基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（第10章）

第9章充要條件第10章第11章第12章第13章度的余弦值、正弦值、正切值?化的事物?長來計算得到其他的角度和邊長?一些角度來計算距離?1.掌握和角與差角公式.2.掌握二倍角公式.像和性質(zhì).4.掌握正弦定理及其應(yīng)用.5.掌握余弦定理及其應(yīng)用.10.1和角與差角公式10.3正弦型函數(shù)和角與差角公式>10.1.1利用不同的條件都可以計算出如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)x為始邊，分別作角α,β,角α的終邊與單位圓相交于點A,角β的終邊與單位圓相交于點B,則點A頭腦風(fēng)暴 因為嘗試用證明C(a-p)的方法來證明C(a+)此公式給出了任意角α,β的正弦、余弦與角α-β的余弦又因為又因為=cosαcos(-β)+sinαsin(所以 學(xué)以致用=cos45°cos30°-sinsin學(xué)以致用例2解已知,求cos(α+β)的值.又因為c因此即cos(α+β)的值為求下列各式的值.生活中的數(shù)學(xué)來證明S(a-p):來證明S(a-p):間的轉(zhuǎn)化，因此Oc,此公式給出了任意角α,β的正弦、余弦與角α+β的正弦之間的關(guān)系，因此，式(10-3)稱為和角的正弦公式，簡記作S例3例3解求sin75°,sin15°的值.學(xué)以致用解因為,所,又因為,所以因此即sina的值為求下列各式的值.的值有什么關(guān)系?此公式給出了任意角α,β的正切與角α+β的正切之間的關(guān)系，因此，式(10-5)稱為和角的正切公式，簡記作Ta+)將式(10-5)中的β用-β代替，可得此公式給出了任意角α,β的正切與角α-β的正切之間的關(guān)系，因此，式(10-6)稱為差角的正切公式，簡記作Ta+n,和Ta-n)統(tǒng)稱為和角與差角的正切公式，也可稱為兩角和與差的正切公式，簡記作Tα±β)*有了式(10-1)～式(10-6),就可以求得任意兩角和與差的正弦、余弦和正切值.求下列各式的值.正切公式.二倍角公式生活中的數(shù)學(xué)強很困惑，小明是怎么做到的?,,學(xué)以致用因此的值分別為-,學(xué)以致用已知,α∈(π,2π),求sinα的值.因此正弦型函數(shù)>10.3.1正弦型函數(shù)與正弦函數(shù)的關(guān)系>10.3.2正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì)y=Asin(x+4)=Asinz.最小正周期為2π,因此函數(shù)求函數(shù)y=sinxcos2x+cosxsin2x的最小正周期.解由式(10-3)可知，利用公式將函數(shù)變換為正弦型函數(shù)的形式，是確定函數(shù)最小正周期的關(guān)鍵.學(xué)以致用求函數(shù)的最小正周期，并指出當(dāng)x為何值時，函數(shù)取得最大值和最小值.,則(由此可見，當(dāng)u從0變化到2π,即成一個周期變化到(由此可見，當(dāng)u從0變化到2π,即成一個周期變化到下面用“五點法”作出函數(shù)下面用“五點法”作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖像.首先，我們知道常數(shù)3不影響這個函數(shù)的周期；其次，為了求出圖像上五個關(guān)鍵點的橫坐標(biāo)，可設(shè),分別令u=0,,2π,求出對應(yīng)的x的值,分別令u=0,0~其x00的變化過程的變化過程學(xué)以致用(1)定義域.定義域為R,即(-~,+~).(3)周期性.由于正弦型函數(shù)y=Asin(ax+φ)(A>0,m>0)的定義域為R,對于任意的x∈R,都有R(k∈Z),并且成立，因此正弦型函數(shù)y=Asin(wx+φ)學(xué)以致用(4)奇偶性.(5)單調(diào)性到-A.學(xué)以致用已知某正弦型函數(shù)y=Asin(wx+φ)(A>0,w>0)一個周期的圖像如圖所示，求該正弦型曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式y(tǒng)y2222220,所以函數(shù)的周期為4π,因此已知該圖像經(jīng)過點,將坐標(biāo)代入,得因此函數(shù)解析式為器.