多元函數(shù)微分學專題名師優(yōu)質(zhì)課獲獎市賽課一等獎?wù)n件

第一節(jié)多元函數(shù)基本概念一、多元函數(shù)概念二、多元函數(shù)極限三、多元函數(shù)連續(xù)性

四、小結(jié)思索題

第1頁（1）鄰域一、多元函數(shù)概念第2頁（2）區(qū)域比如，即為開集．第3頁第4頁連通開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．比如，比如，第5頁有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．比如，第6頁（3）聚點

內(nèi)點一定是聚點；說明：

邊界點可能是聚點；例(0,0)既是邊界點也是聚點．第7頁

點集E聚點能夠?qū)儆贓，也能夠不屬于E．比如,(0,0)是聚點但不屬于集合．比如,邊界上點都是聚點也都屬于集合．第8頁（4）n維空間n維空間記號為說明：

n維空間中兩點間距離公式第9頁

n維空間中鄰域、區(qū)域等概念特殊地當時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間距離．內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義．鄰域：設(shè)兩點為第10頁（5）二元函數(shù)定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．第11頁例1求定義域．解所求定義域為第12頁（以下頁圖）第13頁二元函數(shù)圖形通常是一張曲面.第14頁比如,圖形如右圖.比如,左圖球面.單值分支:第15頁二、多元函數(shù)極限第16頁說明：（1）定義中方式是任意；（2）二元函數(shù)極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)極限運算法則與一元函數(shù)類似．第17頁例2求證證當時，原結(jié)論成立．第18頁例3求極限解其中第19頁例4證實不存在．證取其值隨k不一樣而改變，故極限不存在．第20頁不存在.觀察播放第21頁確定極限不存在方法：第22頁利用點函數(shù)形式有第23頁三、多元函數(shù)連續(xù)性定義3第24頁例5討論函數(shù)在(0,0)處連續(xù)性．解取第25頁故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當時第26頁例6討論函數(shù)在(0,0)連續(xù)性．解取其值隨k不一樣而改變，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．第27頁閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)在有界閉區(qū)域D上多元連續(xù)函數(shù)，在有界閉區(qū)域D上多元連續(xù)函數(shù)，（1）最大值和最小值定理（2）介值定理在D上最少取得它最大值和最小值各一次．假如在D上取得兩個不一樣函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間任何值最少一次．第28頁（3）一致連續(xù)性定理在有界閉區(qū)域D上多元連續(xù)函數(shù)必定在D上一致連續(xù)．多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合步驟所組成可用一個式子所表示多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)區(qū)域或閉區(qū)域．第29頁例７解第30頁多元函數(shù)極限概念多元函數(shù)連續(xù)概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（注意趨近方式任意性）四、小結(jié)多元函數(shù)定義第31頁思索題第32頁思索題解答不能.例取不過不存在.原因為若取第33頁練習題第34頁第35頁第36頁練習題答案第37頁不存在.觀察第38頁觀察不存在.第39頁觀察不存在.第40頁觀察不存在.第41頁觀察不存在.第42頁觀察不存在.第43頁觀察不存在.第44頁觀察不存在.第45頁觀察不存在.第46頁觀察不存在.第47頁觀察不存在.第48頁觀察不存在.第49頁第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計算法二、高階偏導(dǎo)數(shù)三、小結(jié)思索題

第50頁一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計算法第51頁第52頁第53頁偏導(dǎo)數(shù)概念能夠推廣到二元以上函數(shù)如在處第54頁解第55頁證原結(jié)論成立．第56頁證第57頁相關(guān)偏導(dǎo)數(shù)幾點說明：１、２、求分界點、不連續(xù)點處偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；解第58頁３、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)關(guān)系？但函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，第59頁4、偏導(dǎo)數(shù)幾何意義如圖第60頁幾何意義:第61頁純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).二、高階偏導(dǎo)數(shù)第62頁解第63頁原函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖象間關(guān)系：第64頁解第65頁問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣條件才相等？第66頁解第67頁偏導(dǎo)數(shù)定義偏導(dǎo)數(shù)計算、偏導(dǎo)數(shù)幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)（偏增量比極限）純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等條件）三、小結(jié)第68頁思索題第69頁思索題解答不能.比如,第70頁練習題第71頁第72頁第73頁練習題答案第74頁第75頁第76頁第三節(jié)全微分及其應(yīng)用一、全微分定義二、可微條件三、小結(jié)思索題

