下。類似的問題還有后面例題③和例題④。不再做詳細的解釋。③不可導(dǎo)的點可能為極值點。例19，分析：在點不可導(dǎo)，但為的極小值點。所以，不可導(dǎo)的點也可以是極值點。④若函數(shù)在點可導(dǎo)，則曲線在點存在切線。但若函數(shù)在點不可導(dǎo)，曲線在點也可能存在切線。例20分析：該函數(shù)在點不可導(dǎo)，但曲線在（0，0）處存在切線，即軸。習(xí)慣利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某點的切線，久而久之形成了兩者關(guān)系等價的錯誤理解。此例很好的揭示出導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某點存在切線的充分不必要條件。關(guān)于積分本節(jié)主要內(nèi)容是舉幾個關(guān)于函數(shù)是否可積的反例，看一看在學(xué)習(xí)函數(shù)一般性質(zhì)與可積性之間的關(guān)系時，反例所起的重要作用。（1）函數(shù)在上可積，但不一定存在原函數(shù)。例21分析：此函數(shù)只在點間斷，其他點均連續(xù)，因此在上可積，但在上不存在原函數(shù)。事實上，每一個含有第一類間斷點的函數(shù)都沒有原函數(shù)。定積分是數(shù)項和式，與不定積分有著本質(zhì)的不同，可積與原函數(shù)的存在性沒有必然的聯(lián)系。（2）任意可積函數(shù)都有界，但反之不真。例22分析：此函數(shù)在上有界，但并不可積。所以，有界的函數(shù)不一定可積。（3）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上可積，但反之不真。例23分析：此函數(shù)在上可積，但在處間斷，即在閉區(qū)間上不連續(xù)。所以，函數(shù)在閉區(qū)間上可積，但不一定在上連續(xù)。這樣的例子很多，因為在上，如果有有限個間斷點，且有界，則就是可積的；又閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，若有可數(shù)個間斷點，它仍是可積的。（4）若函數(shù)在上可積，則在上也可積，但反之不真。例24分析：在上連續(xù)，因而在上可積，但在任意區(qū)間上不可積。所以，在上可積，可以有函數(shù)在上不可積。（三）、應(yīng)用反例揭示概念的內(nèi)涵并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期例25狄利克雷函數(shù)：分析：它的周期為任何有理數(shù)，沒有最小正周期?？梢娙魏握欣頂?shù)都是它的周期，但沒有最小正周期。由于周期函數(shù)概念本身的復(fù)雜性，在很長一段時間內(nèi)，人么一直認為周期函數(shù)必有最小正周期。狄利克雷關(guān)于此問題提出的著名函數(shù)——狄利克雷函數(shù)，不僅糾正了以往關(guān)于周期函數(shù)理論中的偏差，也是人們對于周期函數(shù)概念的內(nèi)涵有了更加深刻的認識。（四）、應(yīng)用反例糾正研究學(xué)習(xí)中的錯誤不能忘記,反例之所以叫做反例，是因為它最明顯的也是最根本的作用就是糾錯。數(shù)學(xué)是一門極其嚴謹?shù)膶W(xué)科，而數(shù)學(xué)分析又是經(jīng)過了嚴格理論改造的微積分學(xué)，其嚴謹性可見一斑。反例就像一面鏡子，讓我們可以站在問題的對立面去觀察和分析學(xué)習(xí)、研究過程中所遇到的問題。本論文層次較為有限，僅就數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中所遇到的部分典型的、常見的錯誤舉出相應(yīng)的反例，簡單介紹一下反例巨大的糾錯能力。1.數(shù)學(xué)運算下函數(shù)的性質(zhì)總是想當(dāng)然的將函數(shù)的一些性質(zhì)通過四則運算“推廣”到很多其他的函數(shù)上，就像以下這兩個例子，兩函數(shù)發(fā)散，對它們求和，不仔細思考想不到它們前后的區(qū)別，總會感覺求和并沒有改變原函數(shù)的性質(zhì)。類似的錯誤在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很常見，略作講述。（1）函數(shù)的斂散性①與均發(fā)散，但不一定發(fā)散例26，分析：上述兩函數(shù)它們均發(fā)散，但，即，是收斂的。