人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （實(shí)際問題與二次函數(shù)）二次函數(shù)教學(xué)課件(拱橋問題和運(yùn)動(dòng)中的拋物線)

拱橋問題和運(yùn)動(dòng)中的拋物線實(shí)際問題與二次函數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)用二次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)物中的拋物線形問題；建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.12自主學(xué)習(xí)任務(wù)：閱讀課本

51頁(yè)，掌握下列知識(shí)要點(diǎn)。自主學(xué)習(xí)1、用二次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)物中的拋物線形問題2、建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題自主學(xué)習(xí)反饋1.如圖，小明在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上擲鉛球時(shí)，鉛球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線

鉛球落在A點(diǎn)處，則OA長(zhǎng)=

米72.一個(gè)涵洞成拋物線形，它的截面如圖，當(dāng)水面寬AB=1.6

米時(shí)，涵洞頂點(diǎn)與水面的距離為2.4m．涵洞所在拋物線的解析式是

.

例1如果要使運(yùn)動(dòng)員坐著船從圣火的拱形橋下面穿過入場(chǎng)，現(xiàn)已知拱形底座頂部離水面2m,水面寬4m,為了船能順利通過，需要把水面下降1m,問此時(shí)水面寬度增加多少?xyO-3(-2,-2)●

●(2,-2)4米典例精析當(dāng)時(shí)，所以，水面下降1m，水面的寬度為

m.所以水面的寬度增加了m.解：建立如圖所示坐標(biāo)系,由拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，-2），可得所以，這條拋物線的解析式為當(dāng)水面下降1m時(shí)，水面的縱坐標(biāo)為-3xyO(-2,-2)●

●

(2,-2)設(shè)二次函數(shù)解析式為典例精析xyxy4m4m請(qǐng)同學(xué)們分別求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.OO解：設(shè)y=-ax2+2將（-2,0）代入得a=∴y=+2；設(shè)y=-a（x-2）2+2將（0,0）代入得a=∴y=+2；典例精析解決拋物線型實(shí)際問題的一般步驟(1)根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；(2)把已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理設(shè)出函數(shù)解析式；(4)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；(5)根據(jù)求得的解析式進(jìn)一步分析、判斷并進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算.

知識(shí)小結(jié)

例2

在籃球賽中，姚小鳴跳起投籃，已知球出手時(shí)離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米，他能把球投中嗎？3米4米4米xyO典例精析3米4米4米xyABC解：如圖建立直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，），B點(diǎn)坐標(biāo)是（4，4），C點(diǎn)坐標(biāo)是（8，3）.因此可設(shè)拋物線的解析式是y=a(x-4)2+4①.把點(diǎn)A(0,)代入①得解得所以拋物線的解析式是.當(dāng)x=8時(shí)，則所以此球不能投中.判斷此球能否準(zhǔn)確投中的問題就是判斷代表籃圈的點(diǎn)是否在拋物線上；O典例精析若假設(shè)出手的角度和力度都不變,則如何才能使此球命中?（1）跳得高一點(diǎn)兒；（2）向前平移一點(diǎn)兒.3米8米4米4米xyO典例精析yx（8，3）（4，4）O12345678910642（1）跳得高一點(diǎn)兒；典例精析y（8，3）（4，4）O12345678910642（７，３）

●（2）向前平移一點(diǎn)兒.x典例精析

典例精析典例精析例4有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位時(shí)AB寬20米，水位上升3米就達(dá)到警戒線CD，這時(shí)水面寬度為10米；

（1）在如圖的坐標(biāo)系中，求拋物線的表達(dá)式．

（2）若洪水到來時(shí)，再持續(xù)多少小時(shí)才能到拱橋頂？（水位以每小時(shí)0.2米的速度上升）典例精析解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：y=ax2．

設(shè)D（5，b），則B（10，b-3），

把D、B的坐標(biāo)分別代入y=ax2得（2）∵b=-1，

∴拱橋頂O到CD的距離為1，

小時(shí)．

所以再持續(xù)5小時(shí)到達(dá)拱橋頂．典例精析1.足球被從地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t來表示，其中t(s)表示足球被踢出后經(jīng)過的時(shí)間，則球在

s后落地.42.如圖，小李推鉛球，如果鉛球運(yùn)行時(shí)離地面的高度y(米）關(guān)于水平距離x(米）的函數(shù)解析式為，那么鉛球運(yùn)動(dòng)過程中最高點(diǎn)離地面的距離為

