2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的概念判斷即可.【詳解】由復(fù)數(shù)的概念可知，復(fù)數(shù)的虛部為．故選：C．2．是兩條不同直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)線面位置的判定逐一判斷即可.【詳解】若，則與平行，相交或者異面，故A錯誤；若，則或者，故B錯誤；若，則或者，故C錯誤；若，則，故D正確；故選：D.3．若，，，則事件A與B的關(guān)系是（

）A．互斥但不對立 B．對立C．相互獨立 D．既互斥又獨立【答案】C【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式判斷獨立性，根據(jù)互斥事件的定義判斷是否互斥．【詳解】∵，∴，∴，∴事件A與B相互獨立，題中事件A與B可以同時發(fā)生，它們既不互斥也不對立.故選：C．4．已知向量的夾角為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)量積公式和運算律計算即可.【詳解】.故選：D.5．某人從水庫中打了一網(wǎng)魚共1000條，作上記號再放回水庫中，數(shù)日后又從水庫中打了一網(wǎng)魚共條，其中條有記號，由此估計水庫中共有魚的條數(shù)為（

）A． B． C． D．無法估計【答案】B【分析】估計水庫中共有魚的條數(shù)為，解方程即得解.【詳解】估計水庫中共有魚的條數(shù)為，則.故選：B6．圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，圍棋至今已有四千多年歷史，蘊含者中華文化的豐富內(nèi)涵.在某次國際比賽中，中國派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成兩個小組，其中一個小組有3位，另外一個小組有2位，則甲和乙不在同一個小組的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件包含的基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，另3位棋手分別記為丙、丁、戊，則這5位棋手的分組情況有（甲乙丙，丁戊），（甲乙丁，丙戊），（甲乙戊，丙?。?，（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙?。?，（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲?。ㄒ叶∥?，甲丙），（丙丁戊，甲乙），共10種，其中甲和乙不在同一個小組的情況分別為（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲?。?，（乙丁戊，甲丙），共有6種，所以甲和乙不在同一個小組的概率.故選：C.7．在三棱錐中，底面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)外接球的特點和線面垂直的判定結(jié)合幾何關(guān)系即可求解.【詳解】

因為平面，平面，所以，由面，所以面，由面，則，由面，則，是和的公共斜邊，則是三棱錐的外接球直徑，由，設(shè)，則，則，故選：C．8．如圖，在山腳測得山頂?shù)难鼋菫椋貎A斜角為的斜坡向上走米到，在處測得山頂?shù)难鼋菫?，則山高（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】在中，根據(jù)正弦定理求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】在中，，由正弦定理得，可得，過點作，可得所以.故選：D.

二、多選題9．下列說法正確的是（）A．用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個體被抽到的概率是0.1B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)大于中位數(shù)C．?dāng)?shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是21D．甲乙丙三種個體按3:1:2的比例分層抽樣，如果抽取的甲個體數(shù)為9，則樣本容量為18【答案】AD【分析】利用簡單隨機(jī)抽樣的意義判斷A；求出眾數(shù)、中位數(shù)判斷B；求出第70百分位數(shù)判斷C；利用分層抽樣的意義求出樣本容量判斷D作答.【詳解】對于A，個體被抽到的概率為，A正確；對于B，數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)為3，中位數(shù)為3，B錯誤；對于，數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23從小到大排列為：12，14，15，17，19，23，27，30，由于%，因此給定數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是23，C錯誤；對于D，令樣本容量為，依題意，，解得，D正確.故選：AD10．在△ABC中，a，b，c分別為，∠C的對邊，則下列敘述正確的是（

）A．若，則△ABC為等腰三角形B．若，則C．若，則△ABC為鈍角三角形D．若，則【答案】BD【分析】由正弦定理邊角互化，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)以及和差角二倍角公式即可判斷ABD，由向量的數(shù)量積定義即可判斷C.【詳解】由得或，由于在三角形中，所以或，故△ABC為等腰三角形或者為直角三角形，故A錯誤，由，得，由正弦定理得，故B正確，若，則,因此為銳角，故無法確定△ABC為鈍角三角形，故C錯誤，由得,進(jìn)而可得，由于,所以,由于,所以,故D正確，故選：BD11．如圖與分別為圓臺上下底面直徑，，若，，，則（

