2023-2024學(xué)年安徽省蕪湖二中高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合，集合，則()

A.B.C.D.

2.命題“，使”的否定形式是()

A.“，使”B.“，使”

C.“，使”D.“，使”

3.已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)()

A.B.C.D.

4.下列各組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是()

A.B.

C.D.

5.已知函數(shù)，則的圖象大致為()

A.B.

C.D.

6.若，則()

A.B.C.D.

7.年之間，受益于基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)對(duì)光纖產(chǎn)品的需求，以及個(gè)人計(jì)算機(jī)及智能手機(jī)的下一代規(guī)格升級(jí)，電動(dòng)汽車及物聯(lián)網(wǎng)等新機(jī)遇，連接器行業(yè)發(fā)展較快年全球連接器營(yíng)收情況如圖所示，根據(jù)折線圖下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()

每年的營(yíng)收額逐年增長(zhǎng)；

營(yíng)收額增長(zhǎng)最快的一年為年；

年的營(yíng)收額增長(zhǎng)率約為；

年每年的營(yíng)收額相對(duì)于年每年的營(yíng)收額，變化比較平穩(wěn)．

A.B.C.D.

8.一個(gè)圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個(gè)球的表面積相等，那么這個(gè)圓柱的體積與這個(gè)球的體積之比為()

A.：B.：C.：D.：

二、多選題（本大題共4小題，共12.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知，，且，則下列結(jié)論正確的是()

A.B.C.D.

10.如圖，已知點(diǎn)為正六邊形的中心，下列結(jié)論中正確的是()

A.

B.

C.

D.

11.如圖，在正方體中，以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是()

A.平面

B.與平面相交

C.平面

D.平面平面

12.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

B.函數(shù)的圖象最小正周期為

C.函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增

D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

三、填空題（本大題共4小題，共12.0分）

13.函數(shù)的定義域是．

14.已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是______；

15.從分別寫有，，，，的五張卡片中，任取兩張，這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值等于的概率為______．

16.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式______；將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼目v坐標(biāo)不變得到函數(shù)的圖象，則______．

四、解答題（本大題共5小題，共52.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知函數(shù)，．

判定函數(shù)在的單調(diào)性，并用定義證明；

若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

18.本小題分

某居民小區(qū)為了提高小區(qū)居民的讀書興趣，特舉辦讀書活動(dòng)，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)讀書者進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天中名讀書者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成段：，，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示．

估計(jì)在這名讀書者中年齡分布在區(qū)間上的人數(shù)；

求這名讀書者年齡的平均數(shù)和中位數(shù)；

從年齡在區(qū)間上的讀書者中任選兩名，求這兩名讀書者年齡在區(qū)間上的人數(shù)恰為的概率．

19.本小題分

在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，設(shè)的面積為，若

求的值；

若，，求的值．

20.本小題分

已知向量，滿足，，

求關(guān)于的解析式；

求向量與夾角的最大值；

若且方向相同，試求的值．

21.本小題分

如圖，在四棱柱中，底面為菱形，平面，與交于點(diǎn)，，，．

Ⅰ證明：平面平面；

Ⅱ求二面角的大?。?/p>

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，，

．

故選：．

可以求出集合，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．

本題考查了描述法、區(qū)間的定義，分式不等式的解法，交集的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】【分析】

根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題寫出結(jié)果即可．

本題考查存在量詞命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．

【解答】

解：由存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，

得命題“，使”的否定形式為：，使．

故選：．

3.【答案】

【解析】解：，

．

故選：．

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋?/p>

定義域不同，兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；

對(duì)于選項(xiàng)B：定義域?yàn)椋亩x域?yàn)椋?/p>

定義域不同，兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；

對(duì)于選項(xiàng)C：的定義域?yàn)?，定義域?yàn)椋?/p>

定義域不同，兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；

對(duì)于選項(xiàng)D：，的定義域均為，

對(duì)應(yīng)法則相同，故兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．

故選：．

判斷函數(shù)的三要素是否相同即可．

本題考查是否為同一函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的圖象判斷，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．

利用函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域排除，，通過函數(shù)的單調(diào)性排除，推出結(jié)果即可．

【解答】

解：令，則，

因?yàn)椋?/p>

由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，，

于是對(duì)任意的，有，

則，故排除、，

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故排除．

故選A．

6.【答案】

【解析】解：由，

則

．

故選：．

利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式，計(jì)算即可．

本題考查了誘導(dǎo)公式和二倍角公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：年，營(yíng)收額減少，故錯(cuò)誤；

由折線圖可知營(yíng)收額增長(zhǎng)最快的一年為年，故正確；

，故正確；

經(jīng)過計(jì)算，得年每年的營(yíng)收額相對(duì)于年每年的營(yíng)收額，變化比較平穩(wěn)，故正確．

即正確，

故選：．

根據(jù)折線圖信息逐個(gè)判定各個(gè)選項(xiàng)即可．

本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】【分析】

本題給出圓柱的側(cè)面積與一個(gè)球的表面積相等，求它們的體積比．著重考查了圓柱側(cè)面積和體積公式、球的表面積和體積公式，屬于中檔題．

根據(jù)題意，設(shè)圓柱的底面半徑為，利用圓柱側(cè)面積公式與球的表面積公式建立關(guān)系式，算出球的半徑，再利用圓柱與球的體積公式加以計(jì)算，可得所求體積之比．

