曲線積分與曲面積分期末復(fù)習題高等數(shù)學下冊上海電機學院

優(yōu)選優(yōu)選第十章曲線積分與曲面積分答案一、選擇題1?曲線積分J[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy與路徑無關(guān)，其中f(x)有一階連續(xù)偏導L數(shù)，且f(0)=0，那么f(x)=BC.-(eC.-(ex+e-x)D.0A.^(e-x-ex)b.^(ex-e-x)2.閉曲線c為ix2.閉曲線c為ix+|y=1的正向，那么Cc.4A.0B.2J-ydx+xdy==cD.63?閉曲線C為4x2+y2=1的正向，那么Jydx+xdy=d4x2+y2CA.—2兀B.2兀C.0D.兀工為YOZ平面上y2+z2<1，那么JJ(x2+y2+z2)ds=B.兀A.0B.兀A.0c.—兀4設(shè)C:x2+y2=a2，那么6(x2+y2)ds=CC6.7.A.2兀a2B.兀a2C.2兀a3設(shè)工6.7.A.2兀a2B.兀a2C.2兀a3設(shè)工為球面x2+y2+z2=1，那么曲面積分A.4兀B.2兀C.兀dSD.4兀a3的值為[B]1+\：'x2+y2+z21D.—兀2設(shè)L是從O(0,0)到B(1,1)的直線段，那么曲線積分Jyds=[c]LA丄B.-1c至D.-至22228.設(shè)I二J乙丫yds其中L是拋物線y=x2上點〔0,0〕與點(1,1)之間的一段弧,那么I=[D]A.空B.蘭C.込1D.込6126129.如果簡單閉曲線l所圍區(qū)域的面積為◎，那么◎是〔DA.1Jxdx-ydy;B.1Jydy-xdx;2l2lC.—Jydx-xdy；2iD.—Jxdy-ydx。2i10?設(shè)S:x2+y2+z2=R2(zC.—Jydx-xdy；2iD.—Jxdy-ydx。2i10?設(shè)S:x2+y2+z2=R2(z>0)，S］為S在第一卦限中局部，那么有cB.JJyds=4JJydsD.JJxyzds=4JJxyzdsSS—C.J!zds二4nzdsS1二、填空題1.設(shè)L是以(0,0),(1,Jydx-(ey2+x)dy二-2L0),(1,1),(0,1)為頂點的正方形邊界正向一周，那么曲線積分2.S為球面x2+y2+z2=a2的外側(cè)，那么JJ(y-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-y)dxdy=0s3.4．jydx-xdy二-2兀x2+y2x2+y2=1x十y曲線積分』(x2十y2)ds，其中C是圓心在原點，半徑為a的圓周，那么積分值為2兀a3C6.7.8.設(shè)刀為上半球面z=J4-x2-y2(z>0)，那么曲面積分JJ(x2十y2十z2k=32n工設(shè)曲線C為圓周x2十y2=1，那么曲線積分(JC2十y2-3x)ds=2兀.C設(shè)C是以0(0,0),A(1,0),B(0,1)為頂點的三角形邊界，那么曲線積分J(X十y)ds=1+2Cds9.設(shè)丫為上半球面z=J4-x2-y2，那么曲面積分JJ的值為-兀?！?十Jx2十y2十z2J_光滑曲面z=f〔x,y〕在xoy平面上的投影區(qū)域為D,那么曲面z=f〔x,y〕的面積是Qz、Z6zQxQyD10.設(shè)L是拋物線y=x3上從點(2,8)到點(0,0)的一段弧，那么曲線積分J(2x—4y)dx=L1211、設(shè)「為螺旋線x=cost,y=sint,z=J31上相應(yīng)于t從0到兀的一段弧,則曲線積分I=J(x2十y2十z2)ds=2兀G十兀2)。r12、設(shè)L為x2+y212、設(shè)L為x2+y2=a2的正向，那么lx2+y2三、計算題1.Jex2+y2ds，其中L為圓周x2+y2三、計算題1.Jex2+y2ds，其中L為圓周x2+y2=1，直線y=x及x軸在第一象限所圍圖形的邊界。