她測量了三個角的角度，便計算出了對應(yīng)三邊的相對大小.她是怎么做到的呢?在△ABC中，已知ZA所對的邊長為a,∠B所對的邊長為b,∠C所對的邊長為c.下面我們研究∠A,∠B,∠C,a,b,c之間的關(guān)系.三角形可分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形，因此，可以分三種情況討論.(1)△ABC為直角三角形，∠C=90°,如圖所示.根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可知,所以(2)△ABC為銳角三角形，如圖所示.過點A作AD⊥BC于點D,在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可知,則AD=csinB=bsinC,即同理，可得因此，當(dāng)△ABC為銳角三角形時，等式仍然成立.(3)△ABC為鈍角三角形，如圖所示.過點A作AD⊥BC,交BC的延長線于點D,在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，同理，可得.因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，等式仍然成立.于是，可以得到正弦定理，即在一個三角形中各邊和它所對角的正弦的比相等，可用下式表示.一般地，我們將三角形的三個角∠A,∠B,∠C和它們的對邊a,b,c稱為三角形的元素.已知三角形的幾個元素，求其他元素的過程稱為解三角形.在△ABC中，已知b=2,∠B=30°,∠C=135°,則a=().生活中的數(shù)學(xué)在解決三角形相關(guān)的實際問題時，由于條件有限，有時候我們只能得到有限的信息.例如，已知一個角的角度大小，和組成該角的兩邊的長度，該怎么計算另外一邊的長度呢?以A為原點，以線段AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.這時，點A,B,C的坐標(biāo)分別為A(0,0),B(ccosA,csinA),C(b,0).由平面內(nèi)兩點間距離公式可得兩邊平方，得a2=b2+c2-2bccosA.同理，可得c2=a2+b2-2abcosC.由余弦定理，還可以得到以下推論,由余弦定理，還可以得到以下推論,于是，我們可以得到余弦定理，即三角形任意一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的二倍.余弦定理可用式(10-12)表示.學(xué)以致用在△ABC在△ABC中，已知b=8,c=3,∠A=60°,決以下兩類解三角形的問題.解得a=7解得a=7或a=-7(舍).(2)已知三角形的三邊，求三個角.邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是().弦定理與余弦定理.三角計算的應(yīng)用在航海過程中，需要根據(jù)船只的航行方向、航行速度，當(dāng)時的風(fēng)向、水速，停泊點或障礙物的位置，指南針的方向及天體的位置等信息，來判斷船只能否安全到達停泊點，或者是否有觸礁、撞船等危險.想一想，在這個判斷過程中都運用了哪些三角計算相關(guān)的知識?AA解決一些與三角形有關(guān)的幾何運算或?qū)嶋H問題時，經(jīng)常會用到這兩個定理.在A處看到一燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到達為多少?解解由題意得在△AMB中，由正弦定理得學(xué)以致用建筑道路過山時需要挖掘隧道，山的兩側(cè)是隧道口A和B,如圖所示.在平地上選擇適合測量的點C,測得AC=350m,BC=450m,∠ACB=60°,試計算隧道AB的長度.(精確到1m)解解在△ABC中，由余弦定理得即AB≈409m.因此，隧道AB的長度約為409m.學(xué)以致用某公園有一塊三角形的池塘，現(xiàn)為便于游客觀賞池中景物，準(zhǔn)備修一架小橋，橋的兩端要分別架在A點和BC邊的中點D上，如圖所示.已知AB=60m,BC=70m,AC=50m,試求橋AD的長度.(精確到0.01m)即AD≈42.72m.因此，橋AD的長度約為42.72m.某地出土一塊類似三角形的古代玉佩，其一角已破損，如圖所示.現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：BC=2.57cm,∠B=45°,∠C=120°,為了復(fù)原玉佩，求原玉佩兩邊的長.(精確到c