【解答】

解：設(shè)圓柱的底面半徑為，軸截面正方形邊長(zhǎng)，則．

可得圓柱的側(cè)面積．

再設(shè)與圓柱側(cè)面積相等的球半徑為，

則球的表面積，解得，

因此圓柱的體積為，

球的體積為，

因此圓柱的體積與球的體積之比為．

故選：．

9.【答案】

【解析】【分析】

本題考查不等關(guān)系與不等式，著重考查基本不等式的應(yīng)用，考查靈活解決問題的能力，屬于中檔題．

，，，由基本不等式，可得，可判斷；用“”的代換，可得利用基本不等式可判斷；由基本不等式可以判斷；由重要不等式變形，，，可以判斷．

【解答】

解：，，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，即A錯(cuò)誤；

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，B正確；

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故C錯(cuò)誤；

，，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故D正確．

故選：．

10.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了平面向量的數(shù)量積，平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

由平面向量數(shù)量積及平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合正六邊形的性質(zhì)，逐一判斷即可得解．

【解答】

解：對(duì)于選項(xiàng)A，由向量加法的平行四邊形法則可得：，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B，由向量數(shù)量積的運(yùn)算可得：，即選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，，即選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D，由向量加法的平行四邊形法則可得：，，又，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

故選BC．

11.【答案】

【解析】解：對(duì)于，因?yàn)槠矫嫫矫?，而平面，故D與平面沒有公共點(diǎn)，所以平面，所以A正確；

對(duì)于，因?yàn)椋云矫?，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于，只有，而與平面內(nèi)其他直線不垂直，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于，在正方體中，易得平面，而平面，所以平面平面，所以D正確；

故選：．

根據(jù)面面平行的定義可判斷；根據(jù)，可知平面，由此可判斷；根據(jù)線面垂直的定義和判定定理可判斷；根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷．

本題考查了空間中直線與平面、平面與平面的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

12.【答案】

【解析】解：函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，

得到函數(shù)的圖象，

當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A正確．

函數(shù)的最小正周期為，故錯(cuò)誤．

由于函數(shù)在一個(gè)周期為單調(diào)遞增，故正確．

對(duì)于正切型函數(shù)不存在對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤．

故選：．

首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和正切型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正切型函數(shù)的性質(zhì)及的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．

13.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查函數(shù)定義域的求解，根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式組，解不等式即可．

【解答】

解：要使函數(shù)有意義，則，

得，

即，

即函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

故答案為：．

14.【答案】

【解析】解：與的夾角為鈍角；

，且不共線；

；

且；

的取值范圍是．

故答案為：．

根據(jù)的夾角為鈍角即可得出：，解出的范圍即可．

考查向量數(shù)量積的計(jì)算公式，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，平行向量的坐標(biāo)關(guān)系．

15.【答案】

【解析】解：從分別寫有，，，，的五張卡片中，任取兩張，

基本事件總數(shù)，

這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值等于包含的基本事件有：

，，，，共種情況，

這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值等于的概率為．

故答案為：．

基本事件總數(shù)，利用列舉法求出這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值等于包含的基本事件有種情況，由此能求出這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值等于的概率．

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：設(shè)函數(shù)的最小正周期為，

由函數(shù)圖象可得，解得，可得，

可得函數(shù)的解析式，

因?yàn)楹瘮?shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼目v坐標(biāo)不變得到函數(shù)的圖象，

則，

因?yàn)椋?/p>

所以．

故答案為：；．

由函數(shù)圖象可得最小正周期，利用周期公式可求，即可求得函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的圖象變換可求，利用正弦函數(shù)的周期性可得，可求的值．

本題主要考查了由的部分圖象確定其解析式，考查了函數(shù)的圖象變換以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

17.【答案】解：函數(shù)，即有，即，

則，在遞增．

證明：設(shè)，則，

由，可得，，所以，即

所以在遞增．

若在恒成立，即在恒成立，

設(shè)，，

由在遞增，可得，

所以，即的取值范圍是．

【解析】由條件求得的解析式，再由單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法和因式分解，可得結(jié)論；

由參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性，可得所求范圍．

本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，以及不等式恒成立問題解法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．

18.【答案】解：由頻率分布直方圖知，年齡在區(qū)間上的頻率為，

所以名讀書者中年齡分布在區(qū)間上的人數(shù)為；

名讀書者年齡的平均數(shù)為，

設(shè)名讀書者年齡的中位數(shù)為，則，

解得：，

即名讀書者年齡的中位數(shù)為歲；

由頻率分布直方圖知：年齡在區(qū)間上的讀書者有人，分別記為，，

年齡在區(qū)間上的讀書者有人，分別記為，，，，

從上述人中選出人，則有、，，，，，，，、，，，，，，，共種情況，

其中恰有人在的情況有，，，，，，，，共種情況，

所以恰有人在的概率．

【解析】先根據(jù)頻率分布直方圖求出頻率，再根據(jù)頻數(shù)的計(jì)算方法可得答案；

將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全加可得樣本的平均數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的定義可求得樣本的中位數(shù)；

計(jì)算出抽取的人中，位于的有人，記為，，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的有人，記為，，，，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解．

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題．

19.【答案】解：由題意得：即：，

整理可得：，

又．

所以，

所以：．

由，得，

又，，

則，

解得．

將，，，代入中，得：，

解得：．

【解析】由三角形的面積公式，余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解的值．

由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，根據(jù)三角形的面積公式可求的值，即可求解的值．

本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

20.【答案】解：，

；

，

；

即；

設(shè)向量與的夾角為，

則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；

所以：．

向量與夾角的最大值為：．

且方向相同，且，

；

．

【解析】利用其模長(zhǎng)相等即可整理得到關(guān)于的解析式；

求出夾角的余弦值，借助于余弦的單調(diào)性即可求解；

根據(jù)條件得到；再代入其數(shù)量積即可求解結(jié)論．

本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，向量夾角的余弦公式，基本不等式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，