2022中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《二次函數(shù)綜合題》（解析版）

專(zhuān)題08二次函數(shù)綜合題(解析版)

專(zhuān)題詮釋?zhuān)憾魏瘮?shù)一直是中考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，常以壓軸題形式出現(xiàn)?？疾榈念?lèi)型有線段問(wèn)

題，面積問(wèn)題，角度問(wèn)題，存在性問(wèn)題及新定義型問(wèn)題等。

第一部分要由珂析+針對(duì)訓(xùn)然

類(lèi)型一線段問(wèn)題

典例1(2020秋?安慶期中)如圖，拋物線y=af+bx+4交x軸于“(-3,0),B(4,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接/C,BC.M為線段08上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)用作PMLx

軸，交拋物線于點(diǎn)P，交8C于點(diǎn)Q.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)過(guò)點(diǎn)尸作PN_L8C,垂足為點(diǎn)N.設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為加，0),請(qǐng)用含m的代數(shù)式

表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)機(jī)為何值時(shí)PN有最大值最大值是多少？

1

思路引領(lǐng)：(1)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)由PN=PQsin45。=字(一號(hào)/+gm)=—容一+竽ni即可求解.

彳旦19a—3b+4=0

解:(1)將/(-3,0),B(4,0)代入尸0?+以+4,Wtl6a4-4-4=O'

解之，得13.

[b=3

所以，拋物線的表達(dá)式為y=-#+上+4；

11

(2)由丁=一打2+"+4,得C(0,4).

將點(diǎn)8(4,0)、C(0,4)代入y=h+6,得｛：匕，=0,解之，得憶J

所以，直線8c的表達(dá)式為：y=-xH.

由M(m,0),得P(zn,—^m2++4),Q(m,-m+4).

:?PQ=一.病++4+m—4=一可一+

?：OB=OC,

工乙4BC=NOCB=45°.

AZPQN=ZBQM=45Q.

DMnn,ACO—荻r124、_/2?2般_5/2/9、22底

???PN=_PQsizi45=(一+可m)=—g-znzH—-m=—(m-2)H—-,

?<-f<0>

2V2

，當(dāng)，〃=2時(shí)，PN有最大值，最大值為一^―.

點(diǎn)睛：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、等

腰三角形的性質(zhì)等，有一定的綜合性，難度不大.

針對(duì)訓(xùn)練1

1.(2019?賀州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-1,0),且ON=OC

=408,拋物線y=nx2+bx+c(a^O)圖象經(jīng)過(guò)/,B,C三點(diǎn).

(1)求4C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求拋物線的解析式；

(3)若點(diǎn)P是直線NC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作POLNC于點(diǎn)。，當(dāng)尸。的值最

大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最大值.

思路引領(lǐng)：(1)OA=OC—4OB=4,即可求解；

(2)拋物線的表達(dá)式為:y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4),即可求解;

(3)PD=HPsinNPFD=(x-4-x2+3x+4,即可求解.

解：⑴OA=OC=4OB=4,

故點(diǎn)X、C的坐標(biāo)分別為(4,0)、(0,-4)；

(2)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x+1)(x-4)=a(/-3x-4),

即-4a=-4,解得：a=l,

故拋物線的表達(dá)式為：y=x2-3x-4：

(3)直線C4過(guò)點(diǎn)C,設(shè)其函數(shù)表達(dá)式為：y=kx-4,

將點(diǎn)力坐標(biāo)代入上式并解得：A=l，

故直線CA的表達(dá)式為：y=x-4,

過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H,

〃y軸，：.ZPHD=ZOCA=45°,

設(shè)點(diǎn)尸(x,?-3x-4),則點(diǎn)，(x,x-4),

PD=HPsmZPHD=號(hào)(x-4-x2+3x+4)=~^-x2+2>/2x,

?.?一孝<0,.?.尸。有最大值，當(dāng)工=2時(shí)?，其最大值為2vL

此時(shí)點(diǎn)P(2,-6).

點(diǎn)睛：本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形等，其中(3),

用函數(shù)關(guān)系表示尸。，是本題解題的關(guān)鍵.

類(lèi)型二面積問(wèn)題

典例2(吉林中考)如圖，拋物線y=(x-1)2+左與x軸相交于48兩點(diǎn)(點(diǎn)/在點(diǎn)8的

左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C(0,-3).尸為拋物線上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為，〃，且切>0.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P位于x軸下方時(shí)，求△/8P面積的最大值；

(3)設(shè)此拋物線在點(diǎn)C與點(diǎn)P之間部分(含點(diǎn)C和點(diǎn)產(chǎn))最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之

差為h.

