2022-2023學(xué)年湖北省武漢市高二年級上冊學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A．的虛部為 B．的共軛復(fù)數(shù)為C．對應(yīng)的點在第二象限 D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件及復(fù)數(shù)的除法法則，再利用復(fù)數(shù)的概念及共軛復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的摸公式即可求解.【詳解】由，得，對于A，復(fù)數(shù)的虛部為，故A不正確；對于B，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故B不正確；對于C，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，故C正確；對于D，，故D不正確.故選：C.2．在下列條件中，一定能使空間中的四點共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共面定理，，若A，B，C不共線，且A，B，C，M共面，則其充要條件是，由此可判斷出答案.【詳解】根據(jù)向量共面定理，，若A，B，C不共線，且A，B，C，M共面，則其充要條件是，由此可得A，B，D不正確，選項C：，所以四點共面，故選：C.3．已知向量為平面的法向量，點在內(nèi)，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用點到面的距離的向量求法求解即可【詳解】因為，所以，因為平面的法向量，所以點到平面的距離.故選：B【點睛】此題考查利用向量求點到面的距離，屬于基礎(chǔ)題4．已知A，B，C，D，E是空間中的五個點，其中點A，B，C不共線，則“存在實數(shù)x，y，使得是“平面ABC”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用存在實數(shù)x，y，使得平面ABC或平面ABC，結(jié)合充分必要條件的定義即可求解.【詳解】若平面ABC，則共面，故存在實數(shù)x，y，使得，所以必要性成立；若存在實數(shù)x，y，使得，則共面，則平面ABC或平面ABC，所以充分性不成立；所以“存在實數(shù)x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分條件，故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查空間向量共面的問題，理清存在實數(shù)x，y，使得平面ABC或平面ABC是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5．在中，角的對邊分別為，且，則的面積為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】利用正弦定理將邊化為角，求得，然后利用余弦定理求得，代入三角形面積公式即可.【詳解】因為，由正弦定理，因為，所以，因為，所以，根據(jù)余弦定理得，得或，所以或，故選：C.6．為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，甲、乙、丙三個小組進行黨史知識競賽，每個小組各派5位同學(xué)參賽，若該組所有同學(xué)的得分都不低于7分，則稱該組為“優(yōu)秀小組”（滿分為10分且得分都是整數(shù)），以下為三個小組的成績數(shù)據(jù)，據(jù)此判斷，一定是“優(yōu)秀小組”的是（

）甲：中位數(shù)為8，眾數(shù)為7乙：中位數(shù)為8，平均數(shù)為8.4丙：平均數(shù)為8，方差小于2A．甲 B．乙 C．丙 D．無法確定【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合“優(yōu)秀小組”的定義依次分析選項，綜合可得答案.【詳解】甲：中位數(shù)為8，眾數(shù)為7，可知甲組的得分依次為：7、7、8、9、10，根據(jù)“優(yōu)秀小組”的概念可知甲組一定是“優(yōu)秀小組”當(dāng)乙組得分依次為：6、8、8、10、10時，中位數(shù)為8，平均數(shù)為8.4，但乙組不符合“優(yōu)秀小組”的概念，當(dāng)丙組得分依次為：6、8、8、8、10時，丙：平均數(shù)為8，方差為，但丙組不符合“優(yōu)秀小組”的概念.故選：A.7．如圖，已知電路中有個開關(guān)，開關(guān)閉合的概率為，其它開關(guān)閉合的概率都是，且是相互獨立的，則燈亮的概率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)開關(guān)閉合為事件，，由所設(shè)事件表示事件燈不亮，利用概率乘法公式求其概率，再利用對立事件概率公式求事件燈亮的概率.【詳解】設(shè)開關(guān)閉合為事件，，則事件燈不亮可表示為，由已知，，∴

，∴

事件燈亮的概率，故選：A.8．已知正方體的棱長為3，點P在的內(nèi)部及其邊界上運動，且，則點P的軌跡長度為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、、，，連接BE交于O，證明平面得DO⊥OP，求出OP長度，確定O的位置，確定P的軌跡形狀，從而可求P的軌跡長度．【詳解】連接、、，則，，，∴⊥平面，∴，同理，∴平面．設(shè)，連接BE交于O，由△BOD∽△且BD=可知OD=，則，連接OP，則，∴，可得點P的軌跡為以點O為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部及其邊界上的部分，OB=2OE，E為中點，及△為等邊三角形可知O為△中心，OE=，如圖：，，，則∠OFE=∠=，∴OF∥，同理易知OG∥，故四邊形是菱形，則∴的長度為，故點P的軌跡長度為．故選：A．二、多選題9．PM2.5的監(jiān)測值是用來評價環(huán)境空氣質(zhì)量的指標(biāo)之一.劃分等級為：PM2.5日均值在以下，空氣質(zhì)量為一級：PM2.5日均值在，空氣質(zhì)量為二級：PM2.5日均值超過為超標(biāo).如圖是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（單位：）變化的折線圖，關(guān)于PM2.5日均值說法正確的是（