）

A．圓臺的母線與底面所成的角的正切值為B．圓臺的全面積為C．圓臺的外接球（上下底面圓周都在球面上）的半徑為D．從點經(jīng)過圓臺的表面到點的最短距離為【答案】ABD【分析】取圓臺的軸截面，利用線面角的定義可判斷A選項；利用圓臺的表面積公式可判斷B選項；利用正弦定理求出等腰梯形的外接圓半徑，即為圓臺的外接球半徑，可判斷C選項；將圓臺沿著軸截面切開，將圓臺的側(cè)面的一半展開，結(jié)合余弦定理可判斷D選項.【詳解】取圓臺的軸截面，設(shè)、的中點分別為、，連接，分別過點、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點、，

由題意可知，與圓臺的底面垂直，易知四邊形為等腰梯形，且，，，在和中，，，，所以，，所以，，因為，，，則四邊形為矩形，且，同理可證四邊形為矩形，則，且，所以，與圓臺的底面垂直，則圓臺的母線與底面所成的角為，所以，，則，所以，，A對；對于B選項，圓臺的全面積為，B對；對于C選項，易知圓臺的外接球球心在梯形內(nèi)，且，由勾股定理可得，且，所以，圓臺的外接球直徑為，則，B錯；對于C選項，將圓臺沿著軸截面切開，將圓臺的側(cè)面的一半展開如下圖所示：

延長、交于點，在圓臺的軸截面等腰梯形中，且，易知、分別為、的中點，所以，，設(shè)，則，則，在中，，，，由余弦定理可得，因此，從點經(jīng)過圓臺的表面到點的最短距離為，D對.故選：ABD.12．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點，，，的面積分別為、、，則有，設(shè)O是銳角內(nèi)的一點，，，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的是（

）．A．若，則O為的重心B．若，則C．若O為（不為直角三角形）的垂心，則D．若，，，則【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的線性運算結(jié)合三角形重心判斷A；結(jié)合“奔馳定理”即可判斷B；根據(jù)三角形垂心性質(zhì)，推出，結(jié)合“奔馳定理”判斷C；求出，結(jié)合“奔馳定理”可得，從而求得，判斷D.【詳解】對于A，設(shè)的中點為D，則，

即三點共線，則，設(shè)為的中點，同理可得，故O為的重心，A正確；對于B，若，結(jié)合，可知，B正確；對于C，，，，又O為（不為直角三角形）的垂心，設(shè)延長后交與G，則,同理，則，即，同理，

故，同理，又，，又O為（不為直角三角形）的垂心，則，故，即，同理，則，同理，故，又，可得，C正確；對于D，中，，，則，又，故，則，故，D錯誤，故選：ABC【點睛】關(guān)鍵點睛：本題題意比較新穎，綜合考查了向量知識的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是能靈活應(yīng)用向量知識，比如三角形“心”的向量表示，結(jié)合“奔馳定理”進(jìn)行解答.三、填空題13．已知，.【答案】【分析】確定，，再計算模長得到答案.【詳解】，則，，則.故答案為：.14．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，且，E為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為．

【答案】/【分析】利用平移法作出異面直線與所成的角，解三角形即可求得答案.【詳解】連接交于點F，連接，

由于四邊形為菱形，故互相垂直平分，F(xiàn)為的中點，E為的中點，故，且，，則異面直線與所成的角即為直線與所成的角，因為平面，平面，故,又,平面，故平面，平面，故，即為直角三角形，設(shè)，四邊形為菱形，，則，，故，則,則，因為異面直線所成的角的范圍為，即異面直線與所成的角的余弦值為，故答案為：四、雙空題15．甲?乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成績?yōu)?6分，方差為96分；乙班的平均成績?yōu)?5分，方差為60分.那么甲?乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績是分，方差是分.【答案】80100【分析】根據(jù)平均數(shù)及方差公式求解即可.【詳解】設(shè)甲班50人的成績?yōu)椋瑒t其平均成績，設(shè)乙班40人的成績?yōu)?，則其平均成績，則甲乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績?yōu)?；設(shè)甲班50人成績的方差為，所以則，設(shè)乙班40人成績的方差為，則，設(shè)甲乙兩班全部90人成績的方差為，則故答案為：①80；②100.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是：由和得到.五、填空題16．二戰(zhàn)期間盟軍的統(tǒng)計學(xué)家主要是將繳獲的德軍坦克序列號作為樣本，用樣本估計總體的方法得出德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)．假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)是N，繳獲的該月生產(chǎn)的n輛坦克編號從小到大為，，…，，即最大編號為，且繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機(jī)獲取的，因為生產(chǎn)坦克是連續(xù)編號的，所以繳獲坦克的編號，，…，，，相當(dāng)于從中隨機(jī)抽取的n個整數(shù)，這n個數(shù)將區(qū)間分成個小區(qū)間，由于N是未知的，除了最右邊的區(qū)間外，其他n個區(qū)間都是已知的．由于這n個數(shù)是隨機(jī)抽取的，所以可以用前n個區(qū)間的平均長度估計所有個區(qū)間的平均長度，進(jìn)而得到N的估計值．例如，繳獲坦克的編號是3，5，12，18，20，則統(tǒng)計學(xué)家利用上述方法估計德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為．