①求〃關(guān)于機(jī)的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量機(jī)的取值范圍；

②當(dāng)/>=9時(shí)，直接寫(xiě)出△BC尸的面積.

思路引領(lǐng)：(1)將點(diǎn)C(0,-3)代入歹=(x-1)之+k即可；

(2)易求4(-1,0),B(3,0),拋物線頂點(diǎn)為(1,-4),當(dāng)尸位于拋物線頂點(diǎn)時(shí),

△45。的面積有最大值；

(3))①當(dāng)0＜加＜1時(shí)、h=-3-(加2-2m-3)=-加2+2加；當(dāng)1＜m＜2時(shí)，h=-3

-(-4)=1；當(dāng)加＞2時(shí)，h=m2-2m-3-(-4)=w2-2m+］；

②當(dāng)〃=9時(shí)若-加2+2用=9,此時(shí)A＜0,加無(wú)解；若〃?2-2加+1=9,則加=4,則尸(4,

ill

5),△8CP的面積=/8X4-/5Xl-/(4+1)X3=6；

解：(1)將點(diǎn)C(0,-3)代入y=(x-1)2+k,

得k=-4,

'.y=(x-1)2-4=7-2r-3；

(2)令y=0,x=-1或x=3,

：.A(-1,0),B(3,0),

：.AB=4：

拋物線頂點(diǎn)為(1,-4),

當(dāng)P位于拋物線頂點(diǎn)時(shí)，44BP的面積有最大值，

S=gx4x4=8；

(3)①當(dāng)0＜加＜1時(shí)，h=-3-(m2-2m-3)=-m2+2m；

當(dāng)lWmW2時(shí)，h=-3-(-4)=1：

當(dāng)"?＞2時(shí)，h=m2-2m-3-(-4)=m2-2w+l：

②當(dāng)h=9時(shí)

若-，M+2用=%此時(shí)AVO,7M無(wú)解；

若tn2-2m+l=9.則m=4,

：.P(4,5),

,:B(3,0),C(0,-3),

.?.△8"的面積=2x8X4-；x5Xl-ax(4+l)X3=6；

點(diǎn)睛：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，是二次函數(shù)綜合題；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì),

數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

針對(duì)訓(xùn)練2

2.(2021?百色)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/：尸一分+2與x軸、〉軸分別交于/、C兩點(diǎn),

點(diǎn)8(4,2)關(guān)于直線/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)E,連接EC交x軸于點(diǎn)。.

(1)求證：AD=CD；

(2)求經(jīng)過(guò)8、。、。三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(3)當(dāng)X>0時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)P,使S"BC=若存在，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

若不存在，說(shuō)明理由.

思路引領(lǐng)：(1)求出4、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得四邊形O/8C是矩形，貝IJO/〃8C,NBCA

=ZOAC,由對(duì)稱(chēng)可得等量代換得等角對(duì)等邊即可

得出/O=CD；

(2)設(shè)0D=m,由對(duì)稱(chēng)可得CE=BC=4,4E=AB=OC=2,由(1)得CD=AD=4

-m,在RtZ\OC〃中，根據(jù)勾股定理可得〃?=|,可得。的坐標(biāo)，再由8、C、。三點(diǎn)的

坐標(biāo)通過(guò)待定系數(shù)法即可求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑶過(guò)點(diǎn)E作屈kLx軸于由Sk4E0=可得設(shè)8c

中8c邊上的高為〃，由SMBC=|SME可得〃=2,則點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為0或4,分別將y

=0和)，=4代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式即可求解.

(1)證明：???尸一營(yíng)+2與x軸、.軸分別交于4、C兩點(diǎn)，

：.A(4,0),C(0,2),

由對(duì)稱(chēng)得/NACB,

*：B(4,2),

四邊形O/2C是矩形，

：.0A//BC,：.ZBCA=ZOAC,

AZACD=ZOACf：.AD=CD；

(2)解：設(shè)由對(duì)稱(chēng)可得CE=8C=4,AE=AB=OC=2,NAED=NB=90°,

.\CD=AD=4-m,

在RtZXOCO中，oJ+OCZnCZ^,

/./?72+22=(4-m)2,

33

,\fn=5,:.D(一,0),

22

設(shè)經(jīng)過(guò)8、C、。三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=?x2+bx+c,

3

把8(4,2),C(0,2),D(-,0)代入得：

2

c=2

16a+4b+c=2,

言a+,b+c—0

{42

8

a=15

解得:,32.

h=-i5

c=2

.??經(jīng)過(guò)8,C,。三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：夕=裊2_1|什2；

(3)解：存在，

-,■SAAED=^AD-EM,

X2X5=4X(4-^)EM,：.EM=

22225

設(shè)XPBC中8。邊上的高為h,

5511

*：S八PBC=QSAOAE，*e--x二OA?EM=；BC，h,

5161

4

-X-XX-=-X

32524/7

VC(0,2),B(4,2),

???點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為0或4,

①y=0時(shí),

解得:

②y=4時(shí)，一x2-=4,

151b

解得：X3=生要，3=生蘿(舍去)，

354+vyi

存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(二，0)或(二，0)或(------，4).

