狀態(tài)方程省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

9.9狀態(tài)方程分析過(guò)渡過(guò)程方法：高階微分方程傅氏變換拉氏變換古典控制理論基礎(chǔ)經(jīng)典法變換法時(shí)域頻域復(fù)頻域適合用于線性、非線性系統(tǒng)單輸入、單輸出系統(tǒng)聯(lián)立一階微分方程組狀態(tài)變量法時(shí)域當(dāng)代控制理論基礎(chǔ)多輸入，多輸出系統(tǒng)線性，非線性系統(tǒng)第1頁(yè)9.9.1基本概念一、狀態(tài)和狀態(tài)變量Y(t)(t

t0)能夠確定狀態(tài)、狀態(tài)變量、狀態(tài)方程和輸出方程。狀態(tài)(state)：電路在任何時(shí)刻所必需最少信息，它們和自該時(shí)刻以后輸入(激勵(lì))足以確定該電路性狀。狀態(tài)變量(statevariable)：描述電路一組最少數(shù)目獨(dú)立變量，假如某一時(shí)刻這組變量已知，且自此時(shí)刻以后電路輸入亦已知，則能夠確定此時(shí)刻以后任何時(shí)刻電路響應(yīng)。X(t0)e(t)t

t0

已知第2頁(yè)

X(t)=[x1(t)、x2(t)、x3(t)…xn(t)]T狀態(tài)變量在t=0時(shí)值稱為初始狀態(tài)，即，

X(0)=[x1(0)、x2(0)、x3(0)…xn(0)]T也可選電荷q(t)

和磁鏈ψ(t)

作為狀態(tài)變量。能完整、確定地描述動(dòng)態(tài)電路時(shí)域性質(zhì)最少變量為狀態(tài)變量，狀態(tài)變量含有獨(dú)立性和完備性，若狀態(tài)變量有n個(gè)，則通常選電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)為狀態(tài)變量。一個(gè)電路中，狀態(tài)變量個(gè)數(shù)等于獨(dú)立儲(chǔ)能元件個(gè)數(shù)n。n=m-p-q第3頁(yè)解例5uc(0)=3V和us=10V，求uc,iC,uR確定狀態(tài)變量uC2KΩicucusuRt=01μF已知狀態(tài)變量uC在uc(0)=3V和us=10V，能夠確定t>0電路響應(yīng)uc,iC,uR。第4頁(yè)解例6輸出:

uc,iC,uRRicucusuRt=0若已知狀態(tài)量uC在uc(t1)=3V和us=10V，也能夠確定t>t1電路響應(yīng)uc,iC,uR。可推廣到一階、二階和高階動(dòng)態(tài)電路中，當(dāng)t=t1時(shí)uC，

iL和t

t1后輸入uS(t)為已知，就能夠確定t1及t1以后任何時(shí)刻系統(tǒng)響應(yīng)。問(wèn)題是確定狀態(tài)變量及初始值。第5頁(yè)狀態(tài)方程(stateequations)：由狀態(tài)變量及其一階導(dǎo)數(shù)和激勵(lì)描述電路動(dòng)態(tài)過(guò)程一階微分方程組。二、狀態(tài)方程(stateequations)任意一個(gè)狀態(tài)變量一階導(dǎo)數(shù)都能用狀態(tài)變量和激勵(lì)線性表示。第6頁(yè)狀態(tài)方程矩陣形式設(shè)電路輸入向量用v(t)表示，v(t)=[v1

v2…vm]T狀態(tài)變量用x(t)表示，[x(t)]=[x1

x2…xn]T狀態(tài)變量一階導(dǎo)數(shù)式中，A、B為系數(shù)陣，由電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)確定。狀態(tài)方程為狀態(tài)方程特點(diǎn)：聯(lián)立一階微分方程組左端為一個(gè)狀態(tài)變量一階導(dǎo)數(shù)(3)右端為狀態(tài)變量和輸入量線性表示(4)方程數(shù)等于狀態(tài)變量數(shù)，等于獨(dú)立儲(chǔ)能元件數(shù)第7頁(yè)狀態(tài)方程普通矩陣形式\n

n\n

m系數(shù)矩陣由電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)第8頁(yè)三、輸出方程特點(diǎn)：(1)代數(shù)方程；(2)輸出量用狀態(tài)變量和輸入量線性表示。RuLCuS(t)+uCiCuR+

