壓電材料及及其本構(gòu)方程

壓電材料及及其本構(gòu)方程北京航空航天大學(xué)固體力學(xué)研究所趙壽根1壓電材料的正壓電效應(yīng)和逆壓電效應(yīng)

壓電效應(yīng)：某些電介質(zhì)在沿一定方向上受到外力的作用而變形時，其內(nèi)部會產(chǎn)生極化現(xiàn)象，同時在它的兩個相對表面上出現(xiàn)正負相反的電荷。當外力去掉后，它又會恢復(fù)到不帶電的狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為正壓電效應(yīng)。當作用力的方向改變時，電荷的極性也隨之改變。相反，當在電介質(zhì)的極化方向上施加電場，這些電介質(zhì)也會發(fā)生變形，電場去掉后，電介質(zhì)的變形隨之消失，這種現(xiàn)象稱為逆壓電效應(yīng)。因而壓電材料既能用作傳感器，又可以用作驅(qū)動元件。補充：壓電效應(yīng)產(chǎn)生的歷史

2006年是居里兄弟皮爾(P·Curie)與杰克斯(J·Curie)發(fā)現(xiàn)壓電效應(yīng)(piezoelectriceffect)的一百周年。一百多年前在杰克斯的實驗室發(fā)現(xiàn)了壓電性。起先，皮爾致力于焦電現(xiàn)象(pyroelectriceffect)與晶體對稱性關(guān)系的研究，后來兄弟倆卻發(fā)現(xiàn)，在某一類晶體中施以壓力會有電性產(chǎn)生。他們有系統(tǒng)的研究了施壓方向與電場強度間的關(guān)系，及預(yù)測某類晶體具有壓電效應(yīng)。壓電現(xiàn)象理論最早是李普曼(Lippmann)在研究熱力學(xué)原理時就已發(fā)現(xiàn)，后來在同一年，居里兄弟做實驗證明了這個理論，且建立了壓電性與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系。1894年，?？颂?W.Voigt)更嚴謹?shù)囟ǔ鼍w結(jié)構(gòu)與壓電性的關(guān)系，他發(fā)現(xiàn)32種晶類具有壓電效應(yīng)。此后壓電材料及其應(yīng)用吸引了很多學(xué)者進入該領(lǐng)域進行相應(yīng)的研究。補充：壓電效應(yīng)的歷史1917年，PaulLangevin第一個應(yīng)用了壓電效應(yīng)：超音波水下探測器，用來探測潛艇，這個潛艇探測器，主要是將一很薄的石英晶體包覆于兩片鐵板內(nèi)并粘結(jié)成一體，使其通電后能發(fā)出高頻聲音，再接收打到物體表面后回傳信號，以來回時間判斷其距離及位置。PierreCurie(1859-1906),NobelPrizeinPhysics,1903JacquesCurie(1856-1941)PaulLangévin(1872–1946)補充2：什么樣的材料具有壓電效應(yīng)第一類是無機壓電材料，分為壓電晶體和壓電陶瓷，壓電晶體一般是指壓電單晶體；壓電陶瓷則泛指壓電多晶體。壓電陶瓷是指用必要成份的原料進行混合、成型、高溫?zé)Y(jié)，由粉粒之間的固相反應(yīng)和燒結(jié)過程而獲得的微細晶粒無規(guī)則集合而成的多晶體。具有壓電性的陶瓷稱壓電陶瓷，實際上也是鐵電陶瓷。在這種陶瓷的晶粒之中存在鐵電疇，鐵電疇由自發(fā)極化方向反向平行的180疇和自發(fā)極化方向互相垂直的90疇組成，這些電疇在人工極化（施加強直流電場）條件下，自發(fā)極化依外電場方向充分排列并在撤消外電場后保持剩余極化強度，因此具有宏觀壓電性。如：鈦酸鋇BT、鋯鈦酸鉛PZT、改性鋯鈦酸鉛、偏鈮酸鉛、鈮酸鉛鋇鋰PBLN、改性鈦酸鉛PT等。這類材料的研制成功，促進了聲換能器，壓電傳感器的各種壓電器件性能的改善和提高。壓電晶體一般指壓電單晶體，是指按晶體空間點陣長程有序生長而成的晶體。這種晶體結(jié)構(gòu)無對稱中心，因此具有壓電性。如水晶（石英晶體）、鎵酸鋰、鍺酸鋰、鍺酸鈦以及鐵晶體管鈮酸鋰、鉭酸鋰等。第二類是有機壓電材料，又稱壓電聚合物，如偏聚氟乙烯（PVDF）（薄膜）及其它為代表的其他有機壓電（薄膜）材料。這類材料及其材質(zhì)柔韌，低密度，低阻抗和高壓電電壓常數(shù)(g)等優(yōu)點為世人矚目，且發(fā)展十分迅速，現(xiàn)在水聲超聲測量，壓力傳感，引燃引爆等方面獲得應(yīng)用。不足之處是壓電應(yīng)變常數(shù)（d）偏低，使之作為有源發(fā)射換能器受到很大的限制。第三類是復(fù)合壓電材料，這類材料是在有機聚合物基底材料中嵌入片狀、棒狀、桿狀、或粉末狀壓電材料構(gòu)成的。至今已在水聲、電聲、超聲、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。如果它制成水聲換能器，不僅具有高的靜水壓響應(yīng)速率，而且耐沖擊，不易受損。應(yīng)用例子1.1正壓電效應(yīng)正壓電效應(yīng)反映了壓電材料具有將機械能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿哪芰?。通過測量壓電元件上電荷的變化，相應(yīng)的就可以得到元件埋入處或粘貼處結(jié)構(gòu)的變形量。利用這個規(guī)律可以將壓電材料制成壓電傳感器。正壓電效應(yīng)中電位移和應(yīng)力之間的關(guān)系可以用以下張量表達式表示：D為電位移張量、d為壓電應(yīng)變常數(shù)、σ為應(yīng)力張量(1)-+F+-+-F+--+正壓電效應(yīng)示意圖正壓電效應(yīng)例子1正壓電效應(yīng)例子21.2逆壓電效應(yīng)逆壓電效應(yīng)反映了壓電材料具有將電能轉(zhuǎn)變?yōu)闄C械能的能力。利用逆壓電效應(yīng)可以將壓電材料制成驅(qū)動元件，將壓電材料埋入本體結(jié)構(gòu)中，可以用以改變結(jié)構(gòu)變形或結(jié)構(gòu)的應(yīng)力狀態(tài)。逆壓電效應(yīng)中應(yīng)變和電場強度之間的關(guān)系可以用以下張量表達式表示：S為應(yīng)變張量、dT為壓電應(yīng)變常數(shù)、E為電場強度(2)+-+-++--逆壓電效應(yīng)示意圖逆壓電效應(yīng)例子1逆壓電效應(yīng)例子22壓電方程