米.xyO2隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)3.密蘇里州圣路易斯拱門是座雄偉壯觀的拋物線形的建筑物，是美國(guó)最高的獨(dú)自挺立的紀(jì)念碑，如圖．拱門的地面寬度為200米，兩側(cè)距地面高150米處各有一個(gè)觀光窗，兩窗的水平距離為100米，求拱門的最大高度.解：如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，

此時(shí)，拋物線與x軸的交點(diǎn)為C（-100，0），D（100，0），

設(shè)這條拋物線的解析式為y=a（x-100）（x+100），

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（50，150），

可得

150=a（50-100）（50+100）．解得即

拋物線的解析式為頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，200）∴拱門的最大高度為200米隨堂檢測(cè)

公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個(gè)柱子OA，O點(diǎn)恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線路線落下.為使水流較為漂亮，要求設(shè)計(jì)成水流在離OA距離為1米處達(dá)到距水面最大高度2.25米.如果不計(jì)其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流落不到池外？OA1.25米學(xué)以致用OBCA解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線頂點(diǎn)為B，水流落水與x軸交于C點(diǎn).由題意可知A（0，1.25）、

B（1，2.25）、C（x0，0）.

xy設(shè)拋物線為y=a(x－1)2+2.25(a≠0),點(diǎn)A坐標(biāo)代入，得a=－1；當(dāng)y=0時(shí)，x１=－0.5（舍去），

x２=2.5∴水池的半徑至少要2.5米.∴拋物線為y=-(x-1)2+2.25.1.25學(xué)以致用實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化回歸（二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)）拱橋問題運(yùn)動(dòng)中的拋物線問題（實(shí)物中的拋物線形問題）轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系能夠?qū)?shí)際距離準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；選擇運(yùn)算簡(jiǎn)便的方法.課堂小結(jié)商品利潤(rùn)最大問題實(shí)際問題與二次函數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

能應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決商品銷售過程中的最大利潤(rùn)問題；弄清商品銷售問題中的數(shù)量關(guān)系及確定自變量的取值范圍.12自主學(xué)習(xí)任務(wù)：閱讀課本

50頁(yè)，掌握下列知識(shí)要點(diǎn)。自主學(xué)習(xí)1、商品銷售過程中的最大利潤(rùn)問題2、商品銷售問題中的數(shù)量關(guān)系自主學(xué)習(xí)反饋1、某服裝店銷售童裝平均每天售出20件，每件贏利50元，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)：如果每件童裝降價(jià)4元，那么平均每天就可以多售出4件．則每件童裝應(yīng)降價(jià)

元時(shí)，每天能獲得最大利潤(rùn).2、某果園有100棵蘋果樹，平均每棵樹可結(jié)660個(gè)蘋果，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，在這個(gè)果園里每多種一棵樹，平均每棵樹就會(huì)少結(jié)6個(gè)蘋果，則果園里增

棵蘋果樹，所結(jié)蘋果的總數(shù)最多.3、將進(jìn)貨單價(jià)為80元的某種商品按零售價(jià)100元每個(gè)售出時(shí)，每天能賣出20個(gè)，若這種商品的零售價(jià)在一定范圍內(nèi)每降價(jià)1元，其日銷售量就增加2個(gè)，為了獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)降價(jià)

元．1555

某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，則每星期銷售額是

元，銷售利潤(rùn)

元.180006000數(shù)量關(guān)系（1）銷售額=售價(jià)×銷售量;（2）利潤(rùn)=銷售額-總成本=單件利潤(rùn)×銷售量;（3）單件利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià).課堂探究

例

某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？漲價(jià)銷售①每件漲價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤(rùn)y元，填空：?jiǎn)渭麧?rùn)（元）銷售量（件）每星期利潤(rùn)（元）正常銷售漲價(jià)銷售2030020+x300-10xy=(20+x)(300-10x)建立函數(shù)關(guān)系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.6000典型例題②自變量x的取值范圍如何確定？營(yíng)銷規(guī)律是價(jià)格上漲，銷量下降，因此只要考慮銷售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0,因此自變量的取值范圍是0≤x≤30.③漲價(jià)多少元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？y=-10x2+100x+6000，當(dāng)

時(shí),y=-10×52+100×5+6000=6250.

即定價(jià)65元時(shí)，最大利潤(rùn)是6250元.典型例題降價(jià)銷售①每件降價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤(rùn)y元，填空：?jiǎn)渭麧?rùn)（元）銷售量（件）每星期利潤(rùn)（元）正常銷售降價(jià)銷售2030020-x300+18xy=(20-x)(300+18x)建立函數(shù)關(guān)系式：y=(20-x)(300+18x)，即：y=-18x2+60x+6000.