L解：記線段OA方程y=x,0<x出，圓弧ab方程J^2x=cos0c兀?n,0<0<-7y=sinn4線段OB方程y=0,0<x<1。那么原式=Jex2+y2ds+Jex2+y2ds+Jex2+y2dsOAAB=2(e-1)+1e#4OBJ"2e2x*2dx+J—edn+J1exdx0002.J(x2+y2dx+y[xy+ln(x+Jx2+y2)]dy，其中L為曲線y=sinx，0<x<兀與直線L段y=0,0<x<兀所圍閉區(qū)域D的正向邊界。解：利用格林公式，P=x：x2+y2，Q=y[xy+ln(x+x2+y2)]，那么OP,匹=y2+廠yOyx2+y2Oxx2+y2故原式=JJ一竺)dxdy=JJy2dxdy=JkdxJsinxy2dy=-J兀sin3xdx=—#OxOy00309DD3.Jy2dx+x2dy，其中L為圓周x2+y2=R2的上半局部，L的方向為逆時針。L解：L的參數(shù)方程為<x=Rcost,t從0變化到兀。y=Rsint故原式=J兀[R2sin21(-Rsint)+R2cos21(Rcost)]dt0=R3J兀[(1—cos21)(-sint)+(1-sin21)cost]dt=一4R3#034?求拋物面z=x2+y2被平面z=1所割下的有界局部工的面積。解：曲面丫的方程為z=x2+y2,(x,y)gD,這里D為工在XOY平面的投影區(qū)域{(x,y)x2+y2<1}。故所求面積=+z2+z2dxdy=JJy'1+4(x2+y2)dxdyxyDD=J2兀d0J\'1+4r2rdr=5-5_1兀#0065、計算J(exsiny—my)dx+(excosy—m)dy，其中L為圓(x—a)2+y2=a2(a>0)的上L半圓周,方向為從點A(2a,0)沿L到原點O。解：添加從原點到點A的直線段后，閉曲線所圍區(qū)域記為D,利用格林公式TOC\o"1-5"\h\zn/?、八3P6QP=(exsiny一my),Q=excosy一m,——=excosy—m,—=excosy，dydx于是J(exsiny—my)dx+(excosy—m)dy+J(exsiny一my)dx+(excosy一m)dyOAjmta2=mJJdxdy=—D而J(exsiny一my)dx+(excosy一m)dy=J2a0dx+0=0,于是便有0OAJ(exsiny一my)dx+(excosy一m)dy=￥#L6.J(y2—z2)dx+(z2—x2)dy+(x2—y2)dz，其中L為球面x2+y2+z2=1在第一L卦限局部的邊界，當從球面外看時為順時針。解：曲線由三段圓弧組成，設(shè)在YOZ平面內(nèi)的圓弧AB的參數(shù)方程”x=0兀<y=cost,t從一變化到0。2z=sint于是J(y2—z2)dx+(z2—x2)dy+(x2—y2)dz=J°[sin21(-sint)-cos21(cost)]dt=—3AB2由對稱性即得J(y2—z2)dx+(z2—x2)dy+(x2—y2)dz=3J(y2—z2)dx+(z2—x2)dy+(x2—y2)dz=4LAB＃

7.J](x+l)dydz+(y+l)dzdx+(z+l)dxdy,其中丫為平x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所圍立體的外表的外側(cè)。解：記牛為該外表在XOY平面內(nèi)的局部，s2為該外表在YOZ平面內(nèi)的局部,S3為該外表在XOZ平面內(nèi)的局部，S4為該外表在平面x+y+z=1內(nèi)的局部。