(1)對于一塊不受外界機械力作用的壓電材料施加一外電場，它的電行為可以用電位移和電場強度來描述：(3)用張量形式表示：上式中εij稱為介電常數(shù)，第一個下標表示電場位移方向；第二個下標表示電場強度分量的方向。對于已經(jīng)極化的壓電材料εij只有ε11=ε22和ε33

在上述情況下，也可以采用電應(yīng)變εi和電場強度E來描述它的電行為。(4)補充：電荷、電荷密度、電位移、電壓、電流、電場強度等物理量之間的關(guān)系(1)電荷

(2)電流

(3)電場強度

(4)電位移

用張量形式表示：(5)(6)

式中dij稱為壓電應(yīng)變常數(shù)，第一個下標表示電場方向，第二個下標表示應(yīng)變方向，數(shù)字1、2和3分別表示坐標軸x、y和z。極化后的壓電材料的壓電應(yīng)變常數(shù)只剩下三個d33、d31和d15,它的壓電應(yīng)變常數(shù)矩陣變?yōu)椋?7)(2)壓電材料的力學(xué)行為壓電材料的力學(xué)行為可以用應(yīng)變ε和應(yīng)力σ之間的關(guān)系表示：(8)用張量形式表示：式中Sij為柔度系數(shù)，應(yīng)變和應(yīng)力表示法與x、y和z坐標軸表示法對應(yīng)如下：(9)(10)(3)壓電材料的壓電方程(力電耦合行為)