例

某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？6000典型例題綜合可知，應(yīng)定價(jià)65元時(shí)，才能使利潤(rùn)最大。②自變量x的取值范圍如何確定？營(yíng)銷規(guī)律是價(jià)格下降，銷量上升，因此只要考慮單件利潤(rùn)就可以，故20-x

≥0，且x≥0,因此自變量的取值范圍是0≤x≤20.③漲價(jià)多少元時(shí)，利潤(rùn)最大，是多少？當(dāng)

時(shí),

即定價(jià)57.5元時(shí)，最大利潤(rùn)是6050元.即：y=-18x2+60x+6000，典型例題求解最大利潤(rùn)問題的一般步驟（1）建立利潤(rùn)與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式：運(yùn)用“總利潤(rùn)=總售價(jià)-總成本”或“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量”（2）結(jié)合實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；（3）在自變量的取值范圍內(nèi)確定最大利潤(rùn)：可以利用配方法或公式求出最大利潤(rùn)；也可以畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，利用簡(jiǎn)圖和性質(zhì)求出.知識(shí)小結(jié)做一做下面的題目，看誰(shuí)做得又快又準(zhǔn)確。分層教學(xué)A組B組某服裝店購(gòu)進(jìn)單價(jià)為15元童裝若干件，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價(jià)為25元時(shí)平均每天能售出8件，而當(dāng)銷售價(jià)每降低2元，平均每天能多售出4件，當(dāng)每件的定價(jià)為_____元時(shí)，該服裝店平均每天的銷售利潤(rùn)最大．某商店銷售一種進(jìn)價(jià)為50元/件的商品，當(dāng)售價(jià)為60元/件時(shí)，一天可賣出200件；經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果商品的單價(jià)每上漲1元，一天就會(huì)少賣出10件．設(shè)商品的售價(jià)上漲了x元/件（x是正整數(shù)），銷售該商品一天的利潤(rùn)為y元，那么y與x的函數(shù)關(guān)系的表達(dá)式為

．（不寫出x的取值范圍）做一做下面的題目，看誰(shuí)做得又快又準(zhǔn)確。某服裝店購(gòu)進(jìn)單價(jià)為15元童裝若干件，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價(jià)為25元時(shí)平均每天能售出8件，而當(dāng)銷售價(jià)每降低2元，平均每天能多售出4件，當(dāng)每件的定價(jià)為22元時(shí)，該服裝店平均每天的銷售利潤(rùn)最大．某商店銷售一種進(jìn)價(jià)為50元/件的商品，當(dāng)售價(jià)為60元/件時(shí)，一天可賣出200件；經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果商品的單價(jià)每上漲1元，一天就會(huì)少賣出10件．設(shè)商品的售價(jià)上漲了x元/件（x是正整數(shù)），銷售該商品一天的利潤(rùn)為y元，那么y與x的函數(shù)關(guān)系的表達(dá)式為y=-10x2+100x+2000．（不寫出x的取值范圍）解析一覽A組B組1.某種商品每件的進(jìn)價(jià)為20元，調(diào)查表明：在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元（20≤x≤30)出售，可賣出（300－20x）件，使利潤(rùn)最大，則每件售價(jià)應(yīng)定為

元.252.進(jìn)價(jià)為80元的某件定價(jià)100元時(shí)，每月可賣出2000件，價(jià)格每上漲1元，銷售量便減少5件，那么每月售出襯衣的總件數(shù)y(件）與襯衣售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為

.每月利潤(rùn)w（元）與襯衣售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為

.(以上關(guān)系式只列式不化簡(jiǎn)）.

y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)隨堂檢測(cè)3.某種商品每天的銷售利潤(rùn)y（元）與銷售單價(jià)x(元）之間滿足關(guān)系：y=ax2+bx-75.其圖象如圖.（1）銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該種商品每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？（2）銷售單價(jià)在什么范圍時(shí)，該種商品每天的銷售利潤(rùn)不低于16元？xy516O7解：(1)由題中條件可求y=-x2+20x-75∵-1<0,對(duì)稱軸x=10,∴當(dāng)x=10時(shí)，y值最大，最大值為25.即銷售單價(jià)定為10元時(shí)，銷售利潤(rùn)最大，25元；(2)由對(duì)稱性知y=16時(shí)，x=7和13.故銷售單價(jià)在7≤x≤13時(shí)，利潤(rùn)不低于16元.隨堂檢測(cè)38學(xué)以致用某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等，如圖中的折線ABD、線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y1（單位：元）、銷售價(jià)y2（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系．（1）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義；（2）求線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：（1）點(diǎn)D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義：當(dāng)產(chǎn)量為130kg時(shí)，該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本與銷售價(jià)相等，都為42元；（