）A．這10天的日均值的80%分位數(shù)為60B．前5天的日均值的極差小于后5天的日均值的極差C．這10天的日均值的中位數(shù)為41D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差【答案】BD【分析】根據(jù)百分位數(shù)、極差、中位數(shù)、方差等知識確定正確答案.【詳解】個數(shù)據(jù)為：，，故80%分位數(shù)為，A選項錯誤.5天的日均值的極差為，后5天的日均值的極差為，B選項正確.中位數(shù)是，C選項錯誤.根據(jù)折線圖可知，前天數(shù)據(jù)波動性小于后天數(shù)據(jù)波動性，所以D選項正確.故選：BD10．下列命題：①對立事件一定是互斥事件；②若，為兩個隨機事件，則；③若事件，滿足，，，則，相互獨立；④若事件，滿足，則與是對立事件．其中錯誤的命題是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】BD【分析】利用互斥事件、對立事件、相互獨立事件的定義及概率的基本性質(zhì)依次判斷4個命題作答.【詳解】對于①：對立事件一定是互斥事件，①正確；對于②：若，為兩個隨機事件，則，②錯誤；對于③：由，得，相互獨立，③正確；對于④：記事件為拋一枚硬幣正面朝上，事件為擲一枚骰子出現(xiàn)偶數(shù)點，則，，滿足，顯然事件與可以同時發(fā)生，它們不是對立事件，④錯誤.故選：BD11．已知空間四點，，，，則下列說法正確的是（