++L

iL

iL2

輸出方程——由狀態(tài)變量和輸入表示輸出量方程設(shè)輸出向量用y(t)表示，輸出方程普通形式為式中，C、D為系數(shù)陣，由電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)確定。例7輸出:

uL,iC,uR,iR方程

第9頁(yè)17.2狀態(tài)方程列寫(xiě)1、直觀編寫(xiě)狀態(tài)方程RiLucusuRt=0uL選電容電壓uc(t)和電感電流iL(t)為狀態(tài)變量用一階方程來(lái)描述電路動(dòng)態(tài)過(guò)程，一階微分方程為簡(jiǎn)化，寫(xiě)成矩陣形式第10頁(yè)例8列寫(xiě)狀態(tài)方程。解選uC,iL

為狀態(tài)變量列微分方程RuLCuS(t)+uCiCuR+

++L

iL

iR2

整理得狀態(tài)方程第11頁(yè)特點(diǎn)：左端為狀態(tài)變量一階導(dǎo)數(shù)列向量；(2)右端含狀態(tài)變量列向量、輸入量列向量和系數(shù)矩陣；整理為矩陣形式系數(shù)矩陣狀態(tài)變量輸入量第12頁(yè)上例中也可選uC和duC/dt為狀態(tài)變量RuLCuS(t)+uCiCuR+

++L

iL

iL2

令x1=uC,x2=duC/dt即則x1x2第13頁(yè)(2)普通選擇uC和

iL為狀態(tài)變量，也常選

和

q為狀態(tài)變量。(3)狀態(tài)變量選擇不唯一。小結(jié)狀態(tài)變量和儲(chǔ)能元件有聯(lián)絡(luò)，狀態(tài)變量個(gè)數(shù)等于獨(dú)立儲(chǔ)能元件個(gè)數(shù)。第14頁(yè)選uC,i1,

i2為狀態(tài)變量例9編寫(xiě)狀態(tài)方程解uCR1+uSCiSiRR2i2L2L1

+i1

ic為取得diL/dt和duC/dt，需對(duì)僅連一個(gè)電容節(jié)點(diǎn)用KCL，對(duì)只含一個(gè)電感回路用KVL第15頁(yè)狀態(tài)方程為第16頁(yè)選u1,u2,i3,

i4為狀態(tài)變量消去非狀態(tài)量

i5,i6i5=(u2

u1)/R5i6=i4

i3代入上式，整理L3i3uSR6R5C2C1L4+

i5i6i4+

+

u1u2例10列寫(xiě)圖示電路狀態(tài)方程。解第17頁(yè)將狀態(tài)方程整理為矩陣形式為第18頁(yè)二、疊加法編寫(xiě)狀態(tài)方程將電源、電容、電感均抽到網(wǎng)絡(luò)外。(2)電容用電壓源替換，電感用電流源替換。(3)用疊加定理求iC,uL。

則uS、iS、uC、iL共同作用下iC,uL

iC,uL為：iC=a11uC1+a12iL+

b11uS+b12iS

uL=a21uC1+a22iL+

b21uS+b22iSiL+

uCuCuSR電阻網(wǎng)絡(luò)+iS+

iL第19頁(yè)例11

設(shè)uC1、uC2、iL為狀態(tài)變量

(1)uC1單獨(dú)作用iL=0，iS=0，uS=0,uC2=0解求：iC1，iC2,uL。列寫(xiě)圖示電路狀態(tài)方程分量！iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL++

++

R1R2uC1iC1iC2uL+

+第20頁(yè)