S]的方程為z=0,0<y<1-x,0<x<1，根據(jù)定向，我們有0<x<10<y<1-x同理，JJ(x+1曲+(y+1)dzdx+(z+1)dxdy-0<x<10<y<1-x同理，(x+1)dydz+(y+1)dzdx+(z+1)dxdy=-—2s2x+1)dydz+(y+1)dzdx+(z+1)dxdy=-—2s3s的方程為z=1-x—y,0<y<1-x,0<x<1，故4JJ(z+1)dxdy=JJ(2一x一y)dxdy=—，0<x<0<x<10<y<1-x由對稱性可得JJ(x+1)dydz=JJ(y+1)dzdx=，TOC\o"1-5"\h\z3s4s4故JJ(x+1)dydz+(y+1)dzdx+(z+1)dxdy=2411于是所求積分為2-—x3=#228.計算曲面積分：JJ(x+y+z)dydz+[2y+sin(z+x)]dzdx+(3z+ex+y)dxdy，其中S+為曲面x+|y|+z=1的外側(cè)。解：利用高斯公式，所求積分等于JJJ(1+2+3)dxdydz=68-?—=8#u+v+w<1329.計算I=JJxydydz+yzdzdx+xzdxdy，其中s為x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所圍立s體的外表外側(cè)解：設(shè)V是x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所圍的立體由Gass公式得:I=JJJ(x+y+z)dxdydzV=J0dxJ0-xdyJ0-x-y(x+y+z)dz=—#810?計算1=Jx3dx+3zy2dy-x2ydz,其中r是從點a(3,2,1)到點B(0,0,0)r的直線段ABxyz解：直線段AB的方程是一=—=—;化為參數(shù)方程得:321x=3t,y=2t,z=t,t從1變至U0,所以：I=Jx3dx+3zy2dy-x2ydzr87=J0[⑶)3-3+3t(2t)2-2-(3t)2-2t]dt=87J013dt=-#11411-計算曲線積分I=JAMO(eXsiny-2皿+(eXcosy-2)dy，其中AMO是由點A(a，0)至點0(0,0)的上半圓周x2+y2二ax解：在x軸上連接點0(0,0),A(a,0)C將AMO擴大成封閉的半圓形AMOA在線段OA上,J(exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy=0OA從而J=J+J=JAMOAMOOAAMOA又由Green公式得：J(exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy=JJ2dxdy=^^~#x2+x2+y2<ax12.計算曲線積分Jz3dx+x3dy+y3dz其中L是z=2(x2+y2)與z=3—x2—y2的交線L沿著曲線的正向看是逆時針方向解：將L寫成參數(shù)方程：x=cost,y=sint,z=2t:0T2兀于是：Jz3dx+x3dy+y3dz=J2兀一8sintdt+J2兀cos4tdt=-兀L004另證：由斯托克斯公式得z3dx+x3dy+y3dz=JJ(3y2一0)dydz+(3z2一0)dxdz+(3x2一0)dxdy

工：z=2,x2+y2<1上側(cè)，那么：)z3dx+x3dy+y3dz=3JJx2dxdy=2兀dof1r3cos20dr=3兀#L004x2+y2<1(x,y)|0<y<1-x,0<x<1)13.設(shè)曲面S為平面(x,y)|0<y<1-x,0<x<1)xyTOC\o"1-5"\h\zI=JJdS=JJJ3dxdy=J1dxJ1-x<3dy=J\3(1一x)dx=#c小0002SDxy其中L是沿著圓(x-1)2+(y其中L是沿著圓(x-1)2+(y-1)2=1從點LA(0,1)到點B(2,1)的上半單位圓弧，Q(x,y)解：設(shè)P(x,y)=；y2，Q(x,y)dQy2-dQy2-x2-2xy當”+y2z0時，__=任2+『2)2故：所求曲線積分在不包圍原點的區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)f(x—y)dx+(x+y)dy_f(x—y)dx+(x+y)dy那么：JL：2^2JABB=1ln5-arctan2#215.