度量空間序列商及度量空間的k映象

度量空間序列商及度量空間的k映象

研究計(jì)量空間的內(nèi)部特征一直是一般散射的一個(gè)重要課題。眾所周知，完整的映射保持了測量空間，而（窄覆蓋）薄映射是完整映射的一個(gè)重要推廣。因此，國內(nèi)外許多設(shè)計(jì)師在測量空間的狹窄覆蓋和序列覆蓋方面做了大量工作，并取得了許多有趣的結(jié)果。由于k映射是一個(gè)與完整映射和（窄覆蓋）薄映射之間的重要映射，因此k-映射的內(nèi)部特征也受到國內(nèi)外投資者的廣泛關(guān)注。最近，劉川首次用點(diǎn)星網(wǎng)描繪了測量空間的k-映象。最近，李金正指出了測量空間k-映象的另一個(gè)特征，并在測量空間中討論了k-映象的序列覆蓋。正如李金正所說，k-空間的商業(yè)k-映象是完整的，序列商業(yè)映射是商業(yè)序列映射和商業(yè)映射的重要推廣。當(dāng)然，我們會(huì)考慮這么多的問題。問題1度量空間的序列商,k-象具有什么樣的內(nèi)在特征?另一方面,劉川在中曾用具有局部有限(緊有限)閉覆蓋列的點(diǎn)星網(wǎng)的k-空間及具有緊有限點(diǎn)星鄰域基的空間刻畫了度量空間,并提出下述問題.問題2具有緊有限覆蓋列的點(diǎn)星網(wǎng)的k-空間是否可度量化?對(duì)此問題,李進(jìn)金在中曾給出了一個(gè)具有緊有限覆蓋列的點(diǎn)星網(wǎng)的k-空間,但不可度量.因此,進(jìn)而我們會(huì)考慮這樣的問題.問題3具有局部有限覆蓋列的點(diǎn)星P-網(wǎng)的k-空間是否可度量化?本文我們針對(duì)上述問題,用點(diǎn)星sn-網(wǎng)(點(diǎn)星網(wǎng))刻畫了度量空間的序列商,k-映象,并利用這一結(jié)果證明了空間X是度量空間序列商,k-映象當(dāng)且僅當(dāng)X是度量空間的k-映象.此外,我們還證明了空間X是度量空間當(dāng)且僅當(dāng)X具有局部有限(緊有限)閉(k-閉)覆蓋列的點(diǎn)星弱鄰域網(wǎng),并利用林壽等關(guān)于g-度量空間的一個(gè)刻畫,說明這里“閉”(“k閉”)不能省略,從而對(duì)問題3給出了比較徹底的否定回答.這些工作進(jìn)一步完善了度量空間k-映象的理論,并深化了有關(guān)這方面已有的一些結(jié)果.在本文中,所有空間都假定是正則T1的,映射均指連續(xù)滿映射.N表示自然數(shù)集,設(shè)A是空間X的子集,U是X的子集族,ˉAAˉˉˉ表示A的閉包,st(x,U)=∪{U∈U:x∈U},st(A,U)=∪{U∈U:U∩A≠?}.{xn}表示第n項(xiàng)為xn的序列,空間X的子集列{Pn:n∈N}簡記為{Pn},類似地,集族列{Pn:n∈N}簡記為{Pn}.其它未給出定義的術(shù)語及記號(hào)均見.定義1,映射f:X→Y稱為序列商映射,如果對(duì)于Y中每一收斂序列L,存在X中收斂序列S,使得f(S)是L的子序列;f稱為k-映射,如果對(duì)于Y的每一緊子集K,f-1(K)是X的緊子集.定義2設(shè)空間X,x∈P?X.P稱為x處序列鄰域,如果X中任一收斂于x的序列{xn}終留于P,即存在k∈N,使得當(dāng)n>k時(shí),xn∈P.注1(1)X的子集P是x處序列鄰域當(dāng)且僅當(dāng)x∈P且X中任一收斂于x的序列{xn}共尾于P,即對(duì)每一k∈N,存在n>k,使得xn∈P.(2)有限個(gè)x處序列鄰域的交仍為x處序列鄰域.定義3設(shè)P=∪{Px:x∈X}是空間X的覆蓋.