由壓電材料的電行為和力行為疊加即可得到壓電材料的壓電方程：上式的物理意義為：壓電材料的應(yīng)變是由它所承受的應(yīng)力和電場兩部分影響疊加而組成的。第一項表示電場強度為零或為常數(shù)時應(yīng)力

對總體應(yīng)變的貢獻，第二項應(yīng)變的貢獻。表示電場對總體(11)同樣電位移Di也是由它所承受的應(yīng)力和電場兩部分影響疊加而組成：第一項是應(yīng)力對電位移的貢獻，第二項是應(yīng)力為零的情況下電場強度對電位移的貢獻其中表示應(yīng)力為零或常數(shù)時的介電常數(shù),單位為。

從而可以得到壓電材料的本構(gòu)方程(即壓電方程):(12)(13)3壓電方程的幾類邊界條件和幾種表達形式

壓電材料使用的目的和環(huán)境多種多樣，因而它所處的機械邊界條件和電學(xué)邊界條件也有多種形式。為了計算方便，在處理這些邊界條件時，往往需選擇適當?shù)淖宰兞亢鸵蜃兞勘硎緣弘姺匠?。壓電元件的機械邊界條件一般說來有兩種形式，即自由狀態(tài)和夾持狀態(tài)，同樣電學(xué)邊界條件也有兩種：電學(xué)開路和電學(xué)短路。機械邊界條件和電學(xué)邊界條件進行組合，可以得到四種不同類型的邊界條件。(1)對應(yīng)第一類邊界條件，取應(yīng)力和電場強度為自變量時，應(yīng)變和電位移為因變量，壓電方程表示為：

(14)(2)對應(yīng)第二類邊界條件，取應(yīng)變和電場強度為自變量時，應(yīng)力和電位移為因變量，壓電方程表示為：

(15)壓電應(yīng)力常數(shù)(3)對應(yīng)第三類邊界條件，取應(yīng)力和電場位移為自變量時，應(yīng)變和電位移為因變量，壓電方程表示為：

(16)壓電電壓常數(shù)介質(zhì)隔離率(4)對應(yīng)第四類邊界條件，取應(yīng)變和電場強度為自變量時，應(yīng)力和電位移為因變量壓電方程表示為：

(17)壓電勁度常數(shù)4壓電參數(shù)的物理意義及相互之間的關(guān)系

4.1壓電參數(shù)的物理意義(1)彈性常數(shù)彈性常數(shù)是反映彈性體的變形與作用力之間關(guān)系的參數(shù)。使物體的應(yīng)變改變一個單位時所需的應(yīng)力變化量稱為彈性剛度常數(shù)，對于壓電材料有兩個彈性剛度常數(shù)，分別為短路彈性剛度系數(shù)和開路彈性剛度系數(shù)，其單位為N/m2；而使應(yīng)力改變一個單位所引起的應(yīng)變變化量稱為彈性柔度常數(shù),對于壓電材料它同樣也有兩個彈性柔度常數(shù)，分別為短路彈性柔度系數(shù)和開路彈性柔度系數(shù)，其中上標E表示在常電場或零電場情況下所得到的參數(shù)，而上標D表示為在常電位移或零電位移情況下所得到的參數(shù)。根據(jù)以上定義有：(18)(2)介電常數(shù)

介電常數(shù)是描述電介質(zhì)介電特性的參數(shù)，包括介電常數(shù)和介質(zhì)隔離率

電場作用下，電介質(zhì)的電位移隨電場強度變化的參數(shù)，它包括自由介電常數(shù)。介電常數(shù)是表示在和夾持介電常數(shù)，其單位為F/m；介電隔離率是表示電介質(zhì)的電場強度隨電位移變化的參數(shù)，它也包括自由介電隔離率和夾持介電隔離率，其單位為m/F。根據(jù)以上定義有：(19)(3)壓電常數(shù)

壓電參數(shù)是反映壓電材料彈性特性和介電特性之間耦合關(guān)系的參數(shù)。它主要包括壓電應(yīng)變常數(shù)d，