確定九的值，使曲線積分J\x2+4xy"dx+Cx九-1y2-2y)dy在XoY平面上與路徑無C關(guān)。當起點為(0,0)，終點為(3,1)時，求此曲線積分的值。解：由，P=x2+4xy九,Q=6x九ty2-2y；由條件得刃=5Q,即4九xy^-1=6(九一1)x九-2,九=3,QyOx，-y2+2x2y3(3,1)=丿(0,0)=26(0,0)f(3,1)(x2+4xy3-y2+2x2y3(3,1)=丿(0,0)=26(0,0)16.設(shè)曲面S為球面x2+y2+z2=4被平面z=1截出的頂部，計算I二H打SzS解：S的方程為：z=$4-x2-y2S在S在xoy平面的投影區(qū)域為：Dxy、x,y)x2+y2<3I=JJ2dxdy=J2兀doJ32rdr=4兀ln2#4-x2-y2004-r2Dxy17.計算I二JJyzdydz+xzdzdx+(x+y+z)dxdy,其中工是x2+y2+(z-a)2=a2工0<z<a，取下側(cè)解：作輔助曲面工1:z二a,(x2+y2<a2)取上側(cè)設(shè)Q為x2+y2+(z-a)2=a2,z=a所圍閉區(qū)域D^為平面區(qū)域x2+y2<a2xyJJ(x+y+a)dxdy=—兀a33Dxy-aJJdxdy(ff(x+JJ(x+y+a)dxdy=—兀a33Dxy-aJJdxdy(ff(x+y)dxdy=0)DDxyxy=JJJdxdydzQ13二-—na3#3Ix=acostf18..L為上半橢圓圓周<，取順時針方向，求Jydx-xdy.Iy=bsintL[bsint-(一asint)一acost-(bcost)]dt19.計算曲面積分(Jbxdydz+ydzdx+(z2-2z)dxdy,其中丫為錐面z=卜+y2與z=1所圍的整個曲面的外側(cè)。解：由高斯公式，可得

I=111(1+1+2z-2)dvzdv=2J帀d0j1pdpj1zdzTOC\o"1-5"\h\zoop兀2＃X2y220.計算曲線積分I=6(y-ex)dx+(3x+ey)dy,其中L是橢圓一^―=1的正向。La2b2dQdP解：令P=y-ex,Q=3x+ey,那么——一——=2。dxdy設(shè)L所圍成的閉區(qū)域為D，那么其面積^=兀ab。從而由格林公式可得I=(J(y-ex)dx+(3x+ey)dy=JJ2dxdy=2JJdxdy=2兀ab.LDD21?設(shè)E為柱面x2+z2=a2在使得x>0,y>0的兩個卦限內(nèi)被平面y=0及y=h所截下局部的外側(cè)，試計算I=JJxyzdxdy。EE與E在xoy面上的投影為D：0<x<a,0<y<h，故12xyJJxyzdxdy=JJxyzdxdy+JJxyzdxdyE解:E與E在xoy面上的投影為D：0<x<a,0<y<h，故12xyJJxyzdxdy=JJxyzdxdy+JJxyzdxdyEJJxyQa2-x2dxdy-JJxy(—pa2-x2)dxdyDxyDxy2JJxy\a2-x2dxdy=2JadxJhx、：a2-x2-ydy00Dxya3h2.＃22＃22．計算曲面積分I=JJz2dS，其中E是柱面x2+y2=4介于0<z<6的局部。解：設(shè)E為E在第一卦限的局部曲面。E：x解：設(shè)E為E在第一卦限的局部曲面。E：x=Qy-y2fz