對(duì)每一x∈X,滿足(a)Px是x處網(wǎng),即x∈∩Px且任給開集U,x∈U,存在P∈Px,使得P?U;(b)若P1,P2∈Px,則存在P∈Px,使得P?P1∩P2.則(1)P稱為X的弱基,如果任給G?X,G是X的開集當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一x∈G存在P∈Px,使得P?G.此時(shí)Px稱為x處弱鄰域基;(2)P稱為X的sn-網(wǎng),如果對(duì)于每一x∈X,Px中任一元是x處序列鄰域.此時(shí)Px稱為x處sn-網(wǎng).定義4,設(shè)P是空間X的覆蓋.(1)P稱為X的cs-覆蓋,如果X中每一收斂序列終留于某一P∈P且x∈P;(2)P稱為X的cs*-覆蓋,如果X中每一收斂序列共尾于某一P∈P且x∈P;(3)P稱為X的k-閉覆蓋,如果每一P∈P為X的k-閉集,即對(duì)X中任一緊子集K,P∩K為X的閉集(等價(jià)地,為K中閉集).定義5空間X的覆蓋列{Pn}稱為X的點(diǎn)星網(wǎng)(點(diǎn)星sn-網(wǎng),點(diǎn)星弱鄰域網(wǎng)),如果對(duì)于每一x∈X,{st(x,Pn):n∈N}是x處網(wǎng)(sn-網(wǎng),弱鄰域網(wǎng));空間X的覆蓋列{Pn}稱為緊有限的(局部有限的,離散的),如果每一Pn是緊有限的(局部有限的,離散的).引理1Pn是空間X的點(diǎn)星網(wǎng)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每一x∈X,如果對(duì)每一n∈N,x∈Pn∈Pn,則{Pn:n∈N}是x處網(wǎng).引理2設(shè)Pn是空間X的緊有限點(diǎn)星sn-網(wǎng),{xn}是X中收斂于x的序列,記L={xn:n∈N}∪{x},則存在L的子序列L′,滿足對(duì)每一n∈N,存在Pn∈Pn,使得L′終留于Pn,且x∈Pn.證對(duì)每一n∈N,因?yàn)閟t(x,Pn)是x處序列鄰域,所以L終留于st(x,Pn)=∪{Pα∈Pn:x∈Pα}.又因?yàn)镻n是緊有限的,所以{Pα∈Pn:x∈Pα}是有限集族,從而存在Pn∈Pn,使得L共尾于Pn,且x∈Pn.下面我們構(gòu)造L的一個(gè)子序列L′,使得對(duì)每一n∈N,L′終留于Pn.因?yàn)長共尾于P1,所以存在L的子序列L1,使得L1?P1,令xn1為序列L1的第一項(xiàng),又因?yàn)長1共尾于P2,所以存在L1的子序列L2,使得L2?P2,令xn2為序列L2的第二項(xiàng).由歸納法,一般的對(duì)每一k∈N,因?yàn)長k-1共尾于Pk,所以存在Lk-1的子序列Lk,使得Lk?Pk,令xnk為序列Lk的第k項(xiàng).記L′={xnk}∪{x},則L′是L的子序列,且對(duì)每一n∈N,當(dāng)k>n時(shí),xnk∈Lk?Ln?Pn,即L′終留于Pn.證完.定理1空間X是度量空間的序列商,k-映象當(dāng)且僅當(dāng)X具有緊有限k-閉覆蓋列的點(diǎn)星sn-網(wǎng).證必要性:設(shè)f:M→X是序列商,k-映射,M是度量空間.由[5,定理1.3.3],存在M的開覆蓋的序列{Un},使得對(duì)M的每一緊子集K,{st(K,Un):n∈N}是K在M中的鄰域基.由于M是仿緊空間,對(duì)每一n∈N,不妨設(shè)Un是M的局部有限開覆蓋且Un+1加細(xì)Un.對(duì)每一n∈N,令Bn={ˉUBn={Uˉˉˉ:U∈Un},則Bn是M的局部有限閉覆蓋.