2022新高考高二數(shù)學解析版

期末復習卷7B

2.已知向量3=(cosa,sina),b=(cos(a+電,sin(a+切,則向一b|=()

A.1B.V3C.2D.V5

【解答】解:向量L=(COSQ,sina),b=(cos(a+§,sin(a+^)),

則Q—Z?=(cosa-cos(a+5),sina-sin(a+5)),

所以|a—b1=(cosa-cos(a+引)2+(sina-sin(a+,))2=2-2cos--=1；

故選：A.

4.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別是〃，b,c,設(shè)向量m=(〃，b),n=(sinB,

sinA),若771〃九，則△ABC為()

A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.無法確定

【解答】解：Vm/7n,AZ?sinB-asinA=O,/.Z>2-a2=0,解得b=a.

???△ABC為等腰三角形.

故選：C.

6.如圖，四面體A3CO中，AB,BC,3。兩兩垂直，BC=5O=2,點E是CQ的中點，若

直線AB與平面ACD所成角的正弦值為點則點B到平面AC。的距離()

【解答】解：如圖，四面體ABCD中，AB,BC,8。兩兩垂直，

以8為原點，BC為x軸，BD為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標系,

BC=B￡>=2,點E是C￡>的中點，

設(shè)8A=f,則A(0,0,f),B(0,0,0),C(2,0,0),D(0,2,0),

AB=(0,0,—),&=(-2,0,t),CD=C-2,2,0),

設(shè)平面AC。的法向量n=(x,y,z),

n-CA=-2x+tz=0iz->/I[2

則TT，取X=l,得a九=(L1,

n-CD=-2x+2y=0t

?.?直線AB與平面ACD所成角的正弦值為

TT

.\AB-n\21

=解得.=4,(.=-4,舍),

(-t)2.

T1T

平面ACQ的法向量Ti=(1,1,-),AB=(0,0,-4),

二點B到平面ACD的距離為：

TT

幽四=2=_4

3

iniJI-

故選：B.

>y

8.已知三棱錐P-ABC的高為1,底面△ABC為等邊三角形，?1=P8=PC,且尸，A,B,

C都在體積為丁的球。的表面上，則該三棱錐的底面△ABC的邊長為()

2aLr-

A.——B.V3C.3D.2b

3

327r4□327r

【解答】解：設(shè)球。的半徑為R,由球的體積為一可得，-兀/?3=一,解得R=2.

333

因為三棱錐P-ABC的高/?為1,所以球心。在三棱錐外.

如圖，設(shè)點。1為△ABC的外心，則0。1_L平面ABC.

在RtZXAOi。中，由40工=042-。。3且。Oi=R-〃=l,得AO1=遮.

因為△ABC為等邊三角形，所以401=|71B-sin60°=亭力B,

所以4B=取AO】=3.

故選：c.

10.已知函數(shù)f(x)=4sin(3X+(P)(其中4>0,3>0,|<p|<Tt)的部分圖象如圖所示，則

下列結(jié)論正確的是()

TC

A.函數(shù)f(x)的最小正周期為5

B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(一各0)對稱

C.函數(shù)f(x)在區(qū)間［一?芻上單調(diào)遞減

D.若/(看-a)=|,則sin4a-cos4a的值為—1

T2.7157TTC

【解答】解：由函數(shù)的圖象，得知：4=2,y=--=7*

43124

所以T=ir,

故3=2,

57r、

2x-^2+中=kn(Z€Z),

解得(p=/OT—詈(髭Z),

由于|(p|<n,,

所以，叩=1或一等，

故/(x)=2sin⑵+5)或/(x)=2sin⑵-系)(舍去，根據(jù)函數(shù)的圖象)；

故A錯誤；

當x=—金時，函數(shù)滿足/(x)—2sin(2A+時，/(—金)=。，故8正確；

當xe[―亨，芻時，滿足/1(X)—2sin(2x+為增函數(shù)，故C錯誤；

對于￡＞：若fG—a)=。，當/(x)=2sin(2x+著)時,2sing—2a+看)=得，

整理得：2cos2a=塔，所以cos2a=5.

sin4a-cos4a=(sin2a+cos2a)(sin2a—cos2a)=一百，故。正確.

故選：BD.

14.在我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中把底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱

稱為塹堵.如圖，現(xiàn)有一塹堵ABC-AiBiCi,AB=BC=V2,AAi=V5,則線段A。的

長度為3；點M在棱BBi上運動，則△AM。的周長的最小值為」+，H_.

