相似三角形知識點(diǎn)和典型例題

...wd......wd......wd...相似三角形知識點(diǎn)及典型例題知識點(diǎn)歸納：1、三角形相似的判定方法〔1〕定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似?！?〕平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似?！?〕判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似?！?〕判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似?！?〕判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似。簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。〔6〕判定直角三角形相似的方法：①以上各種判定均適用。②如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。③直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。#直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：〔1〕〔AD〕2=BD·DC，〔2〕〔AB〕2=BD·BC，〔3〕〔AC〕2=CD·BC。注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。即〔AB〕2+〔AC〕2=〔BC〕2。典型例題：例1如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG‖AB，BG分別交AD，AC于E、F，求證：BE2＝EF·EG證明：如圖，連結(jié)EC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB，AD垂直平分BC∴BE＝EC，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG∥AB，∴∠G＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG＝∠CEF，∴△CEF∽△GEC，∴=∴EC2＝EG·EF，故EB2=EF·EG【解題技巧點(diǎn)撥】此題必須綜合運(yùn)用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)和相似三角形的基本圖形來得到證明．而其中利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得到BE=EC，把原來處在同一條直線上的三條線段BE，EF，EC轉(zhuǎn)換到相似三角形的基本圖形中是證明此題的關(guān)鍵。例2：如圖，AD是Rt△ABC斜BC上的高，E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長線相交于F，求證：=證法一：如圖，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝Rt∠，AD⊥BC，∴∠3＝∠C，又E是Rt△ADC的斜邊AC上的中點(diǎn)，∴ED=AC＝EC，∴∠2＝∠C，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴∠DFB＝∠AFD，∴△DFB∽△AFD，∴＝〔1〕又AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高，∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∴=〔2〕由〔1〕〔2〕兩式得=，故=證法二：過點(diǎn)A作AG∥EF交CB延長線于點(diǎn)G，則=〔1〕∵E是AC的中點(diǎn)，ED∥AC，∴D是GC的中點(diǎn)，又AD⊥GC，∴AD是線段GC的垂直平分線，∴AG＝AC〔2〕由〔1〕〔2〕兩式得：=，證畢?！窘忸}技巧點(diǎn)撥】此題證法中，通過連續(xù)兩次證明三角形相似，得到相應(yīng)的比例式，然后通過中間比“〞過渡，使問題得證，證法二中是運(yùn)用平行線分線段成比例定理的推論，三角形的中位線的判定，線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)使問題得證．一、如何證明三角形相似例1、如圖：點(diǎn)G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上,AG交BC、BD于點(diǎn)E、F，則△AGD∽∽。例2、△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分線，求證：△ABC∽△BCD例3：，如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)連結(jié)ED、AD，以BC為邊在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求證：△DBE∽△ABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點(diǎn)，連結(jié)AE、AF、AC，問圖中是否存在非全等的相似三角形請證明你的結(jié)論。二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE例6：：如圖，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，DM⊥BC于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)D。求證：〔1〕MA2=MDME；〔2〕例7：如圖△ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例8：：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點(diǎn)，且。求證：∠AEF=∠FBD例9、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線，求證：SQ∥AB，RP∥BC例10、A、C、E和B、F、D分別是∠O的兩邊上的點(diǎn)，且AB∥ED，BC∥FE，求證：AF∥CD例11、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，F(xiàn)G∥AC交AB于G，求證：FC=FG例12、Rt△ABC銳角C的平分線交AB于E，交斜邊上的高AD于O，過O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF課后作業(yè)一、填空題1.：在△ABC中，P是AB上一點(diǎn)，連結(jié)CP，當(dāng)滿足條件∠ACP=或∠APC=或AC2=時，△ACP∽△ABC．2.兩個相似三角形周長之比為4∶9，面積之和為291，則面積分別是。3.如圖，DEFG是Rt△ABC的內(nèi)接正方形，假設(shè)CF＝8，DG＝4，則BE＝。4．如圖，直角梯形ABCD中，AD‖BC，AD⊥CD，AC⊥AB，AD＝4，BC＝9，則AC＝。5．△ABC中，AB＝15，AC＝9，點(diǎn)D是AC上的點(diǎn)，且AD=3，E在AB上，△ADE與△ABC相似，則AE的長等于。6.如圖，在正方形網(wǎng)格上畫有梯形ABCD，則∠BDC的度數(shù)為。7.△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BC＝1，BD平分∠ABC交于D，則BD＝，AD＝，設(shè)AB＝x,則關(guān)于x的方程是.8．如圖，D是等邊△ABC的BC邊上一點(diǎn)，把△ABC向下折疊，折痕為MN，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，假設(shè)BD∶DC＝2∶3，則AM∶MN=。二、選擇題9.如圖，在正△ABC中，D、E分別在AC、AB上，且，AE=BE，則有〔〕A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD10．如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，∠DBC＝∠A，BC=，AC＝3，則CD的長為〔〕A.1 B. C.2 D.11．如圖，□ABCD中，G是BC延長線上一點(diǎn)，AG與BD交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，則圖中相似三角形共有〔〕A．3對 B．4對 C．5對 D．6對12．P是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，滿足這樣條件的直線共有〔〕A．1條 B.2條 C．3條 D．4條13．如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC=3，假設(shè)在AB上取一點(diǎn)P，使以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形和以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，這樣的P點(diǎn)有〔〕A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

