《第1章特殊平行四邊形》同步優(yōu)生輔導(dǎo)訓(xùn)練（附答案）2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)北師大版上冊

2021年北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊《第1章特殊平行四邊形》同步優(yōu)生輔導(dǎo)訓(xùn)練（附答案）

選擇題（共10小題）

1.如圖，在矩形A8C。中，AB=6,過對角線AC的中點。作EF_LAC,分別交A8、DC

于E、尸，點G為4E的中點，若NAOG=30°,則。G的長為（）

A.25/3B.2C.娓D.3

2.如圖，正方形ABC。的邊長為8,點E在C。邊上，CE=6,若點尸在正方形的某一邊

上，滿足CF=BE,且CF與BE的交點為M,則CM的長度為（）

C.5或絲D.7或建

55

3.如圖，在正方形ABC。中，E為A8中點，連結(jié)。E,過點。作。FLOE交BC的延長線

于點F,連結(jié)EF.若AE=2,則E/的值為（）

2V10D.5

4.如圖，點尸是正方形A8C。的對角線BD上一點，PE工BC于點E,PFLOC于點F,連

接EF,給出下列四個結(jié)論：?AP=EF；?APLEF-,③NPFE=NBAP；④尸。=&EC,

其中正確的是（）

A./個B.2個C.3個D.4個

5.如圖，在平面直角坐標系x。），中，點A,C,尸在坐標軸上，E是0A的中點，四邊形

AOCB是矩形，四邊形BDEF是正方形，若點C的坐標為（6,0）,則點D的坐標為（）

6.如圖，以RtaABC的斜邊BC為邊，在△ABC的同側(cè)作正方形BCE凡設(shè)正方形的中心

為O,連接AO.若AB=2,AO=3A/5，則AC的長等于（）

7.如圖，在矩形A8CD中，有以下結(jié)論：

@AC=BD；?AC±BD；③△AOB是等腰三角形；@S^ABO=S^ADO^

⑤乙480=45°；⑥48=A。能使矩形A8CD變成正方形.正確結(jié)論的個數(shù)是（）

8.如圖，在矩形A8CO中，對角線AC與8。相交于點0,過點4作AE_LB￡>,垂足為點E,

9.如圖，P為AB上任意一點，分別以為邊在AB同側(cè)作正方形APC。、正方形PBEF,

設(shè)NCBE=a,則NAFP為()

A.2aB.90°-aC.45°+aD.900-4

2

10.如圖，在菱形A8C￡)中，M、N分別是BC和CD的中點，NPLAB于點P,連接MP.若

ND42=40°，則/MPB=()

A.125°B.120°C.115°D.110°

二.解答題(共14小題)

11.已知四邊形ABC。是正方形，點E在邊D4的延長線上，連接CE交AB于點G,過點

8作BM_LCE,垂足為點M,8例的延長線交AO于點尸，交CO的延長線于點兒

(1)如圖1,求證：CE=BH；

(2)如圖2,若AE=A8,連接CF,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中

的四個三角形(△AEG除外)，使寫出的每個三角形都與aAEG全等.

12.如圖1,已知AZ)〃BC,AB//CD,/B=NC.

(1)求證：四邊形ABC。為矩形；

(2)如圖2,M為A。的中點，N為AB的中點，BN=2.若ZBNC=2NDCM,求BC

的長.

13.已知：如圖，。為坐標原點，四邊形0A8C為矩形，B(5,2),點。是。A中點，點P

在8c上以每秒2個單位的速度由C向B運動，設(shè)動點尸的運動時間為，秒.

(1)f為何值時，四邊形P0D8是平行四邊形？

(2)在直線CB上是否存在一點0,使得0、D、Q、尸四點為頂點的四邊形是菱形？若

存在，求，的值，并求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.

14.如圖，在矩形A2CD中，E是40上一點，PQ垂直平分8E,分別交A。、BE、BC于

點P、0、Q,連接BP、EQ.

(1)求證：四邊形BPEQ是菱形；

(2)若AE=8,AB=4,求PE的長.

15.如圖，在正方形A8CD中，點E、尸分別在線段5C、CD±,連接AE、AF,且8E=

DF.求證：AE=AF.

16.如圖，在平行四邊形ABC。中，點尸是A3邊上一點(不與A,B重合)，過點P作PQ

LCP,交A。邊于點。，且/QB4=/PCB,QP=QD.