222

點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法，矩形的性質(zhì)、

對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用

待定系數(shù)法求出過(guò)8、C,。三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)

題，屬于中考?jí)狠S題.

類(lèi)型三存在性問(wèn)題

3

典例3(2020?東麗區(qū)一模)如圖，拋物線經(jīng)過(guò)/(-1,0),B(3,0),C(0,-)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)P,使以+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)M使以C,M,N四點(diǎn)構(gòu)成

的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

B\x

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

(2)因?yàn)辄c(diǎn)Z關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,0),連接8c交對(duì)稱(chēng)軸直線于點(diǎn)尸,

求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(3)分點(diǎn)N在x軸下方或上方兩種情況進(jìn)行討論.

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=/+6x+c(〃W0),

3

,：A(-1,0),B(5,0),C(0,-)三點(diǎn)在拋物線上，

1

a—b+c=0a.--

.2

9a+3b+c=0b.1

解得3

c.

=lc-

k2

拋物線的解析式為：、=一＞2+尢+京

(2)?.?拋物線的解析式為y=-#+x+|,

其對(duì)稱(chēng)軸為直線：%=-^-=——」=L

2a2x(-1)

連接8C,設(shè)直線8c的解析式為(左中0),

3

*：B(3,0),C(0,-),

2

(3k+b=0ffc=-5

A.3解得｛J.

Ifb=f.

直線BC的解析式為y=-1x+|.

1Q

當(dāng)x=l時(shí)，y=~2+2=

：.P(1,1)；

(3)存在.如圖2所示.

①當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，

3

?.?拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,C(0,

3

'.N\(2,—)；

2

②當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，

如圖，過(guò)點(diǎn)M作N1DA.X軸于點(diǎn)D,

：.AANiDq4MleO.

：.NiD=OC=^即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一宗

-32+工+|=—1,解得X=1+迎或X=\一巾,

QO

:.Ni(1+V7,N3(1-V7,-1).

3oo

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,-),(1+V7,(1-V7,

點(diǎn)睛：本題考查的是二次函數(shù)綜合知識(shí)，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的

解析式、平行四邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識(shí)，在解答(3)時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討

論.

針對(duì)訓(xùn)練3

3.(2021?巴中)已知拋物線y=a7+6x+c與x軸交于Z(-2,0)、B(6,0)兩點(diǎn)，與〉

軸交于點(diǎn)C(0，-3).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

PM

(2)點(diǎn)尸在直線8C下方的拋物線上，連接NP交3。于點(diǎn)當(dāng)二7；最大時(shí)，求點(diǎn)尸的

AM

PM

坐標(biāo)及二77的最大值；

(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線/,在/上是否存在點(diǎn)。，使是直角

三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路引領(lǐng)：(1)將/(-2,0)^B(6,0)^C(0,-3)代入y—ax^+6x+c即可求解析

式；

(2)過(guò)點(diǎn)Z作軸交直線于點(diǎn)￡過(guò)P作尸凡Lx軸交直線于點(diǎn)凡由Pb

MPPFPF

//AE,可得777=77，則求大的最大值即可；

AMAEAE

(3)分三種情況討論：當(dāng)NC8O=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)8作GHJ_x軸，過(guò)點(diǎn)。作。G_Ly軸，

DG與GH交于點(diǎn)、G,過(guò)點(diǎn)。作C"_Ly軸,C"與G"交于點(diǎn)〃，可證明△OBGsAgCH,

求出。（3,6）；當(dāng)N8CZ）=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作。軸交于點(diǎn)K,可證明△OBCs4

KCD,求出。（3,-9）；當(dāng)N8DC=9O°時(shí)，線段8C的中點(diǎn)7（3,—少，設(shè)。（3,加），

13V53Q./qQ

由。7=白8。，可求。（3,——一）或。（3,一竽一2）.