由正則性,可設(shè)對(duì)M的每一緊子集K,{st(K,Bn):n∈N}是K在M中的鄰域網(wǎng).對(duì)每一n∈N,置Pn={f(B):B∈Bn}.設(shè)P=f(B)∈Pn,則任給X的緊子集K,P∩K=f(B∩f-1(K)).因?yàn)閒是k-映射,所以B∩f-1(K)是M中緊子集,故P∩K是X中緊子集,從而是X的閉集,即P是X中k-閉集.另一方面,對(duì)于X中任一緊子集K,K∩P=?當(dāng)且僅當(dāng)f-1(K)∩B=?,這里P=f(B)∈Pn.于是由Bn緊有限知Pn是緊有限的.所以,每一Pn是X的緊有限k-閉覆蓋.下面證明,對(duì)每一x∈X,{st(x,Pn):n∈N}是x處序列鄰域網(wǎng).設(shè)x∈G,G是X的開子集,則f-1(x)?f-1(G).因?yàn)閒是緊映射,所以f-1(x)是M的緊子集,故存在n∈N,使得st(f-1(x),Un)?f-1(G),從而st(x,Pn)?G.這就證明了{(lán)st(x,Pn):n∈N}是x處網(wǎng),即滿足定義3(a).由于對(duì)每一n∈N,Un+1加細(xì)Un,所以{st(x,Pn):n∈N}是單調(diào)遞減序列,從而滿足定義3(b).下面只需證明每一st(x,Pn)是x處序列鄰域.事實(shí)上,設(shè){xn}是收斂于x的序列,因?yàn)閒是序列商映射,所以存在y∈f-1(x)及M中收斂于y的序列{yk},使得f(y)=x且對(duì)每一k∈N,f(yk)=xnk,因?yàn)閁n是M的開覆蓋,所以存在U∈Un,使得y∈U.于是{yk}終留于U,更終留于B=ˉU∈Bn,從而{xnk}終留于f(B),即{xn}共尾于f(B),注意到f(B)?st(x,Pn),所以{xn}共尾于st(x,Pn).由注1(1),st(x,Pn)是x處序列鄰域.充分性:設(shè){Pn}是空間X的緊有限sn-展開.對(duì)每一n∈N,記Pn={Pα:α∈An},不妨假定指標(biāo)集族{An:n∈N}兩兩不交,并對(duì)每一An賦以離散拓?fù)?置M={α=(αn)n∈N∈Π{An:n∈N}:{Pαn}是X中某點(diǎn)xα處網(wǎng)},則M作為離散空間族{An:n∈N}的Tychonoff積空間Π{An:n∈N}的子空間,是度量空間.由空間X的T2性,容易證明,對(duì)于每一α=(αn)n∈N∈M,存在唯一的xα∈X,使得{Pαn}是xα處網(wǎng).下面證明由f(α)=xα確定的映射f:M→X是序列商,緊映射.(1)f是滿映射.由引理2.1立即可得.(2)f是連續(xù)映射.設(shè)α=(αn)n∈N∈M,U是x=f(α)在X中的開鄰域.因?yàn)閧Pαn}是x處網(wǎng),所以存在n∈N,使得x∈Pαn?U.置V={β∈M:β的第n個(gè)坐標(biāo)是αn},則V是α在M中的開鄰域.容易看出,f(V)?Pαn?U.所以f是連續(xù)映射.(3)f是序列商映射.設(shè){xn}是X中收斂于x的序列,記L={xn:n∈N}∪{x}.由引理2.2,存在L的子序列L′={yk:k∈N}∪{x},滿足對(duì)每一n∈N,存在αn∈An,使得L′終留于Pαn且x∈Pαn.記α=(αn),則α∈M且f(α)=x.對(duì)每一yk∈L′,我們選取βk∈f-1(yk)如下.對(duì)每一n∈N,如果yk∈Pαn,令βkn=αn;如果yk?Pαn,取αkn∈An,使得yk∈Pαkn,令βkn=αkn.置βk=(βkn)n∈N,則顯然βk∈M且f(βk)=yk.下面證明S={βk}∪{α}是M中收斂于α的序列.