(1)求證：四邊形48co是矩形；

(2)求證：CD=CP.

17.如圖，在正方形ABC。中，E是AB上一點，尸是A。延長線上一點，S.DF^BE.

(1)求證：NBCE=NDCF；

(2)點G在40上，連接GE,GC,若GE=GD+DF,求此時NGCE的大小.

18.如圖，在等腰△ABC中，NCAB=NB=30°,D、E分別為AB、AC的中點，延長BC

至點F，使CF=2BC,連接C￡＞、EF和AF.

2

(I)求證：DE=CF；

(2)求證：四邊形CDEF為菱形.

(3)若BC=2,求AF.

19.如圖，點P在正方形A8C。的對角線AC上，點E在邊BC上，且PE=PB.

(1)求證：PE=PD；

(2)試探究Be?,EC2,三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

20.如圖，在正方形A3CZ)中，點E是邊BC延長線上一點，聯(lián)結(jié)。E,過點2作

垂足為點F,B尸與邊C。相交于點G.

(1)求證：CG=CE；

(2)聯(lián)結(jié)CF,求證：NBFC=45°；

21.如圖，正方形ABCC中，點E在邊AB上，連接EQ,過點。作FDLOE與BC的延長

線相交于點凡連接E尸與邊C。相交于點G、與對角線BD相交于點兒

(1)若AB=6,且BD=BF,求BE的長；

(2)若N2=2N1,求證：HF=HE+HD.

22.如圖，在正方形A8CD中，P是對角線8。上的一點，點E在邊4。的延長線上，且以

=PE,PE交CD于點F.

(1)求證：PA—PC-,

(2)求證：PC1PE.

23.如圖，在正方形ABC￡＞中，點E在邊BC上，連接AE,/D4E的平分線AG與邊CQ

相交于點G,與8C的延長線相交于點?

(1)若A8=2,BE=CE,求CF的長.

(2)連接EG,若EG-LAF,求證：G為邊CO的中點.

B

E

參考答案

選擇題(共10小題)

1.解:'JEFLAC,

：.ZAOE=90°,

在RtZ\AOE中，G是AE的中點，

:.OG=1AE=AG=GE,

2

，/OAG=NAOG=30°,

/.ZOG￡=60°,

/./\OGE是等邊三角形，

設(shè)OG=x=OE,

；.AE=2x,AO=yj^Xi

是AC的中點，

；.AC=2AO=2心，

在RtAABC中，

BC=C=,

2

由勾股定理得，

AB2+BC2=AC2,

,,,62+(V3x)2=(2V3x)2,

解得x=2.

：.OG=2,

故選：B.

2.解：分兩種情況：

①如圖1所示，當點尸在AO上時，

由CF=BE,CD=BC,NBCE=NCDF=90°可得，RtABCE^RtACDF(HL),

：.ZDCF=ZCBE,

又；NBCF+NDCF=90°,

：.ZBCF+ZCBE=90",

ZBMC=90°,即CFLBE,

VBC=8,CE=6,ZBCE=90°,

：.BE=10,

圖1

②如圖2所示，當點尸在AB上時，

同理可得，RtABCF注RtACBE(HL),

：.BF=CE,

又,：BF〃CE,

四邊形BCEF是平行四邊形，

又；NBCE=90°,

二四邊形8CE尸是矩形，

3.解：?.?四邊形A8CQ是正方形，

：.AD=AB=BC^CD,/A=N4OC=/￡>CB=/B=90°,

'：DF±DE,

：.ZADE+ZEDC=ZCDF+ZEDC,

即NAQE=/COF,

在△AOE和△C￡>F中，

2ADE=NCDF

?AD=CD，

ZA=ZDCF

:.AADE注ACDF(ASA),

；?DE=DF,

IE為AB的中點,AE=2,

：.AD=AB=4,

在RtaAOE中，DE=QAD2+AE2地2+22=2匹

在中，22

RtZXOEAEF=A/DE+DF=2V1Q-

故選：B.