22222

解：（1）將點(diǎn)4（-2,0）、B（6,0）、C（0,-3）代入y=/+fec+c,

（4a-2b+c=0fa=i

得］36a+6b+c=0,解得｛匕=f

（c=-3UZ-3

??.尸不1丫2~X-23；

（2）如圖1,過(guò)點(diǎn)4作4軸交直線BC于點(diǎn)、E,過(guò)產(chǎn)作PFLx軸交直線8。于點(diǎn)R

MPPF

:.PF//AE

9AM~AE

設(shè)直線BC的解析式為y=fcr+d,

.(6k+d=0.ffc=i

，，，

.(=—3ld=_3

.12

.?尸-3,

設(shè)尸"，Jr2-r-3),則尸(/,*-3),

I1o13

PF=~3-4，+f+3=一下9+2^?

'：A(-2,0),：.E(-2,-4),

：.AE=4,

...小=竺=至受=_4+*=4”3)

9

AMAE41681616f

MP9

：?當(dāng)z=3時(shí)，"7二有最大值77，

AM16

：.P（3,-苧）；

（3）VP（3,-苧），。點(diǎn)在/上,

如圖2,當(dāng)/。8。=90°時(shí)，

過(guò)點(diǎn)8作G，_Lx軸，過(guò)點(diǎn)。作。G_Ly軸，OG與GH交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作C〃J_y軸,

CH與GH交于點(diǎn)//,

ZDBG+ZGDB=90°，NDBG+NCBH=90",

:.NGDB=/CBH,

：.△DBGS^BCH,

DG_BG3BG

即一=--

BH-CH36

:.BG=6,

：.D(3,6)；

如圖3,當(dāng)NBCD=900時(shí)，

過(guò)點(diǎn)D作DK±y軸交于點(diǎn)K,

?：NKCD^NOCB=90°,NKCD+NCDK=9Q。,

：.ZCDK=ZOCB,

:AOBCSAKCD,

OBOC_63

/.—=,即—=一,

KCKDKC3

:?KC=6,

：.D(3,-9)；

如圖4當(dāng)NBDC=90。時(shí)，

線段BC的中點(diǎn)7(3,-|),BC=3后

設(shè)。(3,%),

'：DT=^BC,二|陽(yáng)+||=苧，

.3V53T3V53

>>/M=_2--之或"?=--r~2,

3y/53-3753

:?D(3,——)或。(3,?5)；

2222

綜上所述：ABC。是直角三角形時(shí)，。點(diǎn)坐標(biāo)為(3,6)或(3,-9)或(3,-竽-力或

點(diǎn)睛：本題考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)造平行線將一

AM

的最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求竺的最大值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

AE

類(lèi)型四角度問(wèn)題

13.(崇川區(qū)模擬)如圖，拋物線卜=??+版+，交x軸于O(0,0),A(8,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)

(1)直接寫(xiě)出拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)C是拋物線上異于原點(diǎn)。的一點(diǎn)，且滿足28c2=0貂+20c2,試判斷△os。

的形狀，并說(shuō)明理由.

(3)在(2)的條件下，若拋物線上存在一點(diǎn)D,使得NOCD=N/OC-NOCA,求點(diǎn)

D的坐標(biāo).

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)拋物線卜=4：+6/。交x軸于。(0,0),A(8,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)8

的縱坐標(biāo)為4,根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式：

(2)設(shè)C(x,y),由勾股定理得點(diǎn)C(12,-12),則/4O8=NNOC=45°,ZBOC

=90°,因此△OBC是直角三角形；

(3)作軸于E,根據(jù)三角函數(shù)可得直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)D./\OBC

中，tanN0C8=^^=g可得直線上方的點(diǎn)。即為點(diǎn)8(4,4),由點(diǎn)8關(guān)于點(diǎn)。的

12v2$

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)〃(-4,-4),且O8_LOC,可得NOCB=NOCB,,將直線8c解析式為尸一方

-6代入拋物線y=—/M+2x,可得點(diǎn)。的坐標(biāo).

解：(1)..?拋物線ynaW+bx+c交x軸于O(0,0),A(8,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)8的縱坐標(biāo)

為4,

C=0(Q=一;

64a+8b+c=0,解得，—2,

16a+4b+c=0(c=0

故拋物線的解析式是y=-1x2+2x；

(2)△OBC是直角三角形.

如圖1,設(shè)C(x,y),

由勾股定理得：OB2=42+42,OC2=x2+y2?BC2=(.x-4)2+(y-4)2,

?.,2802=0/2+20c2,

二化簡(jiǎn)得x=-y,

代入產(chǎn)—^x2+2x,

解得x=12,y=-12,

即點(diǎn)C(12,-12),

則408=400=45°,Z5OC=90°,

因此△OBC是宜角三角形.

1

(3)如圖2,作CEJ_x軸于E,則tan//CE=w.