所以，函數(shù)發(fā)散對兩函數(shù)的加法運算不封閉。②與均發(fā)散，但不一定發(fā)散例27，分析：顯然兩函數(shù)均發(fā)散，但，顯然是收斂的。所以，函數(shù)發(fā)散對乘法運算也不封閉。由于減法和除法分別可以由加相反數(shù)和乘倒數(shù)得到，即可以轉(zhuǎn)化成加法和乘法運算，所以，可以有結(jié)論：兩數(shù)列發(fā)散但其四則運算的結(jié)果斂散性未知。（2）無窮小概念①兩個數(shù)列都不是無窮小，而它們的積卻可能是無窮小。例28，分析：很顯然，它們都是發(fā)散的，但=卻是無窮小。因此，非無窮小的積可以是無窮小。②無窮小乘任意數(shù)列不一定為無窮小。例29，，分析：是無窮小，但不是無窮小。思考：數(shù)列是無窮小，數(shù)列趨向無窮大，兩數(shù)列的乘積斂散性將會是不確定的。（3）函數(shù)的連續(xù)性①函數(shù)，在點處均不連續(xù)，但在點處可能連續(xù)例30，分析：例題中的兩函數(shù)，很明顯的，它們在點處均不連續(xù)，但它們的和是常數(shù)，處處連續(xù)。因此，我們可以說，不連續(xù)的兩函數(shù)之和可以是連續(xù)的。②函數(shù)，在點處均不連續(xù)，的連續(xù)性不確定。例31（1），；（2），分析：（1）兩函數(shù)在點處均不連續(xù)，但它們的乘積卻處處連續(xù)。（2）兩函數(shù)在點處均不連續(xù)，因為它們在該點沒有定義，而它們的乘積在點=0處仍不連續(xù)。所以，不連續(xù)的兩函數(shù)的積的連續(xù)性也是不確定的。③乘積不一致連續(xù)的兩個一致連續(xù)函數(shù)。例32，分析：它們均在實數(shù)范圍內(nèi)一致連續(xù)，但在實數(shù)范圍內(nèi)卻不一致連續(xù)。因此有結(jié)論，兩一致連續(xù)函數(shù)的乘積不一定一致連續(xù)。（4）導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問題①若，均在點不可導(dǎo)，但有可能在點可導(dǎo)。例33，分析：它們均在=0點不可導(dǎo)，但卻處處可導(dǎo)。所以，不可導(dǎo)的兩函數(shù)之和有可能可導(dǎo)。②若，均在點不可導(dǎo)，但有可能在點可導(dǎo)。例34分析：，均在點不可導(dǎo)，但卻處處可導(dǎo)。所以，不可導(dǎo)的兩函數(shù)之積有可能可導(dǎo)。結(jié)論：以上兩個例子表明,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對四則運算不封閉。（5）積分的相關(guān)問題①若函數(shù)，在上可積，則在上可積。但反之不真。例35，分析：在上可積，但函數(shù)，在上均不可積。所以，兩函數(shù)之和可積，兩函數(shù)不一定可積?；蛘哒f，可積函數(shù)可以分割成兩不可積函數(shù)之和。2.將命題的充分與必要性弄混由于數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容很多，很復(fù)雜，命題、結(jié)論的邏輯關(guān)系經(jīng)常弄混。死記硬背肯定是不行的，使用反例不僅可以找出所犯的錯誤，還能加深印象。①若，則。但反之不真。例36解：1，但不存在。所以，，不一定有。②若h（h0的常數(shù)），則。但反之不真例37解：，但不存在。即，由，無法得到（0的常數(shù)）。小結(jié)：數(shù)列收斂，則在無窮遠處，鄰項的距離趨近于零，也即比值趨于一。但是滿足這種必要條件的數(shù)列很多，無窮收斂則是最典型的。③（=1,2,…）不一定有（假設(shè)極限都存在）例38，（=1,2,…）解：由已知，顯然（=1,2,…），但這純粹是思考上容易出現(xiàn)的錯誤。④若存在數(shù)，使得則稱數(shù)列具有有界變差。凡是具有有界變差的數(shù)列都收斂，但收斂數(shù)列不一定有有界變差。例39分析：它是以零為極限的收斂數(shù)列，但它沒有有界變差。事實上，而，于是是無界的，因此收斂數(shù)列沒有有界變差。所以，存在有界變差是數(shù)列收斂的充分不必要條件。具有有界變差的數(shù)列都收斂，但收斂數(shù)列不一定有有界變差。⑤若函數(shù)可導(dǎo)，則，=1，2，…，但反之不真。例40解:當(dāng)為有理數(shù)時，仍為有理數(shù)，所以，但在有理點不連續(xù)，當(dāng)然不可導(dǎo)。