4.解：過戶作PG_LA8于點G,如圖,

???點P是正方形ABCD的對角線BD上一點,

:?GP=EP,

在中，ZGBP=45°,

???NGP8=45°，

:?GB=GP,

同理，得

PE=BE,

?:AB=BC=GF,

：.AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

：.AG=PFf

：.AAGP^AFPE(5AS),

：.AP=EF,

?,?結(jié)論①正確；

：.ZPFE=ZGAP

:?/PFE=/BAP,

???結(jié)論③正確；

②延長AP到EF上于一點H,

:?/PAG=/PFH,

??NAPG=/FPH,

：?NPHF=NPGA=90。,

即AP±EF；

?,?結(jié)論②正確；

YGF//BC,

：?/DPF=NDBC,

又???/OPb=NO8C=45°,

???NPDF=NDPF=45°,

:?PF=EC,

在RtADPF中，DP1=Df^+PF2=EC2+EC2=2EC2,

:?PD=?EC,

???結(jié)論④正確；

故選：D.

；?/MED+NMDE=90°,

???四邊形BDEF為正方形,

:.DE=EF=FB,NDEF=NEFB=90°,

AZMED+ZOEF=90°,ZOFE+ZCFB=90°,

VZOEF+ZOFE=90°,

.??ZMDE=ZOEF=/CFB,

???四邊形0A5C是矩形，

：.ZBCF=90°,OA=CB,

：./EMD=ZFOE=ZBCF=90°,

在△EWO和△尸OE和△80中,

，ZEMD=ZFOE=ZBCF

，ZMDE=ZOEF=ZCFE?

DE=EF=FB

A/\EMD^^FOE^/\BCF(AAS),

:.MD=OE=CF,ME=OF=CB,

為04的中點，

：.OA=2OE,

：.OF^2CF,

VC(6,0),

：.0C=6,

：.ME=0F=4,MD=0E=CF=2,

；.0M=6,

：.D(2,6),

故選：B.

6.解：如圖，過點尸作FG,BA交BA的延長線于點G,過點E作E/7LFG于點H,過點

E作E￡>_LAC于點。，連接0。，

則有AB=C￡>=2,且△OAO是等腰直角三角形,

,:A0=3近,

.'.AD=\f2OA—6,

.*.4C=4O+C￡>=8.

故選:B.

7.解：?.?四邊形ABC。為矩形，

：.AC=BD,所以①不符合題意；

...當ACLBO時，矩形ABC。為正方形，所以②符合題意;

?.?△A08是等腰三角形，0A=0B,

AZAOB=90°,

AAC±BD,

???矩形ABC。為正方形，所以③符合題意；

???四邊形A8CO為矩形，

???OB=OD,

**?S^ABO=S^ADOf所以④不符合題意；

???NABO=45°,

為等腰直角三角形，

：.AB=ADf

???矩形A3CZ)為正方形，所以⑤⑥符合題意；

故選：C.

8.解：???四邊形A8CD是矩形，

:.AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：.OA=OB—OCf

：.ZOAD=ZODA,ZOAB=ZOBA,

：.ZA0E=Z0AD+Z0DA=2Z0ADf

ZEAC=2ZCADf

：.ZEAO=ZAOE,

VAE1BD,

???NA￡O=90°,

AZAOE=45°,

.?./O48=/OBA=JL(180°-45°)=67.5

2

AZBAE=ZOAB-ZOAE=22.5°.

故選：D.

9.解：：四邊形P8EF為正方形，

:.NPBE=9Q°,

,：NCBE=a,

：.ZPBC=9O°-a,

:四邊形APC。、P8E尸是正方形,

：.AP=CPfNAPF=NCPB=90°,PF=PB,

^￡/\APF和△"3中，

'AP=CP

,NAPF=NCPB，

PE=PB

:?△APF9XCPB(SAS),

：.ZAFP=ZPBC=90°-a.

故選：B.

10.解：如圖，連接AC、BD交于點O,連接MMOM,OM交PN于K.

???四邊形A8CO是菱形，

：?OD=OB,ZADC=ZABC=\40°,

AZDBC=ZDBA=10°,NC5P=40°,

■:DN=CN,CM=MB,

：.OM//CD,MN//BD,

???四邊形DNMO是平行四邊形，

：.OM//CD,MN=OD=OB,

?.?PNLCD,

：.OMLPN,

9：PB//0K//DN,OD=OB,

:?NK=PK,

:?MN=PM,

:?PM=OB,

???四邊形OMP8的等腰梯形，

；?/MPB=NOBP=700+40°=110°.

故選：D.