【解答】解：由塹堵的定義可知AB_L8C,；.AC=NAB?+BC2=2,

：.AC\=JAA^+AC2=3,

VAAMC1的周長I—MQ=AM+MC\+AC]=AM+MCi+3,

；.AM+MCi最小時，△AM。的周長最小，

將面ABB14與面8CGB1展開在一個平面內(nèi)，如圖：

連接AC1,與3劭的交點即為M,則此時AM+M。最小，此時A8+BC=2四,

所以AM+MCi=2+(V5)2=V13,

所以△AM。周長的最小值為3+V13.

故答案為：3,3+g.

16.在△ABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,乙4BC=120°,/A8C的平分線

交AC于點。，且8。=2,則a+9c的最小值為32

【解答】解：如圖所示，

11

MIJAABC的面積為Lcsinl20°--

22

2

即ac=2a+2c,

,口22

得一+-=1,

ac

222a-ia.

得o+9c=(a+9c)(一十一)=20++詈>20+2V36=32

ac

當且僅當,即3c=a時取等號;

故答案為:32.

AA

18.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為小兒c,已知sinCcos-=(2-cosC)sin-.

22

(1)若cosA=|,試判斷△ABC的形狀;

(2)求證：h+c=2a.

【解答】解：(1)??.cosA=2cos23T=|'可得cos2：A4-14

;一=一，sinI----一，sin4=曰

25255

A2^5AV5

I.解得:cos-=-----,sin-=一

2525

AA

VsinCcos-=(2-cosC)sin-,

22

2V5g,

-----sinC=-p-(2-cosC),可得2sinC=2-cosC,

5，

3

(2sinC)2=(2-cosC)2,整理可得：5sin2C-8sinC+3=0,解得sinC=l,或g,

???當sinC=l時，。為直角，三角形為直角三角形;

當sinC=|=cosA時，可得A+C=5,可得B為直角，三角形為直角三角形;

綜上，三角形為直角三角形.

A.A

(2)VsinCcos-=(2-cosC)sin-.

22

A.AA

.*.2sinCcos?-=2(2-cosC)sin-cos-,

222

sinC(1+cosA)=(2-cosC)sinA,即sinC+sinCcosA=2sinA-sirk4cosC,

/.sinC+(sinCcoSiA+sinAcosC)=sinC+sin(A+C)=sinC+sin8=2sinA,

.\b+c=2a,得證.

20.在三棱柱ABC-45］。中，底面△ABC是等腰三角形，且NA3C=90°,側(cè)面A531Al

是菱形，ZBAA\=60°,平面A3314_L平面8AC,點M是A41的中點.

(1)求證：CM；

(2)求直線3M與平面C31M所成角的正弦值.

【解答】解：(1)證明：以8為原點，BA為x軸，8c為y軸，過8作平面ABC的垂線

為z軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)A8=2,則B(0,0,0),Bi(-1,0,V3),C(0,2,0),

3V3

M(-,0,——),

22

T/—T3V3

BB]=(-1,0,y/3),CM=(]，-2,-),

--33

:.BB「CM=-|+|=0,

t3,^3t

(2)解：BM=(-,0,—),CBi=(-1,-2,國)，

22

設(shè)平面CBiM的法向量蔡=(x,y,z),

n-CB,——x—2y+V3z=0

取z=2,得1=(V3,2A/3,5),

n-CM=^x-2y+^z=0

設(shè)I直線與平面CBM所成角為0,

日癡|二4點二同

則sing

\n\-\BM\聞,65

Vio

二直線8M與平面CB1M所成角的正弦值為行.

22.在四棱錐P-ABCQ中，側(cè)面B4D_L底面A8C￡),ABC。為直角梯形，BC//AD,ZADC

1

=90°,BC=CD=^AD=1,PA^PD,E,F為AD,PC的中點.

(I)求證：方〃平面BEF；

(II)若PC與48所成角為45°,求PE的長；

(III)在(II)的條件下，求二面角尸-BE-A的余弦值.

【解答】(I)證明：連接AC交BE于O,并連接EC,FO,

'JBC//AD,BC=^AD,E為A。中點，：.AE//BC,S.AE=BC.

四邊形ABCE為平行四邊形，則。為AC中點.

又尸為PC中點，，OF//PA."：。尸u平面BEF,以U平面BEF.二必〃平面BEF.

(II)解：'：PA=PD,E為A。中點，：.PE±AD.

;側(cè)面山。_L底面ABCD,側(cè)面力。。底面ABCD^AD,PEu平面PAD,