(2)uC2單獨(dú)作用(iL=0，iS=0，uS=0,uC1=0)

(3)iL

單獨(dú)作用(iS=0，uS=0,uC1=0，uC2=0)R1R2uC2iC1iC2uL

++

R1R2iC1iC2uLiL

+第21頁(yè)(4)uS

單獨(dú)作用(iS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0)(5)iS

單獨(dú)作用(uS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0)R1R2uSiC1iC2uL+

+iSR1R2iC1iC2uL

+第22頁(yè)uC1uC2iL

uS

iS

(6)整理成標(biāo)準(zhǔn)形式uS、iS、uC、iL共同作用下iC,uL為：第23頁(yè)(1)對(duì)電容節(jié)點(diǎn)列KCL方程，對(duì)電感回路列KVL方程(2)用疊加法消去非狀態(tài)量uR1，uR2

0.6

0.40.60.4

1.21.2

1.21.2uCiL1iL2uS(t)uR1uR2例12uR1=

0.6uC

1.2iL1+1.2iL2+0.6uS(t)uR2=

0.4uC+1.2iL1

1.2iL2+0.4uS(t)+uS(t)2F+uC

3

3HiL1uR1+

2

4HiL2uR2+

第24頁(yè)=

0.2uC+0.6iL1+0.4iL2+0.2uS(t).3iL1=

0.6uC

1.2iL1+1.2iL2+0.6uS(t)

2uC=iL1

0.2uC

0.4iL1+0.4iL2+0.2uS(t).4iL2=

0.4uC+1.2iL1

1.2iL2+0.4uS(t)

.uR1=

0.6uC

1.2iL1+1.2iL2+0.6uS(t)uR2=

0.4uC+1.2iL1

1.2iL2+0.4uS(t)將代入得第25頁(yè)三、系統(tǒng)法編寫(xiě)狀態(tài)方程1.選擇一組獨(dú)立狀態(tài)變量，通常取獨(dú)立電容電壓和電感電流。2.選擇一樹(shù)T，標(biāo)準(zhǔn)為（1）電容支路、電壓源支路為樹(shù)支；（2）部分電阻支路為樹(shù)支；（3）電感支路和電流源支路為連支（4）部分電阻支路為連支；3.列寫(xiě)狀態(tài)方程：（a）對(duì)只含一個(gè)獨(dú)立電容節(jié)點(diǎn)或割集由KCL列對(duì)應(yīng)電流方程；第26頁(yè)（b）對(duì)只含一個(gè)獨(dú)立電感基本回路由KVL列寫(xiě)電壓方程（應(yīng)包含盡可能少非狀態(tài)變量）；（c）消去所列方程中出現(xiàn)非狀態(tài)變量：對(duì)不含獨(dú)立電容節(jié)點(diǎn)或割集由KCL列方程；對(duì)不含獨(dú)立電感回路由KVL列方程。（3）求解狀態(tài)方程得到狀態(tài)變量解。（4）列輸出方程并由步驟(3)中得到狀態(tài)變量求解輸出變量。第27頁(yè)iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL++

++

i1i2例13列寫(xiě)狀態(tài)方程解1.選狀態(tài)變量為uC1、

uC2、

iL2.選狀態(tài)變量為iC1、

iC2、

iL支路為樹(shù)支3.列寫(xiě)狀態(tài)方程對(duì)僅含電容支路割集列KCL方程i1ic2isiLic1i2第28頁(yè)對(duì)僅含電感支路回路列KVL方程消去所列方程中出現(xiàn)非狀態(tài)變量i2iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL++

++

i1i2i1ic2isiLic1i2第29頁(yè)第30頁(yè)方程矩陣形式為第31頁(yè)列出圖示電路狀態(tài)方程和以節(jié)點(diǎn)電壓為輸出變量輸出方程。其中C2=0.5F，C3=C4=0.1F，L7=2H，L8=1H，G1=1S，R6=1Ω。4①⑤②③④012345