【答案】24【分析】根據(jù)統(tǒng)計學(xué)家利用的方法列比例式計算，即可求得答案.【詳解】由于用前n個區(qū)間的平均長度估計所有個區(qū)間的平均長度，而繳獲坦克的編號是3，5，12，18，20，即，故,即則統(tǒng)計學(xué)家利用上述方法估計德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為24，故答案為：24六、解答題17．四棱錐的側(cè)面是等邊三角形，平面，平面，，，是棱的中點.(1)證明：平面；(2)求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，連接，根據(jù)中位線的性質(zhì)證明得到平行四邊形，進(jìn)而得到平面；（2）取中點，連接，易得平面，進(jìn)而求得四棱錐的體積即可【詳解】（1）取中點，連接，由中位線性質(zhì)可得，又平面，平面，故.又，，故.所以平行四邊形，所以.因為平面，平面，故平面；（2）取中點，連接，因為平面，平面，故，又等邊三角形，故，且.又，故平面，所以四棱錐的體積18．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．已知，，．(1)求c的值；(2)求．【答案】(1)5(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求得答案；（2）利用正弦定理分別求得，繼而可求得，利用兩角和的正弦公式即可求得答案.【詳解】（1）由，，，可得，即（負(fù)值舍去）；（2）由正弦定理可得，由于，故B為銳角，則，，又，故C為銳角，則，則.19．如圖，從參加環(huán)保知識競賽的學(xué)生中抽出名，將其成績（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問題：

(1)這一組的頻數(shù)?頻率分別是多少？(2)估計這次環(huán)保知識競賽成績的平均數(shù)?眾數(shù)?中位數(shù).(3)從成績是分以上（包括分）的學(xué)生中選兩人，求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率.【答案】(1)，(2)，，(3)【分析】（1）先求得，，，，各組的頻率，再利用對立事件的概率求解，進(jìn)而得到頻數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，利用平均數(shù)的平均數(shù)?眾數(shù)?中位數(shù)的定義求解；（3）易得和之間的人數(shù)分別為4人和2人，然后利用古典概型的概率求解.【詳解】（1）根據(jù)題意，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，則這一組的頻率為，其頻數(shù)為；（2）這次競賽的平均數(shù)為，一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)為，分左右兩側(cè)的頻率均為，則中位數(shù)為；（3）記“取出的人在同一分?jǐn)?shù)段”為事件，因為之間的人數(shù)為，設(shè)為???，之間有人，設(shè)為?，從這人中選出人，有、、、?、、、、、、?、、、，共個基本事件，其中事件E包括、、、、、、，共個基本事件，則.20．如圖，三棱柱中?四邊形是菱形，且，，，，(1)證明：平面平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于O，連接，證明可得線面垂直，再由面面垂直的判定定理得證；（2）利用等體積法求出點到平面的距離，再由線面角公式求解即可.【詳解】（1）連接交于O，連接，如圖，四邊形是菱形，所以，又，，是的中點，所以且，由，可知為正三角形，所以，，在中，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）設(shè)到平面的距離為，因為中，，，所以，又，，所以由，可得,即,設(shè)直線和平面所成角為，則.21．已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，在①，②，③三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．

(1)選__________，求角B的大?。?2)如圖，作，設(shè)，使得四邊形滿足，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）選①，利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，即可求得答案；選②，利用正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理化簡，即可求得答案；選③，利用三角形面積公式以及數(shù)量積的定義，化簡求值，即得答案.（2）解三角形求出的表達(dá)式，結(jié)合三角恒等變換，即可求得的表達(dá)式，結(jié)合角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】（1）選①，則，即，由于，故，而，故；選②，則，故，則，而，故；選③，則，即，即，故，又，故；（2）設(shè)，，則，在中，，則，在中，，則，因為，故，，則，即的取