dS='1+dydz=2"曲。S在yozdS='1+T4-?21D:0<y<2,0<z<6。yz故JJz2dS=4JJz2dS=4JJ.—dydz=8『2dyJ6z2dz=288k.#DJ4-y20J4-y20yz23.計算曲面積分I=J!(z2+x)dydz+zdxdy，其中工是旋轉(zhuǎn)拋物面z=—(x2+y2)介于2z=0及z=2之間局部的下側(cè)。解：利用高斯公式，取三：z=2且x2+y2<4。取上側(cè)，S與三構(gòu)成封閉的外側(cè)曲面，所圍的閉域為°,S對應(yīng)的D為：x2+y2<4。1xyW(z2+x)dydz+zdxdy=曲(z2+x)dydz+zdxdy—W(z2+x)dydz+zdxdy=(1+1)dv—JJ2dxdy=2JjJdv—JJ2dxdy°D=2J2兀d0J2drJ2rdz—2?兀?22001r22=8兀一8兀=0.、、、24?計算曲線積分I=J(y+X)dX+(y—x)dy，其中C是自點A(-2,1)沿曲線、、、C廿=翌,C+y2工0),y=—廿=翌,C+y2工0),解:P=_±+^,Q=_2Z^,竺=x(一2xyp2=!x2+y2x2+y26Vx2+y2丿Qx取小圓周Cg:X2+y2=5,5充分小，取逆時針方向,那么由Green公式可得:I=丄￡(y+x)dx+(y一x)dy一J-21+xdx=一2兀+2arctan25221+x2C525?用高斯公式計算心(x—y)dxdy+(y—z)xdydz，其中S:柱面%2+y2=1及平面z=0,z=3圍成封閉曲面的外側(cè)。

解：P=(y-z)x,Q=0,R=x-y詈=y-z‘等=o’等=o原式二JJJ(y-z)dv=JJJ(rsin0-z)rdrd0dzQQ=J2兀dOJ1rdrJ3(rsin0-z)dz000二J2兀dof1f3r2sin0-—rdr"sin0-9]"sin0-9]dOI4丿226?計算曲面積分I=JJx(8z+1)dydz-4yzdzdx+(y-2z2)dxdy,其中丫是曲面z=1+x2+y2被平面z=3所截下的局部，取下側(cè)。：)x=3y2<2取上側(cè),I山川，而ZJJdvJdZJJdvJdzJJdxdy=^J3(z-1)dz=2兀，其中D(z):x2+y2<z-11E+E1QJJ=JJ(y-18)dxdy=-18JJdxdy=-36兀,1=38兀E1DxyDxy27?計算曲線積分J(x3+xy)dx+(x2+y2)dy，其中L是區(qū)域0<x<1,l0<y<1的邊界正向。解：利用Green公式J(x3+xy)dx+(x2+y2)dy二JJxdxdyJ[Jxdy]dx=#00l200D28、計算曲面積分JJx2dydz+y2dxdz+z2dxdy,其中刀為平面方程x+y+z=1在第一卦限工的上側(cè)。解：JJx2dydz+y2dxdz+z2dxdy=JJ[x2+y2+(1-x-y)2]dxdy=-v4乙D或由對稱性：JJx2dydz=JJy2dzdx=JJz2dxdy，

而J!z2dxdy=，故I=。124或v;3dS=dxdy=dydz=dzdx可知。29?計算JL-xCOsydx+ysinxdy，其中L是由點A〔0,0〕到B〔n,2n〕的直線段。解：AB的方程y=2xxg(0,兀)dy=2dxJ-xcosydx+ysinxdy=f(-xcos2x+4xsinx)dx=4兀#L030、設(shè)f：1+-^+2+y2x2+y2原式二J!y2(2+y2'：1+-^+2+y2x2+y2原式二J!y2(2+y2'2dxdy二邁J2兀d0?J2r5sin20drD01xyLf(x)。解：學=2f(x)+e2x,琴=廣(x)0yfix因該項積分與路徑無關(guān)，所以竺=匹,有2f(x)+e2x=廣(x)°令y=f(x),dydx得微分方程y‘—2y=e2x，解得y=e2x(x+c),〔2分〕代入條件f(0)=1得C=1從而有y=e2x(x+1)#31、計算對面積的曲面積分J!y2z2ds,S:z=x2+y2,其中1<z<2。y解:Z=.x<x2+y2=血畏-1sin20L24」32、計算曲面積分JJ(2x+解:Z=.x<x2+y2=血畏-1sin20L24」32、計算曲面積分JJ(2x+z工2兀[丄r66r'dydz+zdxdy，其中工是曲面z=x2+y2