分析：式子，=1，2，…中，在函數(shù)已經(jīng)可導(dǎo)的情況下，用孤立的點代替連續(xù)變化的逼近于0，依然可以達到原來的效果，但是，反過來時，由于沒有函數(shù)可導(dǎo)則連續(xù)的前提條件，就有了不連續(xù)的狄利克雷函數(shù)也能夠可導(dǎo)的錯誤結(jié)論。所以，滿足，=1，2，…的函數(shù)，不一定可導(dǎo)。⑥若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，并且，則，但反之非真。例41，解：，但不存在。所以，僅僅由這一個條件，無法得到函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，并且。⑦如果在閉區(qū)間上有，則。但反之不真。例42，解：，但在上的值卻不總是大于等于零。所以，無法推出在閉區(qū)間上有。3.表述不夠嚴謹錯誤①當(dāng)越大時，越來越向零靠攏，則。錯誤。例43，解：，當(dāng)越大時，越來越向零靠攏但始終，因此不以1為極限。此例不僅證實了所給命題是錯誤的，還向我們展示了精確語言的重要性，“從右邊越來越接近一也是接近零”。三、數(shù)學(xué)分析中幾個特殊反例洛必達法則失效的極限，很難界定它的應(yīng)用類型，但它卻是極其重要的，是數(shù)學(xué)分析中不可忽略的重要反例，因此在本部分給出。魏爾斯特拉斯著名反例，因其極具代表性的重要作用，僅僅將其放在糾錯類別下，不免抹掉了它的功績。所以，也在本部分給出。（一）洛必達法則失效的極限洛必達法則失效的極限例44①分析：此極限顯然為“”型不定式，但不能用羅比達法則求，因為若設(shè)，，極限不存在，而。②分析：此極限雖然為“”型不定式，但如果用羅比達法則將得到錯誤的結(jié)果：首先應(yīng)用法則，，因為不存在，所以不存在，從而不存在。而實際上，.應(yīng)用洛必達法則求解不定式的極限十分方便，但這一法則并不是萬能式，有時是失效的，必須謹記這一點。（二）魏爾斯特拉斯著名反例十九世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)界長期認為：“連續(xù)函數(shù)除個別點外總是可導(dǎo)的。”魏爾斯特拉斯于1860年給出了一個著名反例：其中，為實數(shù)，為奇整數(shù)，，在內(nèi)處處連續(xù)但又處處不可導(dǎo)。這個反例對當(dāng)時的數(shù)學(xué)界造成了巨大的沖擊。此后，人們又創(chuàng)造出很多這種類型的例子，這些“病態(tài)函數(shù)”的提出，使數(shù)學(xué)家們更清醒地認識到分析基礎(chǔ)嚴格化的必要性和重要性，推動了微積分理論的發(fā)展。（三）函數(shù)在極值點的形態(tài)若函數(shù)在點有極大值，但在此點的鄰域內(nèi)不一定有在點的左側(cè)上升，右側(cè)下降。例45解：對于且，，即，所以在點取得極大值2。而，在點的任意鄰域內(nèi)都時正時負，故在點的左右兩側(cè)的任意鄰域內(nèi)都是震蕩的。提及極大值，腦中立即就會浮現(xiàn)出在點的左側(cè)上升，右側(cè)下降的圖像，本例題指出了一個絕大多數(shù)數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)者會走入的誤區(qū)。它還告訴我們，直觀感覺再怎么正確，也可能是錯的。四、應(yīng)用反例應(yīng)注意的問題在學(xué)習(xí)中重視和恰當(dāng)?shù)倪\用反例，不僅可以調(diào)動我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，養(yǎng)成重視條件，嚴格推理的習(xí)慣，而且還可以提高我們的數(shù)學(xué)能力和學(xué)習(xí)能力。數(shù)學(xué)分析中反例的應(yīng)用極多，相關(guān)的例子也是無窮無盡，想要牢固掌握、靈活運用并非易事。在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該應(yīng)用反例針對困難解決困難，在具體的實踐中，利用反例這種方法的各種優(yōu)勢，完成學(xué)習(xí)過程，同時用心體會應(yīng)用反例的各種技巧，強化從正反兩方面分析問題的思維意識。但在學(xué)習(xí)中，運用反例還必須注意如下一些問題：首先要注意主次。