第77頁由一元函數(shù)微分學中增量與微分關(guān)系得一、全微分定義第78頁全增量概念第79頁全微分定義第80頁實際上第81頁二、可微條件第82頁證總成立,同理可得第83頁一元函數(shù)在某點導(dǎo)數(shù)存在微分存在．多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在全微分存在．？比如，第84頁則當時，第85頁說明：多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能確保全微分存在，證第86頁（依偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性）第87頁同理第88頁習慣上，記全微分為全微分定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)通常我們把二元函數(shù)全微分等于它兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)微分符合疊加原理．疊加原理也適合用于二元以上函數(shù)情況．第89頁解所求全微分第90頁解第91頁解所求全微分第92頁第93頁證令則同理第94頁不存在.第95頁第96頁多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)第97頁全微分在近似計算中應(yīng)用也可寫成第98頁解由公式得第99頁１、多元函數(shù)全微分概念；２、多元函數(shù)全微分求法；３、多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微關(guān)系．（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)分）三、小結(jié)第100頁思索題第101頁練習題第102頁第103頁第104頁練習題答案第105頁第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)

求導(dǎo)法則一、鏈式法則二、全微分形式不變性三、小結(jié)思索題

第106頁證一、鏈式法則

第107頁第108頁上定理結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個情況.如以上公式中導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).第109頁上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)情況：第110頁鏈式法則如圖示第111頁

第112頁特殊地即令其中二者區(qū)分區(qū)分類似第113頁解第114頁解第115頁解令記同理有第116頁于是第117頁二、全微分形式不變性第118頁第119頁解第120頁1、鏈式法則（分三種情況）2、全微分形式不變性（尤其要注意課中所講特殊情況）（了解其實質(zhì)）三、小結(jié)第121頁思索題第122頁思索題解答第123頁練習題第124頁第125頁第126頁練習題答案第127頁第128頁第129頁第五節(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)公式一、一個方程情形二、方程組情形三、小結(jié)思索題

第130頁一、一個方程情形隱函數(shù)求導(dǎo)公式第131頁解令則第132頁第133頁解令則第134頁第135頁解令則第136頁思緒：解令則第137頁整理得第138頁整理得整理得第139頁二、方程組情形第140頁第141頁第142頁解1直接代入公式；解2利用公式推導(dǎo)方法，將所給方程兩邊對求導(dǎo)并移項第143頁將所給方程兩邊對求導(dǎo)，用一樣方法得第144頁（分以下幾個情況）隱函數(shù)求導(dǎo)法則三、小結(jié)第145頁思索題第146頁思索題解答第147頁練習題第148頁第149頁第150頁練習題答案第151頁第152頁第六節(jié)微分法在幾何上應(yīng)用一、空間曲線切線與法平面二、曲面切平面與法線三、小結(jié)思索題

第153頁設(shè)空間曲線方程(1)式中三個函數(shù)均可導(dǎo).一、空間曲線切線與法平面第154頁考查割線趨近于極限位置——切線過程上式分母同除以割線方程為第155頁曲線在M處切線方程切向量：切線方向向量稱為曲線切向量.法平面：過M點且與切線垂直平面.第156頁解切線方程法平面方程第157頁1.空間曲線方程為法平面方程為特殊地：第158頁2.空間曲線方程為切線方程為法平面方程為第159頁第160頁所求切線方程為法平面方程為第161頁設(shè)曲面方程為曲線在M處切向量在曲面上任取一條經(jīng)過點M曲線二、曲面切平面與法線第162頁令則切平面方程為第163頁法線方程為曲面在M處法向量即垂直于曲面上切平面向量稱為曲面法向量.第164頁特殊地：空間曲面方程形為曲面在M處切平面方程為曲面在M處法線方程為令第165頁切平面上點豎坐標增量因為曲面在M處切平面方程為第166頁其中第167頁解切平面方程為法線方程為第168頁解令切平面方程法線方程第169頁解設(shè)為曲面上切點,切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得第170頁因為是曲面上切點，所求切點為滿足方程切平面方程(1)切平面方程(2)第171頁空間曲線切線與法平面曲面切平面與法線（當空間曲線方程為普通式時，求切向量注意采取推導(dǎo)法）（求法向量方向余弦時注意符號）三、小結(jié)第172頁思索題第173頁思索題解答設(shè)切點依題意知切向量為切點滿足曲面和平面方程第174頁練習題第175頁第176頁練習題答案第177頁第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度一、問題提出二、方向?qū)?shù)定義三、梯度概念

四、小結(jié)思索題

第178頁實例問題實質(zhì)：一、問題提出：一塊長方形金屬板，四個頂點坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點處溫度與該點到原點距離成反比．在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快抵達較涼快地點？應(yīng)沿由熱變冷改變最驟烈方向（即梯度方向）爬行．第179頁討論函數(shù)在一點P沿某一方向改變率問題．二、方向?qū)?shù)定義（如圖）第180頁當沿著趨于時，是否存在？第181頁記為第182頁證實因為函數(shù)可微，則增量可表示為兩邊同除以得到第183頁故有方向?qū)?shù)第184頁解第185頁解由方向?qū)?shù)計算公式知（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？第186頁故第187頁推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)定義第188頁第189頁解令故方向余弦為第190頁故第191頁三、梯度概念第192頁第193頁結(jié)論