三、解答以下各題14.如圖，長方形ABCD中，AB=5，BC＝10，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB作勻速運(yùn)動，1分鐘可以到達(dá)B點(diǎn)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿BC作勻速直線運(yùn)動，1分鐘可到C點(diǎn)，現(xiàn)在點(diǎn)P點(diǎn)Q同時分別從A點(diǎn)、B點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過多少時間，線段PQ恰與線段BD垂直

15．：如圖，正方形DEFG內(nèi)接于Rt△ABC，EF在斜邊BC上，EH⊥AB于H．求證：〔1〕△ADG≌△HED；〔2〕EF2＝BE·FC〔答案〕例1分析：關(guān)鍵在找“角相等〞，除條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2〔對頂角〕，由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。例2分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然∠C是公共角，而另一組相等的角則可以通過計(jì)算來求得。借助于計(jì)算也是一種常用的方法。證明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，則∠DBC=36°在△ABC和△BCD中，∠C為公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3分析：由條件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要證的△DBE和△ABC，有一對角相等，要證兩個三角形相似，或者再找一對角相等，或者找夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例。從條件中可看到△CBE∽△ABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。證明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴=即：=△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD,∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且=∴△DBE∽△ABC例4分析：此題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：如圖：稱為“平行線型〞的相似三角形(2)如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“相交線型〞的相似三角形。(3)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型〞的相似三角形。觀察此題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型〞的相似三角形，及△EAF與△ECA解：設(shè)AB=a，則BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=，在△EAF與△ECA中，∠AEF為公共角，且所以△EAF∽△ECA例5分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行線性質(zhì)進(jìn)展證明：證明：過D點(diǎn)作DK∥AB，交BC于K，∵DK∥AB，∴DF：FE=BK：BE又∵AD=BE，∴DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC即DF：FE=BC：AC，∴DFAC=BCFE例6證明：〔1〕∵∠BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，∴MA=MC，∠1=∠C，∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=900-∠B，∴∠1=∠D，∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴，∴MA2=MDME，〔2〕∵△MAE∽△MDA，∴，∴評注：命題1如圖，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=ADAC。命題2如圖，如果AB2=ADAC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。例7分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作觀察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“AE：ED〞的特征，作DG∥BA交CF于G，得△AEF∽△DEG，。與結(jié)論相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證。證明：過D點(diǎn)作DG∥AB交FC于G則△AEF∽△DEG?！财叫杏谌切我贿叺闹本€截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似〕〔1〕∵D為BC的中點(diǎn)，且DG∥BF∴G為FC的中點(diǎn)則DG為△CBF的中位線，〔2〕將〔2〕代入〔1〕得：例8分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對等角等方法來實(shí)現(xiàn)，此題要證的兩個角分別在兩個三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個角所在的三角形顯然不可能相似〔一個在直角三角形中，另一個在斜三角形中〕，所以證明此題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，證明：作FG⊥BD，垂足為G。設(shè)AB=AD=3k則BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=∵∠ADB=450，∠FGD=900∴∠DFG=450∴DG=FG=∴BG=∴又∠A=∠FGB=900∴△AEF∽△GBF∴∠AEF=∠FBD例9分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。要證明SQ∥AB，只需證明AR：AS=BR：DS。證明：在△ADS和△ARB中?！摺螪AR=∠RAB=∠DAB，∠DCP=∠PCB=∠ABC∴△ADS∽△ABR但△ADS≌△CBQ，∴DS=BQ，則，∴SQ∥AB，同理可證，RP∥BC例10分析：要證明AF∥CD，條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進(jìn)展正確的選擇。其實(shí)要證明AF∥CD，只要證明即可，因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。證明：∵AB∥ED，BC∥FE∴，∴兩式相乘可得：例11分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明FC=FG，首先要找出與FC、FG相關(guān)的比例