二.解答題（共14小題）

11.證明：（1）?四邊形ABCO是正方形,

：.BC=CD=AD^AB,N8CD=NAOC=90°,

,：BM1CE,

：.ZHMC=ZADC=90°,

二NH+/HCM=90°NE+NECD,

：.NH=NE,

在△￡■￡)(7和△HCB中，

，ZE=ZH

<ZEDC=ZHCB=90°-

CD=BC

:./\EDC冬AHCB(A4S),

:.CE=BH；

(2)△BCG,/XDCF,^DHF,△AB尸，

理由如下：'：AE=AB,

：.AE=BC^AD=CD,

■:△EDgXHCB,

：.ED=HC,

'：AD=CD,

:.AE=HD=CD=AB,

在△AEG和aBCG中，

rZEAG=ZCBG=90°

<ZAGE=ZBGC，

AE=BC

.?.△AEG絲△BCG(A4S),

，AG=BG=LB,

2

同理可證△AFB絲△Z)F4,

:.AF=DF=1AD,

2

：.AG=AF=DF,

在△4EG和△ABF中，

<AE=AB

-ZEAG=ZBAF=90°，

AG=AF

:.缸AEG空缸ABF(SAS),

同理可證AAEG會AAEG^ADCF.

12.(1)證明："JAD//BC,AB//CD,

，四邊形ABCD是平行四邊形，

'：\B//CD,

：.ZB+ZC=180°,

又；ZB=ZC,

：.ZB=ZC=90°,

...四邊形ABC。為矩形；

圖2

為A。的中點，N為AB中點,

:.AN=BN=2,AM^MD,

：.AB=CD=4,

'.'AE//DC,

：.NE=4DCM,

在△AEM和△OCM中，

rZE=ZMCD

<ZAME=ZDMC，

AH=DM

AAAME^ADCM(AAS),

.,.AE=CD=4,

:NBNC=2NDCM=NE+NNCE,

：.ZNCE=NDCM=NE,

???CN=EN=AE+AN=4+2=6,

fiC^VcN2-BN2=V62-22=4^2-

13.解：(1)：四邊形OABC為矩形，B(5,2),

:.BC=OA=5,AB=OC=2,

:點。時OA的中點，

.\OD=AOA=2.5,

2

由運動知，PC=2t,

：.BP=BC-PC=5-It,

'：四邊形PODB是平行四邊形，

，PB=00=2.5,

.*.5-2/=2.5,

.1=1.25；

???四邊形。OQP為菱形，

：.OD=OP=PQ=25,

在Rtz^OPC中，由勾股定理得：PC=1.5,

.*.2/=1.5；

.1=0.75,

：.Q(4,2)；

②當。點在P的左邊且在8c線段上時，如圖,

：.Q(1.5,2),

③當。點在尸的左邊且在BC的延長線上時，如圖,

：.Q(-1.5,2)；

14.(1)證明：垂直平分BE,

:.PB=PE,OB=OE,

?.?四邊形A8C。是矩形，

：.AD//BC,

：.ZPEO=ZQBO,

在△BOQ與中，

，ZPE0=ZQB0

<BO=OE，

ZP0E=ZQ0B

:.△BOgXEOP(ASA),

；.PE=QB,

又‘:AD"BC,

???四邊形BPEQ是平行四邊形，

又<PB=PE,

二四邊形BPEQ是菱形；

(2)解：設(shè)PE=8P=x,則AP=8-x,

在RtZXABP中，AP2+AB2=BP2,

即(8-x)2+42=，，

解得x=5,

:.PE=5.

15.證明：?.?四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD,NB=ND=90°,

?：BE=DF,

在RtAABE與RtAADF中，

，AB=AD

-ZB=ZD-

BE=DF

.'.RtAABE^RtAADFCSAS),

：.AE^AF.

16.證明：(1)'：PQLCP,

：.ZQPC=90°,

：.ZQPA+ZBPC=\SO°-90°=90°,

"：ZQPA^ZPCB,

；.NBPC+NPCB=90°,

?,.ZB=180°-(NBPC+NPCB)=90°

：四邊形ABCD是平行四邊形，

二四邊形ABC。是矩形；

?..四邊形ABC。是矩形，

.?./。=90°,

；NCPQ=90°,

...在Rtz^COQ和RtACPQ中

fCQ=CQ；

1DQ=PQ，

ARtACDe^RtACPQ(HL),

：.CD=CP.

17.(1)證明：在正方形ABC。中，

,:BC=CD,NB=NCDF,DF=BE,

:.XCBE空IXCDF(SAS).