）A．B．以，為鄰邊的平行四邊形的面積為C．點到直線的距離為D．，，，四點共面【答案】AC【分析】直接利用空間向量，向量的模，向量垂直的充要條件，共面向量基本定理，向量的夾角，判定A、B、C、D的結(jié)論即可．【詳解】空間四點，，，，則，，所以，，對于A：，故A正確；對于B：，所以，所以以，為鄰邊的平行四邊形的面積，故B錯誤；對于C：由于，，所以，故，所以點到直線的距離，故C正確；對于D：根據(jù)已知的條件求出：，，，假設(shè)共面，則存在實數(shù)和使得，所以，無解，故不共面，故D錯誤；故選：AC．12．如圖，在棱長為的正方體中，為側(cè)面的中心，是棱的中點，若點為線段上的動點，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．若，則平面截正方體所得截面的面積為C．與底面所成的角的取值范圍為D．若正方體繞旋轉(zhuǎn)角度后與其自身重合，則的最小值是【答案】BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得，利用空間向量法求得數(shù)量積，計算最小值判斷；由線面平行得線線平行確定截面的形狀、位置，從而可計算出截面面積判斷B；過作的垂線，垂足為，連接，則為所求角設(shè)，運用余弦定理求出，由，計算判斷C；結(jié)合正方體的對稱性，利用是正方體的外接球直徑判斷D．【詳解】以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由正方體棱長為，則，，，，.對于，，設(shè)，，所以，，，，所以時，，故A錯誤；對于B，，則是上靠近的三等分點，，取上靠近的三等分點，則，.顯然與平面的法向量垂直，因此平面，所以截面與平面的交線與平行，作交于點，設(shè)，則，由，可得，解得，則與重合，因此取中點，易得，所以截面為，且為等腰梯形，，，，梯形的高為，截面面積為，故B正確；對于C，過作的垂線，垂足為，連接，則為所求角．設(shè)，則，由余弦定理知，.因為為線段上的動點，所以.當(dāng)時，.，當(dāng)時，，，所以，故，C正確；對于D，，，，，，，則，，同理.所以是平面的一個法向量，即平面，設(shè)垂足為，則，是正方體的外接球的直徑，因此正方體繞旋轉(zhuǎn)角度后與其自身重合，至少旋轉(zhuǎn)，故D正確．故選：BCD．三、填空題13．如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，則線段AC1的長度是．【答案】【分析】利用，即可求解．【詳解】，，，故答案為：．【點睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．14．已知向量是空間的一個基底，向量是空間的另一個基底，一向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為．【答案】【分析】設(shè)，可得，所以解出，，即可．【詳解】設(shè)；，解得：；在基底下的坐標(biāo)為：．故答案為：．15．祖沖之是我國南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家．他一生鉆研自然科學(xué)，其主要貢獻在數(shù)學(xué)、天文歷法和機械制造三方面，特別是在探索圓周率的精確度上，首次將“”精確到小數(shù)點后第七位，即＝3.…，在此基礎(chǔ)上，我們從“圓周率”第三到第八位有效數(shù)字中隨機取兩個數(shù)字a，b，則事件“”的概率為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，列出從4，1，5，9，2，6中任取兩個數(shù)字的所有結(jié)果，再求出兩個數(shù)字差的絕對值不小于5的個數(shù)即可作答.【詳解】依題意，“圓周率”第三到第八位有效數(shù)字分別是4，1，5，9，2，6，從中任取兩個數(shù)字a，b的不同結(jié)果是：(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，9)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，9)，(4，5)，(4，6)，(4，9)，(5，6)，(5，9)，(6，9)，共15種，它們等可能，事件“”記為M，它含有的結(jié)果有：(1，6)，(1，9)，(2，9)，(4，9)，共4種，于是得，所以事件“”的概率為.故答案為：16．設(shè)空間向量是一組單位正交基底，若空間向量滿足對任意的的最小值是2，則的最小值是．【答案】【分析】以方向為軸，垂直于方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得坐標(biāo)，由的表達式即可求得最小值.【詳解】以方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)則，當(dāng)時的最小值是，取則又因為是任意值，所以的最小值是.取則又因為是任意值，所以的最小值是.故答案為：.四、解答題17．已知，．(1)求與夾角的余弦值；(2)當(dāng)時，求實數(shù)k的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)空間向量夾角公式求得正確答案.（2）根據(jù)列方程，從而求得的值.【詳解】（1）.（2）由于，所以，所以，，解得或.18．袋中有6個大小相同顏色不全相同的小球，分別為黑球、黃球、綠球，從中任意取一球，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率是，試求：（1）從中任取一球，得到黑球．黃球．綠球的概率各是多少？（2）從中任取兩個球，得到的兩個球顏色不相同的概率是多少？【答案】（1）；（2）【分析】（1）從中任取一球，分別記得到黑球、黃球、綠球為事件，，，由于，，為互斥事件，列出方程組，由此能求出從中任取一球，得到黑球、黃球、綠球的概率．（2）黑球、黃球、綠球個數(shù)分別為2，1，3，得到的兩個球同色的可能有：兩個黑球只有1種情況，兩個綠球共3種情況，而從6個球中取出2個球的情況共有15種，由此能求出得到的兩個球顏色不相同的概率．【詳解】（1）解：從中任取一球，分別記得到黑球、黃球、綠球為事件，，，由于，，為互斥事件，根據(jù)已知得，解得，從中任取一球，得到黑球、黃球、綠球的概率分別是；（2）由（1）知黑球、黃球、綠球個數(shù)分別為2，1，3，得到的兩個球同色的可能有：兩個黑球只有1種情況，兩個綠球共3種情況，而從6個球中取出2個球的情況共有15種，所以所求概率為，則得到的兩個球顏色不相同的概率是．19．某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結(jié)果認知程度高的有20人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這20人的平均年齡和第80百分位數(shù)；(2)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，求這20人中35~45歲所有人的年齡的方差.【答案】(1)32.25，第80百分位數(shù)為37.5(2)10【分析】（1）直接根據(jù)頻率分布直方圖計算平均數(shù)和百分位數(shù)；（2）利用分層抽樣得第四組和第五組分別抽取人和人，進而設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，進而根據(jù)方差公式，代入計算即可得答案.【詳解】（1）設(shè)這20人的平均年齡為，則.設(shè)第80百分位數(shù)為，由，解得.（2）由頻率分布直方圖得各組人數(shù)之比為，故各組中采用分層隨機抽樣的方法抽取20人，第四組和第五組分別抽取人和人，設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計這人中年齡在35~45歲的所有人的年齡方差約為10.20．已知函數(shù)．（1）若，且，求的值；（2）在銳角中，角，，所對的邊分別是，，，若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）化簡解析式，由得到，從而求得，進而求得.（2）由求得，利用正弦定理化簡，通過的取值范圍，求得的取值范圍.【詳解】（1）因為，由，得，因為，所以，所以，所以．（2）由，因為，所以，所以，即．由正弦定理，可得，．因為是銳角三角形，所以，即．所以．由，得，所以．21．如圖，在等腰直角三角形中，，，，，分別是，上的點，且，，分別為，的中點，現(xiàn)將沿折起，得到四棱錐，連結(jié)．(1)證明：平面；(2)在翻折的過程中，當(dāng)時，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接，，利用面面平行的判定證明平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)即可證明；（2）以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)平面的法向量，利用面面角的空間向量求