設(shè)U是α的開鄰域,由Tychonoff積拓?fù)涠x,不妨設(shè)對(duì)某一m∈N,U=((Π{{αn}:n≤m})×(Π{An:n>m}))∩M.因?yàn)閷?duì)每一n≤m,L′終留于Pαn,所以存在k(n)∈N,使得當(dāng)k>k(n)時(shí),yk∈Pαn,從而βkn=αn.令k0=max{k(1),k(2),…,k(m),m},顯然當(dāng)k>k0時(shí),βk∈U,所以{βk}收斂于α.這就證明了對(duì)于X中的收斂序列L,存在M中收斂序列S,使得f(S)=L′是L的子序列,即f是序列商映射.(4)f是k映射.設(shè)K是空間X的任一緊子集,對(duì)每一n∈N,置Bn={α∈An:K∩Pn≠?},因?yàn)槊恳籔n是緊有限的,所以每一Bn是有限集,從而Π{Bn:n∈N}是M的緊子集.類似于[1,定理1]中論斷2,容易證明f-1(K)是Π{Bn:n∈N}的閉子集,從而f-1(K)是M的緊子集,所以f是k映射.綜上所述,空間X是度量空間M在序列商,k映射f下的象.證完.引理3對(duì)于空間X,下述等價(jià).(1)X具有緊有限k-閉cs*-覆蓋列的點(diǎn)星sn-網(wǎng);(2)X具有緊有限k-閉覆蓋列的點(diǎn)星sn-網(wǎng);(3)X具有緊有限k-閉cs*-覆蓋列的點(diǎn)星網(wǎng);(4)X具有緊有限k-閉覆蓋列的點(diǎn)星網(wǎng).證(1)?(2)?(4)和(1)?(3)?(4)是顯然的,下面只需證(4)?(1).設(shè)X具有緊有限k-閉覆蓋列的點(diǎn)星網(wǎng){Pn}.論斷1每一Pn是X的cs*-覆蓋.設(shè){xn}為收斂于x的序列,記L={xn:n∈N}∪{x},則L與Pn中至多有限個(gè)相交,從而存在P∈Pn及A={xnk:k∈N}使得A?P.顯然x∈ˉA.令L′=A∪{x},因?yàn)镻為X的k-閉集,所以L′∩P為X的閉集,而A?L′∩P,所以x∈L′∩P?P.這就證明了L共尾于P且x∈P,所以Pn是X的cs*-覆蓋.論斷2每一st(x,Pn)是x處序列鄰域.設(shè){xn}為收斂于x的序列,由論斷1的證明,{xn}共尾于某一P∈Pn且x∈P.從而{xn}共尾于st(x,Pn)且x∈st(x,Pn),由注1(1),st(x,Pn)是x處序列鄰域.綜上,{Pn}是X的緊有限k-閉cs*-覆蓋列的點(diǎn)星sn-網(wǎng).證完.由定理1,引理3及[1,定理1],立即可得下述定理.定理2空間X是度量空間的序列商,k-映象當(dāng)且僅當(dāng)X是度量空間的k-映象.下面討論具有點(diǎn)星弱鄰域網(wǎng)空間的度量化問題.定理3空間X是度量空間當(dāng)且僅當(dāng)X具有局部有限(緊有限)閉(k-閉)覆蓋列的點(diǎn)星弱鄰域網(wǎng).證必要性:設(shè)X是度量空間,由[4,定理1.3.3],存在X的開覆蓋的序列{Un},使得對(duì)每一x∈X,{st(x,Un):n∈N}是x在X中的鄰域基且Un+1加細(xì)Un.與定理1必要性的證明中類似,可構(gòu)造出X的局部有限閉覆蓋列{Bn},容易驗(yàn)證,{Bn}是X的局部有限閉覆蓋列的點(diǎn)星弱鄰域網(wǎng).充分性:設(shè)X具有緊有限k-閉覆蓋列的點(diǎn)星弱鄰域網(wǎng),則由[1,定理1],X是度量空間的k-映象.易見X是g-第一可數(shù)的,從而是k-空間,所以X是度量空間().證完.注2劉川曾證明了空間X是度量空間當(dāng)且僅當(dāng)X具有緊有限覆蓋列的點(diǎn)星鄰