：.ZBCE=ZDCF.

(2)解：,:“BEqACDF,

：.CE^CF.

'：GE=GD+DF=GF,GC=GC,

：./\ECG^/\FCG(SAS).

J.ZGCE=ZGCF,

NECF=NECD+/DCF=NEC￡>+NBCF=90°,

又,/ZECF=ZGCE+ZGCF=2ZGCE,

.\ZGCE=45°.

18.(1)證明：E分別為AB、AC的中點，

：.DE//BC,DE=LBC,

2

?：CF=^BC,

2

：.DE=CF；

(2)證明：'JDE//BC,DE=CF,

四邊形CDEF是平行四邊形，

"：ZCAB=ZB=30°,

：.ZACF=60°,

AZCED=60°,

'：DE=^BC,CE=1AC,BC^AC,

22

：.DE=CE,

.?.△DEC是等邊三角形，

：.DE=DC,

...平行四邊形CDE尸為菱形.

(3)解：?.?平行四邊形CQEF為菱形，

:.DE=EF=FC=CD,

：△￡>￡(?是等邊三角形，

：.DE=EC=CD,

：.EF=FC=EC,

'JAE^EC,

J.AE^EF^EC,

"：ZCEF=60°,

：.ZEAF=ZEFA=3G°,

AZAFC=90°,

CF=」BC=1,

2

:.AF=MCF=M.

19.(1)證明：?；四邊形ABC。是正方形,

：.BC=DC,NACB=NACD,

在△P3C和△「￡>(?中，

rBC=DC

<ZPCB=ZPCD,

PC=PC

:.△PBgMPDC(SAS),

:.PB=PD,

,:PE=PB,

:.PE=PD；

(2)解：BC2+EC2=2PE1,證明如下：

連接。E,如圖所示：

；四邊形A8C￡>是正方形，

/.ZBCD=90°,BC=CD,

由(1)得：4PBC學(xué)4PDC,

：.4PBC=4PDC,

?：PE=PB,

：.NPBC=NPEB,

：.ZPDC=ZPEB,

VZP￡B+ZP￡C=180°,

：.ZPDC+ZPEC^\SOa,

：.ZEPD=360°-(NPDC+NPEC)-/BCD=360°-180°-90°=90°,

又，：PE=PD,

△PZ)E是等腰直角三角形，

Z.DE1=PE^+PD1=2PE1,

在RtZXCCE中，由勾股定理得：CD2+Ed=DE2,

:.Bd+Ed=2P岸.

20.解：(1)；四邊形ABC。為正方形,

：.BC=CD,ZBCG=ZDCE,

"：BFVDE,

：.NE+NCBG=/E+NEDC,

:.NCBG=NEDC,

在RtABCG與RtZXDCE中，

'NCBG=/CDE

?BC=DC

ZGCG=ZDCE

/.RtABCG^RtADCC(ASA),

：.CG=CE.

(2)作CM_LC/交BF于點M,

VAfiCG^ADCE,

NE=ZBGC,

'：/MCG+NFCG=NECF+NFCG=90°,

：.ZMCG^ZFCE,

在△MCG和△尸CE中，

，ZMCG=ZFCE

<CG=CE，

ZMGC=ZE

/.△MCG^AFCE(ASA),

：.MG=FE,MC=FC,

.?.△MCF為等腰直角三角形,

/.ZBFC=45°.

(3)作CN上BF于點、N,

.?.△CNF為等腰直角三角形，CN=NF,

為C￡>中點，正方形ABC。的邊長為2,

：.CG=DG=CE=1,

2=5/5,

IBC-CG=LBG?CN,

22_

?CN=GJCG=2X1=27^

""BG755~,

在△CNG和△OFG中，

'/CNG=/DFG

?ZNGC=ZFGD-

CG=DG

:.4CNG空/\DFG(M5),

:.DF=CN=2E,

5_

：.EF=DE-DF=-Js-空屋色叵

55

21.(1)解：；四邊形A8C￡>是正方形，且尸。J_OE,

：.AD=CD,ZA=ZDCB=ZADC=90Q,

\'DE±DF,

：.ZEDF=90°,

AZ2=900-ZEDC=ZCDF,NA=NDCF=90°,

在和△OCF中，

，Z2=ZCDF

<AD=CD，

ZA=ZDCF

/.RtAD4E^RtADCF(ASA),

：.AE=CF,