VZAOC^ZOCE=45°,

AZAOC-NOCA=NOCE-』OCA=NACE,

,/Z0CD=NAOC-ZOCA,

：.tanZOCD=1,

只要經(jīng)過(guò)點(diǎn)c,在co的上方與下方各作一條直線，使所作直線與c。所成銳角的正切值

1

為9則直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)D

,/△O8C中tanZOCB==

12/2

直線上方的點(diǎn)。即為點(diǎn)8(4,4),

,/點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'(-4,-4),且OBLOC,

：.ZOCB=ZOCB'

?直線B'C解析式為了=-寺x-6

.??代入拋物線y=-Jx2+2x,

解得xi=-2,X2=1O(舍去),

當(dāng)x=-2時(shí)，y=-5.

則。(-2,-5).

點(diǎn)睛：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，涉及運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線解析式、直角三

角形的判定、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用圖形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

針對(duì)訓(xùn)練4

(2021?棗莊)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-熱+3與x軸交于點(diǎn)4,與y軸交于

點(diǎn)B,拋物線y=^x2+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)A,頂點(diǎn)為點(diǎn)M.

(1)求拋物線的關(guān)系式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)E是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接￡8,E4當(dāng)△E/8的面積等于g時(shí)，

求E點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)將直線N3向下平移，得到過(guò)點(diǎn)〃的直線且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,取

點(diǎn)。(2,0),連接求證：ZADM-ZACM=45°.

思路引領(lǐng)：(1)用待定系數(shù)法即可求解；

1

=(2+3)xV5,由點(diǎn)。、河的坐標(biāo)得，DM=7(2-3)2+(0+3)2=V10,即可

求解.

解：(1)對(duì)于產(chǎn)-3葉3,令y=-%+3=0,解得x=6,令x=0,則y=3,

故點(diǎn)/、5的坐標(biāo)分別為(6,0)、(0,3),

;拋物線產(chǎn)條2+Ax+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故c=0,

將點(diǎn)”的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0=*36+68,解得〃=-2,

故拋物線的表達(dá)式為尸#-2x；

則拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=3,當(dāng)x=3時(shí)，y=#-2x=-3,

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,-3)；

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(K,jx2-2x),則點(diǎn)“(x,-1x+3),

111121

則△￡1"的面積=SAE//8+SAE/A4=2xE〃XOA=5x6X(-6+3-ix2+2x)=愛(ài),

7

解得x=i或萬(wàn)，

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,-|)或(1,—碧)；

(3)???直線48向下平移后過(guò)點(diǎn)M(3,-3),

故直線CAf的表達(dá)式為y=(x-3)-3=-%-*,

令夕=-/一2=0,解得x=-3,

故點(diǎn)C(-3,0)；

過(guò)點(diǎn)D作DHVCM于點(diǎn)H,

V直線CM的表達(dá)式為y=-1x-1故tanZAfCD=則sinNMCZ)=專(zhuān),

1

則(2+3)X=V5,

DH=CDsmZMCD=奔

由點(diǎn)O、M的坐標(biāo)得，DM=J(2_3)2+(0+3)2=V10,

則sin/M如鼠=磊=竽，

故N〃MZ)=45°=ZDMC=ZADM-ZACM=45°,

ZADM-ZACM=45°.

點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、面積的計(jì)

算等，其中（3）,確定N。歷4CM是本題解題的關(guān)鍵.

類(lèi)型五新定義問(wèn)題

典例5（2021?南通）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱(chēng)該點(diǎn)為這個(gè)

函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”.例如，點(diǎn)（1,1）是函數(shù)、=3+/的圖象的“等值點(diǎn)”.

（1）分別判斷函數(shù)y=x+2,y=7-x的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出”等

值點(diǎn)”的坐標(biāo)：如果不存在，說(shuō)明理由；

（2）設(shè)函數(shù)夕=3（x>0）,y=-x+6的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)Z,B,過(guò)點(diǎn)8作8c

_Lx軸，垂足為C.當(dāng)△ZBC的面積為3時(shí)，求6的值；

（3）若函數(shù)尸7-2（x》m）的圖象記為斯，將其沿直線x=〃?翻折后的圖象記為禮.當(dāng)

必，仍?xún)刹糠纸M成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，直接寫(xiě)出m的取值范圍.

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義建立方程求解即可得出答案；

（2）先根據(jù)“等值點(diǎn)”的定義求出函數(shù)y=|（x>0）的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”/（V3,

遮），同理求出8弓〃，/）,根據(jù)△ABC的面積為3可得］xjb|X|百一夕|=3,求解

即可；

（3）先求出函數(shù)y=7-2的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”（-1,-1）或（2,2）,再利用

翻折的性質(zhì)分類(lèi)討論即可.