函數(shù)在某點梯度是這么一個向量，它方向與取得最大方向?qū)?shù)方向一致,而它模為方向?qū)?shù)最大值．梯度模為第194頁在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上法向量第195頁等高線畫法播放第196頁比如,第197頁梯度與等高線關(guān)系：第198頁類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，梯度概念能夠推廣到三元函數(shù)其方向與取得最大方向?qū)?shù)方向一致，其模為方向?qū)?shù)最大值.第199頁個方向相同，且從數(shù)值較低等量面指向數(shù)值較高等量面，而梯度模等于函數(shù)在這個法線方向方向?qū)?shù).第200頁解由梯度計算公式得故第201頁1、方向?qū)?shù)概念2、梯度概念3、方向?qū)?shù)與梯度關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與普通所說偏導(dǎo)數(shù)區(qū)分）（注意梯度是一個向量）四、小結(jié)第202頁思索題第203頁思索題解答第204頁第205頁練習題第206頁第207頁練習題答案第208頁等高線畫法第209頁等高線畫法第210頁等高線畫法第211頁等高線畫法第212頁等高線畫法第213頁等高線畫法第214頁等高線畫法第215頁等高線畫法第216頁等高線畫法第217頁第八節(jié)多元函數(shù)極值及其求法一、問題提出二、多元函數(shù)極值和最值三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法

四、小結(jié)思索題

第218頁天天收益為求最大收益即為求二元函數(shù)最大值.一、問題提出問：店主天天以什么價格賣兩種牌子果汁可取得最大收益？第219頁二、多元函數(shù)極值和最值播放第220頁1、二元函數(shù)極值定義第221頁(1)(2)(3)例1例２例３第222頁2、多元函數(shù)取得極值條件證，第223頁，，

.第224頁仿照一元函數(shù)，駐點極值點問題：怎樣判定一個駐點是否為極值點？注意：定理2（充分條件）

有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零點，均稱為函數(shù)駐點.第225頁又令第226頁解第227頁第228頁第229頁求最值普通方法：

與一元函數(shù)相類似，3、多元函數(shù)最值我們能夠利用函數(shù)極值來求函數(shù)最大值和最小值.將函數(shù)在D內(nèi)全部駐點處函數(shù)值及在D邊界上最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.第230頁解如圖,第231頁第232頁第233頁解由第234頁無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其它條件.第235頁問題實質(zhì)：求在條件下極值點．三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法實例：小王有200元錢，他決定用來購置兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他怎樣分配這200元以到達最正確效果．第236頁條件極值：對自變量有附加條件極值．拉格朗日乘數(shù)法其中為某一常數(shù)，可由

其中就是可能極值點坐標.第237頁拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個情況：

要找函數(shù)在條件

下極值，先結(jié)構(gòu)函數(shù)

其中均為常數(shù)，

可由

偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出即得極值點坐標.第238頁解則第239頁解第240頁第241頁第242頁可得即第243頁多元函數(shù)極值拉格朗日乘數(shù)法（取得極值必要條件、充分條件）多元函數(shù)最值四、小結(jié)第244頁思索題第245頁思索題解答第246頁練習題第247頁第248頁練習題答案第249頁二、多元函數(shù)極值和最值第250頁二、多元函數(shù)極值和最值第251頁二、多元函數(shù)極值和最值第252頁二、多元函數(shù)極值和最值第253頁二、多元函數(shù)極值和最值第254頁二、多元函數(shù)極值和最值第255頁二、多元函數(shù)極值和最值第256頁二、多元函數(shù)極值和最值第257頁二、多元函數(shù)極值和最值第258頁第八章多元函數(shù)微分法

及其應(yīng)用

習題課主要內(nèi)容經(jīng)典例題第259頁平面點集和區(qū)域多元函數(shù)極限多元函數(shù)連續(xù)概念極限運算多元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)多元函數(shù)概念一、主要內(nèi)容第260頁全微分應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則全微分形式不變性微分法在幾何上應(yīng)用方向?qū)?shù)多元函數(shù)極值全微分概念偏導(dǎo)數(shù)概念第261頁1、區(qū)域（1）鄰域連通開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．（2）區(qū)域第262頁（3）聚點（4）n維空間第263頁2、多元函數(shù)概念定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．第264頁3、多元函數(shù)極限第265頁說明：（1）定義中方式是任意；（2）二元函數(shù)極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)極限運算法則與一元函數(shù)類似．4、極限運算第266頁5、多元函數(shù)連續(xù)性第267頁在有界閉區(qū)域D上多元連續(xù)函數(shù)，在D上最少取得它最大值和最小值各一次．在有界閉區(qū)域D上多元連續(xù)函數(shù)，假如在D上取得兩個不一樣函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值