學(xué)習(xí)中主要學(xué)習(xí)概念、定理和方法，對于基本的命題和結(jié)論應(yīng)予以嚴格的證明和推導(dǎo)。但舉反例重在說明結(jié)構(gòu)、辨清是非，因此我們不可一味把太多的注意力放在構(gòu)造或列舉反例上，反例應(yīng)該作為圍繞主要內(nèi)容而進行的有效的輔助學(xué)習(xí)手段。其次要注意適當(dāng)。反例應(yīng)是經(jīng)過挑選的，既要簡單又要能夠說明問題。學(xué)生自己構(gòu)造的反例難度應(yīng)適當(dāng)，以免浪費很多時間和精力，而且容易產(chǎn)生挫敗感。不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，對反例的運用也應(yīng)有不同要求。另外，牢記一些典型函數(shù)，如狄利克雷函數(shù)(見附錄)等的各方面性質(zhì)，在反例的實際應(yīng)用中會有很大的幫助。五、“反例教學(xué)法”在教學(xué)中的重要意義現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展及其日益在學(xué)校教育領(lǐng)域的應(yīng)用，給學(xué)校教育帶來了發(fā)展的機遇，也使學(xué)校教育再次面臨嚴峻的挑戰(zhàn)。現(xiàn)行學(xué)校教育方式在未來社會的前景如何?信息技術(shù)的發(fā)展最終會為教學(xué)方式帶來什么樣的變革？這在今天是一件難以預(yù)料的事。目前，隨著我國基礎(chǔ)教育課程的逐步深入，課程理論研究正面臨極好的機遇和極大的挑戰(zhàn)，改革實踐呼喚科學(xué)的課程理論給以指導(dǎo)。理論是實踐的先導(dǎo)。數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)該責(zé)無旁貸地擔(dān)負起排頭兵的作用，要對有關(guān)的教學(xué)方法作深入的理論研究，提出改革落后教學(xué)方法的方案，創(chuàng)造出新的教學(xué)方法。有利于扎扎實實打好基礎(chǔ)，努力培養(yǎng)創(chuàng)新意識和實踐能力，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。反例教學(xué)法是指在教師指導(dǎo)下，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容的需要，采用典型例題的典型錯誤解法或錯誤認識組織學(xué)生進行學(xué)習(xí)、尋找、探討錯誤的地方與原因，達到真正完全掌握數(shù)學(xué)基本概念、性質(zhì)，并最大限度地避免解題出錯的一種教學(xué)方法。簡言之，反例教學(xué)法實質(zhì)上是指教師呈現(xiàn)少數(shù)例題，引導(dǎo)學(xué)生進行批判的一種教學(xué)方法。這種教學(xué)方法脫胎于首創(chuàng)于哈佛大學(xué)的案例教學(xué)法，它最早被運用于19世紀(jì)后半葉的法律教學(xué)中，教師選擇個別犯罪案例進行剖析，讓學(xué)生學(xué)習(xí)法學(xué)的基本知識和理論，以后被運用于醫(yī)學(xué)、心理學(xué)、管理學(xué)等學(xué)科研究與教學(xué)之中。（一）“反例教學(xué)法”的實施過程采用反例教學(xué)法進行數(shù)學(xué)教學(xué)時，在教學(xué)過程中，教師的施教方法和學(xué)生的學(xué)習(xí)方法上都有一系列規(guī)范。主要反映在以下幾個操作步驟之中：1、選編反例。這是實施反例教學(xué)法的基礎(chǔ)和前提，要動員教師集體編寫反例，每個教師至少要準(zhǔn)備20～30個反例，這些反例要具有一定的教學(xué)價值。編好之后，存入反例庫中，隨時供教學(xué)使用，選擇和編排反例具體要求有以下幾點：第一，反例必須從教學(xué)實踐中來，真實、生動。即使是教師自己編寫的也必須符合客觀實際。第二，反例必須精煉。選擇反例的數(shù)量不能多，運用反例的目的是為了使學(xué)生掌握抽象的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)，不能不加選擇地大量地羅列反例。只需要選擇那些高質(zhì)量的少數(shù)典型反例。因為反例教學(xué)法是使教師和學(xué)生借助分析少數(shù)有代表性的反例。從而獲得整體性、全面性的知識的方法。我們不可能在短時間里收集和列舉所有的實際反例，