解：(1)在y=x+2中，令x=x+2,得0=2不成立，

??.函數(shù)y=x+2的圖象上不存在“等值點(diǎn)”；

在歹=-一工中，4'X2-x=x,

解得：期=0,X2=2,

?,?函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”(0,0)或(2,2)；

(2)在函數(shù)尸|(x>0)中，令

解得：x=V3,

：.A(V3,V3),

在函數(shù)y=-x+b中，令x=~x+b,

111

解得：x=沖,:?B(~b9-b)9

1

???8C_Lx軸，：.C(-b,0),

2

：.BC=^b\,?.?△Z8C的面積為3,

當(dāng)6Vo時(shí)，h2-2y[3b-24=0,

解得b=-2V3,

當(dāng)0Wb<2VW，b2-2y[3b+24=0,

,:X=(-2V3)2-4X1X24=-84<0,

方程b2-2V3b+24=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

當(dāng)622代時(shí)，b2-2\[3b-24=0,

解得：b—4y/3,

綜上所述，b的值為-2次或4舊；

(3)令x=/-2,

解得：X\=~1>X2=2,

...函數(shù)y=7-2的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”(-1,-1)或(2,2),

①當(dāng)用<7時(shí)，W\,區(qū)兩部分組成的圖象上必有2個(gè)“等值點(diǎn)”(-1,-1)或(2,

2),

W\：y=7-2

檢：y=(x-2m)2-2(X</M),

令x=(x-2m)2-2,

整理得：--(4〃?+l)x+4/-2=0,

的圖象上不存在“等值點(diǎn)”,

???△<0,

???（4〃?+1）2-4（4/M-2）＜0,

???mV「一百9,

②當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，有3個(gè)“等值點(diǎn)”（-2,-2）、（-l,-1）.（2,2）,

③當(dāng)7＜加＜2時(shí)，W\,收兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”，

④當(dāng)m=2時(shí)，W\,收兩部分組成的圖象上恰有1個(gè)“等值點(diǎn)”（2,2）,

⑤當(dāng)機(jī)＞2時(shí)，W\,g兩部分組成的圖象上沒(méi)有“等值點(diǎn)”，

綜上所述，當(dāng)舊，伙兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，mV-得或-1V〃?＜

O

2.

點(diǎn)睛：本題考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)與新定義“等值點(diǎn)”綜合運(yùn)用，一

元二次方程根的判別式，翻折的性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，解題關(guān)鍵是理解并運(yùn)用新定義，

運(yùn)用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題.

針對(duì)訓(xùn)練5

5.（2021?長(zhǎng)春模擬）定義：形如y=|G|（G為用自變量表示的代數(shù)式）的函數(shù)叫做絕對(duì)值

函數(shù).

例如，函數(shù)尸產(chǎn)庫(kù)y=|--+入+3|都是絕對(duì)值函數(shù).

x(x>0)

絕對(duì)值函數(shù)本質(zhì)是分段函數(shù)，例如，可以將y=R寫(xiě)成分段函數(shù)的形式：y=

—%(%<0)

2

~Ox

備用圖

探索并解決下列問(wèn)題：

（1）將函數(shù)y=|x-1|寫(xiě)成分段函數(shù)的形式；

（2）如圖1,函數(shù)1|的圖象與x軸交于點(diǎn)“（1,0）,與函數(shù)y=停|的圖象交于8,

C兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)8作x軸的平行線分別交函數(shù)y=4|,y=[x-1|的圖象于。，E兩點(diǎn).求

證"BEs^CDE；

（3）已知函數(shù)yf-f+Zr+BI的圖象與J/軸交于F點(diǎn)，與x軸交于M,N兩點(diǎn)（點(diǎn)”在

點(diǎn)N的左邊），點(diǎn)P在函數(shù)^=|-$+2%+3]的圖象上（點(diǎn)尸與點(diǎn)尸不重合），軸，

垂足為H.若ZXPMH與/\MOF相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)即可得到函數(shù)>=)%-1|分段函數(shù)的形式；

(2)根據(jù)條件得各點(diǎn)坐標(biāo)為：B(3,2),C(-2,3),￡(-1,2),￡)(-3,2),根

據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到DE,AE,CE,再根據(jù)相似三角形的判定即可求解；

(x2-2x-3(x<-1)

(3)由題意得y=|-x2+2r+3]=(-%2+2x+3(-1Wx〈3),設(shè)P的橫坐標(biāo)為x,分△

(x2—2x—3(x>3)

PM*叢FMO,4PMHS叢MFO,APMHS叢MF,進(jìn)行討論可求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(X—l(x>1)

解：⑴y=|x-l|=[r+l(xvi)；

(2)?.?函數(shù)y=|x-”與函數(shù)y=|||的圖象交于8,C,過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線分別交函

數(shù)y=停1，-1]的圖象于。，E兩點(diǎn).

