高等數(shù)學(xué)級(jí)數(shù)的概念和斂散性省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

【重、難點(diǎn)】重點(diǎn)：級(jí)數(shù)相關(guān)概念，由數(shù)列知識(shí)引出。難點(diǎn)：正確判斷級(jí)數(shù)斂散性，由實(shí)例講解方法。【講課時(shí)數(shù)】總時(shí)數(shù)：4課時(shí).【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、知道級(jí)數(shù)相關(guān)概念和性質(zhì)；2、會(huì)用比較審斂法和比值審斂法判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性；3、會(huì)判斷交織級(jí)數(shù)和普通級(jí)數(shù)斂散性。1/431.計(jì)算圓面積正六邊形面積正十二邊形面積正形面積一、問題提出2/431.級(jí)數(shù)定義普通項(xiàng)3.級(jí)數(shù)分類2.級(jí)數(shù)部分和記作二、級(jí)數(shù)概念3/43

上述數(shù)列中,(1)、(2)是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，(3)、(4)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).4/434.級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散5/43解[例1]判別級(jí)數(shù)斂散性.6/43解[例2]判別無窮級(jí)數(shù)斂散性.7/43解[例3]討論等比級(jí)數(shù)

斂散性.

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散8/43

綜上知,等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）9/43注意：(能夠用(2)來快速判斷級(jí)數(shù)發(fā)散.)三、基本性質(zhì)10/4311/4312/43結(jié)論:級(jí)數(shù)每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零常數(shù),斂散結(jié)論:收斂級(jí)數(shù)能夠逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.性不變.13/4314/431.定義:級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).2.比較審斂法四、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法15/43使用比較審斂法慣用三個(gè)結(jié)論:16/43解[例4]判斷以下級(jí)數(shù)斂散性:17/43解[例4]判斷以下級(jí)數(shù)斂散性:18/43小結(jié)1.級(jí)數(shù)概念2.級(jí)數(shù)部分和3.級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散4.級(jí)數(shù)基本性質(zhì)5.正項(xiàng)級(jí)數(shù)概念6.正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法19/43練習(xí)題20/433.比較審斂法極限形式設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),假如則(1)當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同斂散性;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散.21/434.極限審斂法：22/43解∴原級(jí)數(shù)發(fā)散.

[例5]判斷以下級(jí)數(shù)斂散性:23/43∴原級(jí)數(shù)收斂.

[例5]判斷以下級(jí)數(shù)斂散性:解24/435.比值審斂法(達(dá)朗貝爾D’Alembert判別法)：25/43比值審斂法優(yōu)點(diǎn):無須找參考級(jí)數(shù).兩點(diǎn)注意:26/4327/43解[例6]判斷以下級(jí)數(shù)斂散性:28/43解[例6]判斷以下級(jí)數(shù)斂散性:29/43(比值審斂法失效,改用比較審斂法)[例6]判斷以下級(jí)數(shù)斂散性:解30/43[例6]判斷以下級(jí)數(shù)斂散性:解31/43故該級(jí)數(shù)收斂.6.根值審斂法(柯西判別法)：32/43定義:正、負(fù)項(xiàng)相間級(jí)數(shù)稱為交織級(jí)數(shù).五、交織級(jí)數(shù)及其審斂法33/43解故原級(jí)數(shù)收斂.[例7]判斷以下級(jí)數(shù)斂散性:34/43解故原級(jí)數(shù)收斂.[例7]判斷以下級(jí)數(shù)斂散性:35/43定義1:正、負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).定理作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)六、絕對(duì)收斂與條件收斂36/43解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，即原級(jí)數(shù)收斂.[例8]判斷以下級(jí)數(shù)斂散性:37/43解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，即原級(jí)數(shù)收斂.[例8]判斷以下級(jí)數(shù)斂散性:38/43解級(jí)數(shù)，故原級(jí)數(shù)條件收斂.[例8]判斷以下級(jí)數(shù)斂散性:39/43正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1.2.4.比較法5.比值法6.根值法4.絕對(duì)收斂5.交織級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);小結(jié)40/43思索題思索題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立.比如：收斂,發(fā)散.41/43練習(xí)題發(fā)散收斂42/43經(jīng)過本課題學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該到達(dá)：1．會(huì)用比較審斂