...根據(jù)條件得各點(diǎn)坐標(biāo)為：B(3,2),C(-2,3),E(-1,2),D(-3,2).

:.BE=3-(-1)=4,DE=-1-(-3)=2,AE=y[4+4=2&,CE=VTTT=V2,

BEAE

???在△4E5和△CED中，/AEB=/CED,—=—=2,

DECE

：.MMBSAPNA.

一,-、，1013811

(3)P的坐標(biāo)為(6,21),(一,一),(一，一).

3939

當(dāng)x=0時(shí)，>=|-/+2x+3|=3,：.F(0,3).

當(dāng)y=0時(shí)，|-/+2%+3|=0,Axi=-1,%2=3,：.M(-1,0),N(3,0).

(x2-2%-3(xV-1)

由題意得y=|-X2+2X+3|=<-x2+2x+3(-1<x<3),

(X2-2X-3(X>3)

設(shè)尸的橫坐標(biāo)為》,

當(dāng)x<-1時(shí)，由題意得P(x,7-2x-3),

…PHFOX2-2X-3

若叢PMHs叢FMO,—----=3,-------------=3.

MHMO-1-x

解得xi=-1(舍去)，X2=0(舍去).

PHMO1X2-2X-31

若APMHSAMFO,—=—=

MHFO3-1—x3

解得%1=—1(舍去)，％2=?(舍去)?

當(dāng)-l〈xV3時(shí)，由題意得尸(x,-7+2x+3),

,八PHMO1-X2+2%+31

右/\PMHsAMFO,==一,

MHFO3X+l3

解得亢1=-1（畬為,%2=Q-

811

...P的坐標(biāo)為號(hào)-）.

PHM0-X2+2X+3

若APMHsAMFO,==3,----------=3.

MHF0x+1

解得知=-1（舍去），X2=0（舍去）.

當(dāng)x>3時(shí)，由題意P（x,x2-2x-3）,

PHFOX2-2X-3

右叢PMHsAFMO,==3,--------=3.

MHMOx+l

解得Xl=-1（舍去），X2=6.

，。的坐標(biāo)為（6,21）.

PHMO1二一2比一3_1

若叢PMHS^MF,—=—=一,

MHFO3X4-1-3

解得=-1（舍去）,x2—3

1013

.?.P的坐標(biāo)為（77，—）.

39

點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)綜合題，兩點(diǎn)間的距離公式，相似三角形的判定與性質(zhì)，考

查了學(xué)生的閱讀理解能力與知識(shí)的遷移能力，弄清絕對(duì)值函數(shù)的定義，進(jìn)行分類(lèi)討論是

解題的關(guān)鍵.

第二部分專(zhuān)題理優(yōu)訓(xùn)練

1.（2020?成都模擬）已知，如圖，拋物線》=0?+瓜+。（aWO）的頂點(diǎn)為"（1,9）,經(jīng)過(guò)拋

物線上的兩點(diǎn)力（-3,-7）和8（3,加）的直線交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)C.

(2)在拋物線上4/兩點(diǎn)之間的部分(不包含4朋兩點(diǎn))，是否存在點(diǎn)。，使得

DAC=2S&DCM?若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)上下平移直線設(shè)平移后的直線與拋物線交于H,B'兩點(diǎn)(4在左邊，B'

在右邊)，且與y軸交于點(diǎn)P(0,〃)，若NHMB'=90°,求〃的值.

思路引領(lǐng)：(1)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x-1)2+9,將點(diǎn)/的坐標(biāo)代入上式并解得：

a=-1,即可求解；

(2)S&DAC=2SGDCM，則HN=2GH,即1-4-(34-7)=2(9-4-1+左)，即可求解；

(3)/G4'M=ZHMB'，故tan/GHM=tanZHMB'，即：一—=9-(2^+?)

9一(2%1+九)x2-l

而xi+x2=0,x]X2=n-8,"+”=2〃，y\y2=4n-32+n2,即可求解.

解：(1)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x-1)2+9,

將點(diǎn)工的坐標(biāo)代入上式并解得：a=-1,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-f+2x+8,

將點(diǎn)8坐標(biāo)代入上式并解得：m=5,

故點(diǎn)8(3,5)；

(2)過(guò)點(diǎn)A/、C、4分別作三條相互平移的平行線，分別交y軸于點(diǎn)G、H、N,直線/

與拋物線交于點(diǎn)D,

圖1

設(shè)直線機(jī)的表達(dá)式為：y=kx+t,將點(diǎn)”的坐標(biāo)代入上式并解得：f=9-七

故直線m的表達(dá)式為：y=kx+9-k,

當(dāng)x=0時(shí)，y—9-k,即點(diǎn)G（0,9-k）,

同理直線/的表達(dá)式為：y=fcr+l-k,故點(diǎn)，（0,1-k）,

同理直線〃的表達(dá)式為：y=kx+3k-7,故點(diǎn)N（34-7）,

SADAC=2S&DCM，則HN=2GH,

即1-A-（3八7）=2（9-4-1+左），

解得:k=-2,

故直線/的表達(dá)式為：y=-2x+3…②，

聯(lián)立①②并解得：x=5（舍去）或-1,

故點(diǎn)。（-1,5）；

（3）直線，8'的表達(dá)式為：y=2x+n,

設(shè)點(diǎn)/'、B'的坐標(biāo)分別為：（X”以）、（X2,”），

將拋物線與直線48'的表達(dá)式聯(lián)立并整理得：

x2+n-8=0.

故xi+x2=0,xm=n-8,

yi+”=2（xi+x2）+2n=2n,同理可得：y\y2=4n-32+?2,

過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線交過(guò)點(diǎn)H與y軸的平行線于點(diǎn)G,交過(guò)點(diǎn)8'與y軸的平行線

于點(diǎn)H,

MB'=90°,

AZGMA1+ZGA1M=90°,ZGMAf+ZMHB,=90°,

：.ZGAfM=NHMB',故tanNGHM=tanNHMB’,

1_%i9~~(2%2+m2

即：----------=-----------,而xi+%2=0,x\x2=n-8,y\+y2=2n,y\yi=4n-32+〃，

9一(2%i+n)x2-l

整理得：n2-13”+42=0,

解得：〃=6或7(舍去7),

故n=6.

點(diǎn)睛：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會(huì)

利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，

從而求出線段之間的關(guān)系.

2.(諸城市二模)如圖，RtZ\/5。的兩直角邊O/、08分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半

軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(0,4),拋物線y=|x2+bx+c

經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,且頂點(diǎn)在直線x=9上.

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若把△48。沿x軸向右平移得到△OCE,點(diǎn)/、B、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是。、C、E,

當(dāng)四邊形Z3CD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)。是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，連接8Z),已知在對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P使得△P8Z)的周長(zhǎng)最小，

求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

思路引領(lǐng)：（1）利用對(duì)稱(chēng)軸公式求出6的值，再利用8點(diǎn)坐標(biāo)得出c即可；

（2）利用菱形的性質(zhì)得出C,。點(diǎn)坐標(biāo)，再利用圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出答案；

（3）首先求出CD所在直線解析式，進(jìn)而軸對(duì)稱(chēng)得出尸點(diǎn)位置，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo).

解：⑴：拋物線產(chǎn)jf+bx+c經(jīng)過(guò)8（0,4）,

，。=4,

，??頂點(diǎn)在直線X=搟上，；?一/=搟，則----~2=

2X3

解得:6=-孚

???所求的函數(shù)關(guān)系式為：尸|/一坐+4；

（2）如圖所示：在RtZX/BO中，04=3,0B=4,：.AB=y/0A2+0B2=5,

?..四邊形N8CD是菱形，：.BC=CD=DA=AB=5,

???C、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5,4）、（2,0）,

當(dāng)x=5時(shí)，y=\x52-^x5+4=4,

當(dāng)x=2時(shí),jx22--yx2+4=0,

點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；

（3）由（2）可知，點(diǎn)8與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

設(shè)8與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)P,則P為所求的點(diǎn)，

設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=fcr+6,

則伴+b=4

hk+b=0

ffe=4

3

解得：8，

lh=~3

直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：

54582

當(dāng)

-時(shí)-X---=-

23233

點(diǎn)睛：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及勾股定理和菱形的性質(zhì)等知識(shí)，利用軸對(duì)稱(chēng)求

出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.

2.（2021?海安市模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=fcv+3與拋物線y=相

交于/（xi，與），B（X2,y2）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,連接/。，BO.

（1）求證：點(diǎn)（yi，"）在反比例函數(shù)y=*的圖象上；

（2）求/498的度數(shù)；

（3）過(guò)點(diǎn)/作軸，垂足為〃，連接C“，判斷C”，BO的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

思路引領(lǐng)：（1）聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)表達(dá)式并整理得：x2-3fcv-9=0,則xix2=

-9,即可求解；

9

（2）tan/4OH==一些=—9-=我=tan/O8N,進(jìn)